1.3 二项式定理（通用）教案和学案内容

涪陵十八中2018年春期教案

高2019级《数学》 教师： 任教班级： 备课人：李正忠

集体备课教案

课 题：1.3二项式定理（选修2—3第一章）

教学目的：

1、理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；

2、通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程。

3、

使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律；

4、能运用函数观点分析处理二项式系数的性质；

5、

理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用。

个性化

批注

教学重点：

二项式定理的内容及归纳过程；

二项式系数的性质及其应用；

教学难点：

在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律；

杨辉三角的基本性质的探索和发现

教学方法：讲授、探究

教 具：ppt课件

课时安排：三课时

教学过程：

第一课时

§1.3.1 二项式定理

一、导入新课： 引入：二项式定理研究的是(ab)的展开式。

如(ab)a2abb，(ab)?，(ab)?，那么(ab)的展开式是什么呢？

22234nn二、引导探究，发现规律：

1

1、多项式乘法的再认识

问题1：(a1b1)(a2b2)(a3b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？

2、(ab)3展开式的再认识

问题2：将上式中，若令a1a2a3,b1b2b3，则展开式又是什么？

合作探究1：合并同类项后，为什么ab的系数是3？

教师引导：可以发现ab是从(ab)(ab)(ab)这三个括号中的任意两个中选a，2剩下的一个括号中选b；利用组合知识可以得到ab应该出现了C3· C1所以ab1=3次，2222的系数是3。

问题3：(ab)4的展开式又是什么呢？

可以对(ab)4按a或按b进行分类：

44（1）四个括号中全都取a，得：C4a

331（2）四个括号中有3个取a，剩下的1个取b，得：C4aC1b

2222（3）四个括号中有2个取a，剩下的2个取b，得：C4aC2b

133（4）四个括号中有1个取a，剩下的3个取b，得：C4aC3b

44（5）四个括号中全都取b，得：C4b

小结：对于展开式，只要按一个字母分类就可以了，可以按a分类，也可以按b分类。

0413222344结论：(ab)4C4aC4abC4abC4ab3C4b

三、形成定理，说理证明：

问题4：(ab)n的展开式又是什么呢？

合作探究2:

(1) 将(ab)展开有多少项？

（2）每一项中，字母a、b的指数有什么特点？

（3）字母“a”、“b”指数的含义是什么？是怎么得到的？

（4）如何确定“a”、“b”的系数？

猜想：(ab)CnaCnannn0n1n1knkknnb…Cnab…Cnb(nN*)

证明：对(ab)分类，按b可以分n1类，

2

0n（1）不取b：Cna；

1n1（2）取1个b：Cnab；

2n22（3）取2个b：Cnab；

………………

knkk(k1)取k个b：Cnab；

………………

nn(n1)取n个b：Cnb；

然后将这n1个式子加起来，就得到二项展开式，

0n1n1knkknn(ab)nCnaCnab…Cnab…Cnb(nN*)

这就是二项式定理。

四、熟悉定理，简单应用：

二项式定理的公式特征（由学生归纳，让学生熟悉公式）

（1）项数：展开式共有n1项。

（2）次数：字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n。

rr（3）二项式系数Cn：下标n为二项式的幂指数，上标r由0递增至n，Cn表示展开式的第r1项的二项式系数；由组合数的性质知，各项的二项式系数均为正数。

rnrr（4）通项：

Tr1Cnab，它是展开式的第r1项。

（5）公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式。

例1

求(2x1x)6的展开式

分析：为了方便，可以先化简后展开。

例2

①求(12x)的展开式的第4项的系数及二项式系数。

7②求(x19)的展开式中含x3的系数。

x7五、课堂练习：（教材P31练习）

1、写出(pq)的展开式；

2、求(2a3b)的展开式的第3项；

3 6

313、写出x的展开式的第r1项；

32x4、(x1)10的展开式的第6项的系数是（

）

6565（A）C10

(B) C10

(C) C10

(D)

C10

n六、课堂小结：

0n1n1knkknn1.

公式：(ab)nCnaCnab…Cnab…Cnb(nN*)

2.

思想方法：（1）从特殊到一般的思维方式。（2）用计数原理分析二项式的展开过程。

七、布置作业：

1、教材P37习题1.3 A组

第2、3题

2、补充题：

（1）在x310的展开式中，x的系数为（

）

4B．27C10

66

A．27C106C．9C10

4D．9C10

（2）若（a13a2

)n展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n是（

）B．11

C．12

D．13

A．10

（3）(x219)展开式中x9的系数是

2x121（4）x

的展开式中常数项为

3x（5）

1x31x的展开式中，含x5项的系数是

. 10（6）

若xa100的展开式中x项的系数是9900，求实数a的值。

98八、反思：

4