1.1 回归分析的基本思想及其初步应用教学活动设计方案

教学案例：

回归分析的基本思想及其初步应用

3.1回归分析的基本思想及其初步应用

一、内容和内容解析

统计学是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，可以为人们制定决策提供依据。《回归分析的基本思想及其初步应用》是人教A版普通高中课程标准实验教科书选修2-3第三章“统计案例”中的内容，是用统计方法对数据进行分析的过程。本节课是在学习了如何画散点图、利用最小二乘法的思想求回归直线方程、用回归直线方程进行预报等内容的基础上，从相关指数R2和残差分析等角度探讨回归模型拟合效果的好坏，并通过具体案例借助线性回归模型研究呈非线性关系的两个变量之间的关系，是对必修3中统计知识的加深和升华。

在线性回归模型中，结合例1中的具体数据介绍如何利用残差变量和相关指数R2进行模型诊断。引入残差ei估计随机变量ei，通过对残差的分析发现异常数据，并判断所建立模型的拟合效果的好坏。当残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中时，说明选用的模型比较适合，并且带状区域的宽带越窄，说明模型拟合的效果越高。2yyiin另外引入了相关指数R2，即R21yi1i1n，用来刻画回归的效果。iy2指出相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标，R2值越大，说明模型的拟合效果越好。通过对样本数据、模型的拟合效果等方面的考察，渗透统计中模型诊断的思想。

为提高学生解决应用问题的能力，通过具体案例例1中用线性回归模型进行预报时应注意的4个方面，让学生明确用回归模型解决实际问题时，应注意模型的适用范围。根据例1用线性回归模型解决实际问题的全过程，归纳总结出建立回归模型的基本步骤：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；（2）画出解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系；（3）由经验确定回归方程的类型；（4）按一定的规则估计回归方程中的参数；（5）得出结果后分析残差图是否有异常。若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否适合。

例2是对建立回归模型基本步骤的应用，借助线性回归模型研究呈非线性关系的两个变量之间的关系，体现了“化未知为已知，用已知探索未知”的数学转化思想。通过例2的教学要让学生体会统计方法的特点。在解决实际问题时，处理数据有不同的统计方法，人们不可能知道样本数据来自什么模型，只能根据问题的背景和已有的数学知识建立模型来近似正确的模型，通过残差分析和相关指数比较不同模型的拟合效果，建立近似效果更好的模型。

因此，本节课的重点是了解模型拟合效果的分析工具——残差分析和相关指数R2；归纳总结建立回归方程的基本步骤，并应用其研究呈非线性相关关系的两个变量之间的关系，了解在解决实际问题的过程中寻找更好模型的方法。

二、目标和目标解析

目标：通过对典型案例的探究，了解回归分析的基本思想、方法及其初步应用。

目标解析：

（1）了解模型拟合效果的分析工具——残差分析和相关指数R2。结合具体数据，让学生经历由残差图和相关指数判断模型拟合效果的过程，引导学生体会模型诊断的思想。

（2）掌握建立回归模型的基本步骤。通过对典型案例的探究，归纳总结出建立回归模型的基本步骤，并能应用其解决一些实际问题。

（3）能借助线性回归模型研究呈非线性关系的两个变量之间的关系。根据散点分布特点，建立不同的回归模型，通过将非线性模型转化为线性回归模型，使学生体会“转化”的数学思想。

（4）通过例2的探究，让学生经历解决问题的全过程，领会统计的基本方法和思想，增强学生的数学应用意识，培养学生的探索和创新精神，提高学生学习数学的兴趣。

三、教学问题诊断分析

学生已有的认知基础是，在《数学3（必修）》的“统计”一章中，学生已经学习了两个变量之间的相关关系，包括画散点图、用最小二乘法求回归直线的方程、利用回归直线的方程进行预报等内容。并在上一节课的学习中，介绍了线性回归模型的数学表达式，知道了

线性回归模型与函数关系的不同之处，解释了随机误差项产生的原因。

通过例1用线性回归模型解决实际问题的全过程，学生在归纳总结建立回归模型的基本步骤，对所得的数据进行残差分析等方面并不会觉得很困难。学生学习的困难在于：（1）不明确统计学的任务就是建立近似效果更好的模型，故而根据散点分布的特点，不敢大胆选择回归方程的类型。（2）如何对非线性相关的变量作适当变换（等量变换、对数变换），变非线性为线性，利用线性回归模型建立变量的非线性回归方程。

因此，本节课教学的难点是：不能真正理解数学模型的作用，以及统计学在建模时追求的目标。教学中，应鼓励学生经历数据处理的全过程，利用统计软件画散点图直观展示两个变量间的关系，鼓励学生尝试建立不同的回归方程的模型，通过残差图和相关指数比较各个模型的拟合效果，让学生在经历案例探究的过程中真正体会统计方法的特点。

