一 数学归纳法优秀教案设计

《数学归纳法》教学设计

【教材分析】

1、教学内容：《数学归纳法》选自人教版普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第3节的内容，根据课标要求，本书该节共2课时，这是第一课时，其主要内容是数学归纳法的原理及其简单应用. 2、地位作用：数学推理中，常用的方法是演绎法和归纳法，归纳法又可以分为完全归纳法和不完全归纳法.完全归纳法所得出的结论是可靠的，因为它考察了问题涉及的所有对象，但是它使用起来有一定的局限性；而不完全归纳法只考察了问题涉及的部分对象，得出的结论不一定正确，因此不能作为一种论证的方法.基于此，我们必须学习一种新的严谨的科学的论证方法——数学归纳法以弥补归纳法的不足. 【教学目标】

1、知识与技能：

（1）了解数学归纳法的原理；

（2）初步会会数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式. 2、过程与方法：

培养学生观察、归纳、猜想的能力和严密的逻辑推理能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想. 3、情感、态度与价值观：

培养学生严谨的科学态度和创新的勇气，让学生感受数学内在美的震撼力，从而使学生喜欢数学. 【教学重点】

借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题. 【教学难点】

（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；

（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系. 【教学方法】运用引导发现法进行教学

【教学手段】借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素材辅助课堂教学

【教学结构】课题引入—探索发现—归纳提炼—解决问题—小结作业

【教学过程】

教教学内容 学环节

笑话1：

课 妈妈：“火柴买回来了吗?”

题 儿子：“买回来了。”

引 妈妈：“火柴好用吗？”

入

儿子：“很好，我每一根都试过，全部划得

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师生互动

设计意图

完全归纳法，考察全体对象，结让学生体会完全归论一定可靠。

纳法的特点。

着。

笑话2：

财主为儿子请了一个私塾先生。这天先生划了一横告诉孩子这是“一”，先生划了两横告诉孩子这是“二”，先生划了三横告诉孩子这是“三”。这时财主和他的笨儿子高兴地说，原来认字就这么简单，就把先生打发走了。过几天笨财主要请一个姓万的财主来家里吃饭，就叫儿子去写请柬。过了好长时间还不见笨儿子来，财主就去看，发现儿子还没写好，儿子不高兴地说：“这个人姓啥不好，偏偏要姓万？我写了半天才写到八千多……”

不完全归纳法，让学生体会不完全考察部分对象，归纳法的特点。

结论不一定可靠。

提annN*,

出数列an中,a11,an11an问题

通过计算前4项，归纳猜想出通项公式an=1. n这种方法是什么归纳法呢？

这个猜想是否正确？

1、某人想排队进揭东二中参观，不知自己能探否进得去，于是问校长，答曰：只要你前一个索人能进去，你就能进去.那么此人能进去参观发吗？若每个排队的人都能进去参观需要什么现

条件？

2、某人姓王，其子子孙孙都姓王吗？该家族所有男人时代都姓王的条件是什么？

3、有若干块多米诺骨牌竖直摆放，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？多米诺骨牌游戏的原理是什么？

（“多米诺骨牌游戏”动画演示）

引导学生发现完全归纳虽然结论可靠，但是一一核对困难；不完全归纳法虽有利于发现问题，但结论不一定正确。

通过问题让学生明确本课目的:寻求一种能够证明与正整数有关的数学问题的方法，指明本节课的研究方向。

引导学生思考并分析：

1、(1)第一个人能进去；

(2)若前一个人能进去，则后一个人也能进去.

2、(1)始祖姓王（第1代姓王）；

(2)子随父姓（如果第k代姓王，则第k+1代也姓王）.

“多米诺骨牌”全部倒下的两个条件；

①第一块骨牌倒下；

三个例子可以让学生豁然开朗：证明该类命题的正确性需要两个方面，一个是递推起点，一个是递推关系，促进了数学归纳法的形成。

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②任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。