四、教学支持条件分析

为了有效实现教学目标，教学中利用计算机软件Excel画出残差图和散点图，形象地展示两个变量的关系和模型的拟合效果，提高课堂教学的效率。充分应用计算器、计算机等现代技术手段来处理数据，为学生亲身体会数据处理的全过程节省时间。

五、教学过程设计

1.复习引入

问题1：回顾线性回归模型与一次函数有何不同？

【设计意图】回忆旧知识，进一步强调函数关系与回归模型的不同之处，自然过渡到本节课研究的内容。

师生活动：学生思考，回答，教师点评。

2.讲授新知

问题2：在线性回归模型中，e是用bxa预报真实值y的随机误差，它是一个不可观测的量，那么如何研究随机误差e？

【设计意图】引出随机误差e的估计量——残差e，为查找数据中的错误和进行模型评价做铺垫，进一步加深学生对模型预报结果的正确认识。

师生活动：学生思考，教师引导学生由于回归方程中的bxa是回归模型中bxa的估计值，因此得出随机误差ybxa的估计值是ybxa，进而引出残差e。

问题3：求出回归方程后，通常需进行模型诊断。如何衡量模型拟合效果的好坏？如何寻找原始数据中存在的可疑数据？

【设计意图】让学生从数和形两种角度体验进行回归诊断的方法——画出残差图进行残差分析和计算相关指数R2的值，渗透统计学中模型诊断的思想，体会引入残差变量的必要性。

师生活动：学生思考后，阅读课本84页思考至85页第二段的有

关内容，教师引导学生：（1）归纳总结进行残差分析的步骤：计算每组观测数据的残差；画残差图；分析残差图，查找异常样本数据，并判断模型的拟合效果。（2）解释相关指数R2计算公式的合理性，根据相关指数的公式中各个数据的含义，得出利用相关指数判断回归效果好坏的依据和标准。（3）残差分析和相关指数分别从形和数的角度介绍了进行模型诊断的方法，其中利用残差图进行拟合效果的分析比较形象、直观，而用相关指数比较拟合效果时结果更为准确。

问题4：根据例1用线性回归模型解决实际问题的全过程，试归纳总结出建立回归模型的基本步骤。

【设计意图】让学生概括出用统计方法——回归分析处理数据的全过程，以便更好地掌握和利用回归分析解决实际问题，培养学生由具体到抽象，由特殊到一般分析问题的能力。

师生活动：学生思考、讨论后，师生共同归纳总结出建立回归模型的基本步骤：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；（2）画出解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）；（3）由经验确定回归方程的类型（根据已有的数学知识建立回归模型）；（4）按一定的规则（如最小二乘法）估计回归方程中的参数；（5）利用残差分析或相关指数判断模型的拟合效果。

问题5：建立回归模型后，利用回归方程进行预报时应注意些什么？

试结合例1这一具体问题谈一谈。

【设计意图】根据利用所建立的回归模型进行预报时应注意的问题，增强学生对模型预报结果的正确认识，提高学生解决实际问题的能力，发展学生的数学应用意识。

师生活动：学生互相交流、讨论，教师鼓励学生大胆发言，引导学生从样本数据的适用范围、模型的时效性等方面总结得出：利用回归方程进行预报时，应注意模型的适用范围。

3.应用举例

背景介绍：1953年，18省发生红铃虫大灾害，受灾面积300万公顷，损失皮棉约二十万吨。红铃虫喜高温高湿，适宜各虫态发育的温度为25一32℃，相对湿度为80％一100％，低20℃和高于35℃卵不能孵化，相对湿度60％

以下成虫不产卵。冬季月平均气温低于4.8℃时，红铃虫就不能越冬而被冻死。

【设计意图】通过阅读背景材料，让学生体会例2这一问题研究的必要性，体会数学问题源于生活，服务于生活，激发学生学习的兴趣，提高学生解决问题的积极性。

例2：一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现收集了7组观测数据列于表中，试建立y关于x的回归方程。

【设计意图】应用建立回归模型的基本步骤，借助线性回归模型研究呈非线性关系的两个变量间的关系，让学生体会统计方法的特点，体会转化的数学思想。

师生活动：通过问题串的形式引导学生解决。

问题6：思考例2中什么是解释变量与预报变量？并画出散点图。

【设计意图】根据例2的背景分析，搞清楚问题中的自变量和因变量，画出散点图，为确定回归模型的类型提供依据。

师生活动：首先学生叙述自己的理解，形成把温度x作为自变量，红铃虫的产卵数y作为因变量的共识，然后利用计算机画出散点图。

问题7:观察所得的散点图，红铃虫的产卵数y与温度x具有何种关系？猜想可用哪种函数拟合？

【设计意图】使学生了解处理数据有不同的统计方法（回归模型），只能根据问题的背景和已经掌握的数学知识建立模型来近似这个正确的模型。

师生活动：学生根据一些常见函数的图象特点，判断红铃虫的产卵数y与温度x的可能关系。教师收集学生选择的模型：线性回归模型、二次函数模型、指数函数模型。

问题8：两个变量是线性关系时利用最小二乘法可以得到两个参数的估计值，当模型不是线性回归模型时如何估计模型中的参数？

【设计意图】让学生知道有时因变量与自变量的非线性关系经过变换可以转化为两个新变量的线性关系，提高学生运用已有的知识解决问题能力。

师生活动：引导学生寻找变换的方法，在学生讨论后给出具体的方法。

方案一：线性回归模型，直接用最小二乘法求出参数a，b的估计值a，b。



方案二：指数回归模型。通过对数变换把指数关系变为线性关系。

例：yc1ec2xlnyc2xlnc1两边取自然对数lny,alnc1,bc2z

zbxa，得到z关于x的线性关系。

c2xyc110lgyc2xlgc1两边取常用对数

zlgy,algc1,bc2zbxa，得到z关于x的线性关系。

yc1c2xlgyxlgc2lgc1两边取常用对数zlgy,algc1,blgc2zbxa，得到z关于x的线性关系。

强调为了计算方便，通常选用以10为底的常用对数或以e为底的自然对数。

方案三：二次函数模型。通过平方变换转化为线性关系。

yc3xc42tx2yc3tc4，得到y关于t的线性关系。

问题9：根据以上分析，试求出你所选择的回归模型的参数，得出红铃虫的产卵数y与温度x回归模型。

【设计意图】让学生经历处理数据的全过程，培养对数据的直觉与

敏感，提高学生的计算能力。

师生活动：学生根据自己选择的回归模型，把原变量的观测数据转化为新变量的数据，然后利用最小二乘法求出每种线性回归模型的参数估计，最后通过变量还原，得到红铃虫的产卵数y与温度x的关系。

问题10：上述模型中哪个模型能更好地刻画红铃虫的产卵数y与温度x的关系？

【设计意图】尝试从不同的角度对回归模型的拟合效果进行比较，会用评价模型拟合效果好坏的工具——残差分析和相关指数比较不同模型拟合数据的效果。

师生活动：师生共同合作，从不同的角度对回归模型的拟合效果进行比较。（1）直观感受：在几何画板中作出散点图，根据所求的回归方程画出相应的图形，直观感受不同模型的拟合效果。（2）画出变换后数据的散点图，通过变换后的数据线性相关性的强弱判断模型的拟合效果。（3）残差分析：学生利用计算器计算不同回归方程的残差，教师利用计算机作出残差图进行比较。教师强调通常比较两个模型的残差比较困难。（4）相关指数：学生利用计算器计算不同模型的相关指数R2，并比较它们的大小。R2越大，模型的拟合效果越好。

4.归纳总结

问题11：由例2的求解过程，你对于选择回归模型方面有何体会？

【设计意图】让学生体会统计方法的特点，即处理数据时可以选用不同的回归模型，只能根据问题的背景和已经掌握的数学知识建立近似效果更好的模型。

师生活动：学生互相交流，讨论，教师点评，总结。

问题12：总结建立回归模型的方法，用结构图的形式表示出来。

【设计意图】用知识结构框图对本节所学的内容进行总结，整理用统计方法——回归分析解决实际问题的思路，加深学生对统计解决实际问题全过程的理解。

师生活动：学生小结归纳，不足地方教师补充说明。

问题背景分析

散点图

两个变量线性相关

变量置换

两个变量非线性相关

最小二乘法最小二乘法线性回归模型

R2

六、目标检测设计

（1）下列说法正确的是（

）

①残差平方和越小，相关指数R2越小，模型的拟合效果越差；

②残差平方和越大，相关指数R2越大，模型的拟合效果越好；

③残差平方和越小，相关指数R2越大，模型的拟合效果越好；

变量还原

残差分析

应用

非线性回归模型

④残差平方和越大，相关指数R2越小，模型的拟合效果越差。

A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③

【设计意图】检验学生对模型拟合效果的分析工具——相关指数R2的理解。

（2）下列说法正确的有（

）

①回归方程适用于一切样本的总体；

②回归方程一般都有时间性；

③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；

④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值。

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④

【设计意图】提高学生的实际应用能力，用回归方程进行预报时应注意模型的适用范围。

（3）某种书每册的成本费y（元）与印刷册数x（千册）有关，经统计得到数据如下：

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15

试求成本费y（元）与印刷册数x（千册）的回归方程。

【设计意图】这是一道用线性回归模型解决非线性相关问题的题目，检验学生对例2中蕴含的统计方法和统计思想的理解和掌握程度。