强调条件②的作用：是一种递推关系（第k块

倒下，使第k+1块倒下）。

类比“多米诺骨牌游戏”的原理来验证对于通搜1项公式an的猜想. 索n“多米诺骨牌”原理 生①第一块骨牌倒下； ②若第k块倒下，则归使得第k+1块倒下

纳验证猜想 ↓ ↓

提①n1验证猜想成立 ②如果nk时，猜

1炼

想成立。即ak，

为学生创造类比的猜想环境，在此基础上形成科学方法。

k则当nk1时，

akak11k11kak11

k1

学生讨论，

教师归纳提炼。

即nk1时猜想成立

【引导学生概括, 形成科学方法】

证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：

(1) 证明当n取第一个值n0时结论正确；（归纳奠基）

(2) 假设当n＝k (k∈N，k≥n0) 时结论正确, 证明当n＝k＋1时结论也正确。（归纳递推）

完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都正确。

这种证明方法叫做数学归纳法。

解决问

*例1. 用数学归纳法证明

n(n1)(2n1)122232n26

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师生一起分析，让学生体会用数学教师板书解题归纳法解决问题的过程

步骤，如何用到假设

题

2证明：（1）当n=1时，左边11，

右边1(11)(211)，等式成立。

6（2）假设当n=k时，等式成立，即

122232k2k(k1)(2k1)6

22师生共同总结：

凑出目标，教会学生1、数学归纳法正确书写的证明过程。

是一种完全归纳的证明方法，

它适用于与自

然数有关的问

题。

2、两个步骤、一个结论，缺一不可。

3、在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，进行恒等变换。

则当n=k+1时，

左边=123kk1

223k(k1)(2k1)1(k1)2(k1)k(2k1)6(k1)6611(k1)(2k27k6)(k1)(k1)12(k1)166

=右边

即当n=k+1时等式也成立。

*由（1）、（2）可知，n∈N时，等式成立。

练习1：用数学归纳法证明 4、完成第（1）

（2）步骤的证

明后，要对命题成立进行总结。

学生独立完成让学生自行梳理数并请学生上台学归纳法解决问题1的步骤，体会怎么用122334n(n+1)n(n+1)(n+2)

板演

3数学归纳法，用的时候需要注意什么，并

进一步规范过程。

练习2：

(1)在用数学归纳法证明多边形的内角和定理

时,第一步应验证n=_____时成立. 由学生思考讨(2)分析下列各题用数学归纳法证明过程中的借助练习2指出用数论回答

错误：

学归纳法时常见错2*

①2+4+6++2n=n+n+1(nN)

误，加深了学生对使证明:假设当n=k时等式成立, 用数学归纳法解决

即2+4+6++2k=k2+k+1kN*

有关正整数命题证那么,当n=k+1时,有

明时要注意的事项 2+4+6++2k+2k+1

的理解。

22k+k+1+2(k+1)=(k+1)+(k+1)+1

*因此，对于任何nN等式都成立.

111n②(nN*)

1223n(n1)n1证明：

①

当n=1时,左边= 11，

122

11右边==1+12，此时等式成立. ②假设n=k(k∈N)时等式成立

，

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*

1k

即111223k(k1)k1那么n=k+1时, 11111左边(1)()()223k1k2

1k11=右边k2(k1)1这就是说，当n=k+1时,命题也成立. 由

①②知,对一切正整数n等式均成立. (1)数学归纳法只适用于证明某些与正整数有课关的数学命题. 堂(2)数学归纳法证题的步骤：两个步骤，一个小结论，缺一不可。其中，第二步必须用上归纳结

假设. (3)数学归纳法优点：即克服了完全归纳法的繁杂的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足. (4)数学归纳法的基本思想：运用“有限”的手段来解决“无限”的问题.

教师进一步说明：本节课使用数学归纳法只证明了与正整数有关的等式成立的问题，在以后的学习中，我们将会遇到使用数学归纳法证明与正整数有关的不等式及几何等问题。

通过及时反思、归纳，培养概括能力；帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平. 作【必做题】用数学归纳法证明：1、首项是a1,公差是d的等差数列的通项公式是an=a1+(n-1)d.业

1111n2、++++=巩1335572n-12n+12n+1固

【选做题】用数学归纳法证明：11n+2n-1+3n-2++n1=nn+1n+26针对学生素质的差异进行分层训练，既可以使学生掌握基础知识又可以使学有余力的学生有所提高，从而达到“拔尖”和“减负”的目的。

板2.3数

学

归

纳

法

书证明步骤：

设例1：

(1) 证明当n取第一个值n0计

时结论正确；（归纳奠基）

(2) 假设当n＝k 时结论正确, 证明当n＝k＋1时结论也正确．（归纳递推）

由1°和2°对任意的n≥*n0, n∈N

命题成立。

引例：

练习1：

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