探究与发现 组合数的两个性质教案及板书设计

[排列与组合]教学设计

一、教学目标

1、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理

2、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题

3、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力

二、教材分析

1.重点：加法原理，乘法原理。

解决方法：利用简单的举例得到一般的结论．

2.难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同．

三、活动设计

1.活动：思考，讨论，对比，练习．

2.教具：多媒体课件．

四、教学过程正

1．新课导入

随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多样化，高标准严要求，使得商品生产工序复杂化，解决一件事常常有多种方法完成，或几个过程才能完成。

排列组合这一章都是讨论简单的计数问题，而排列、组合的基础就是基本原理，用好基本原理是排列组合的关键．

新课

我们先看下面两个问题．

(l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4班，汽车有

2班，轮船有

3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

板书：图

因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有

4十2十3=9种不同的走法．

一般地，有如下原理：

加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，„„，

在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1十m2十„十mn种不同的方法．

(2) 我们再看下面的问题：

由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条．从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？

板书：图

这里，从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C村又有2种不同的走法．因此，从A村经B村去C村共有

3X2=6种不同的走法．

一般地，有如下原理：

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1 m2„mn种不同的方法．

例1 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．

1）从中任取一本，有多少种不同的取法？

2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？

解：（1）从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法是从上层取数学书，可以从6本书中任取一本，有6种方法；第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5种方法．根据加法原理，得到不同的取法的种数是6十5=11．

答：从书架L任取一本书，有11种不同的取法．

（2）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有6种方法；第二步取一本语文书，有5种方法．根据乘法原理，得到不同的取法的种数是

N＝6X5＝30．

答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的方法．

练习：

一同学有4枚明朝不同古币和6枚清朝不同古币

1）从中任取一枚，有多少种不同取法？

2）从中任取明清古币各一枚，有多少种不同取法？

例2：(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复三位数？

(2)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？

(3)由数字0，l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？

解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个数字，共有5种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，

这仍有5种选法，第三步确定个位上的数字，同理，它也有5种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是N=5X5X5=125．

答：可以组成125个三位数．

练习：

1、从甲地到乙地有2条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆路可走，又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．

（1）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？

（2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？

2．一名儿童做加法游戏．在一个红口袋中装着2O张分别标有数1、2、„、19、20的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被加数；在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1、2、„、9、1O的黄少个加法式子？

3．题2的变形

4．由0－9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？

小结：要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时用加法，分步时用乘法

其次要注意怎样分类和分步，以后会进一步学习

练习

1．（口答）一件工作可以用两种方法完成．有

5人会用第一种方法完成，另有4人会用第二种方法完成．选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？

2．在读书活动中，一个学生要从

2本科技书、

2本政治书、

3本文艺书里任选一本，共有多少种不同的选法？

3．乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有多少项？

4．从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通．从甲地到丙地共有多少种不同的走法？

5．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同．

（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？

（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？

作业：卡片，从中任抽一张，把上面的数作为加数．这名儿童一共可以列出列

【复习基本原理】

1.加法原理

做一件事，完成它可以有n类办法，第一类办法中有m1种不同的方法，第二办法中有m2种不同的方法„„，第n办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有

N=m1+m2+m3+„mn

种不同的方法. 2.乘法原理

做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一

步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，„„，做第n步有mn种不同的方法，.那么完成这件事共有

种不同的方法. 3.两个原理的区别：

【练习1】

1.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的机票？

2.由数字1、2、3可以组成多少个无重复数字的二位数？请一一列出. 【基本概念】

1. 什么叫排列？从n个不同元素中，任取个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同．．．．．

元素中取. 3. 4. 什么叫不同的排列？元素和顺序至少有一个不同. 什么叫相同的排列？元素和顺序都相同的排列. 什么叫一个排列？

【例题与练习】

1. 由数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数？

2.已知a、b、c、d四个元素，①写出每次取出3个元素的所有排列；②写出每次取出4个元素的所有排列. 【排列数】

1. 定义：从n个不同元素中，任取个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号p表示. 用符号表示上述各题中的排列排列数公式：p=n(n-1)(n-2)„(n-m+1) mn ；；；

计算：

【课后检测】

1. 写出：

①

从五个元素a、b、c、d、e中任意取出两个、三个元素的所有排列；

②

由1、2、3、4组成的无重复数字的所有3位数. ③

由0、1、2、3组成的无重复数字的所有3位数.出m个元素的一个排列

．．．．①

p 计算：

3100 ②

p ③

p 36 48解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列——A=720 6 6 ⑷

7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？

解：根据分步计数原理：第一步

甲、乙站在两端有A22种；第二

步

余下的5名同学进行全排列有A种

则共有A2255A55=240种排列方

法

⑸

7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？

解法一（直接法）：第一步

从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有A种方法；第二步

从余下的5位2 同学中选5位进行排列（全排列）有A种方法

所以一共有A5 525A55＝

2400种排列方法．

解法二：（排除法）若甲站在排头有A种方法；若乙站在排尾

有A种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有A种方法．所以甲不

能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有A－2A＋A=2400种．

小结一：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑．

例2 ：

7位同学站成一排．

⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？

解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有A种方法；再将甲、乙两个同学6 6 “松绑”进行排列有A22种方法．所以这样的排法一共有A ⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？

排

列

课题：排列的简单应用(1) 目的：进一步掌握排列、排列数的概念以及排列数的两个计算公式，会用排列数公式计算和解决简单的实际问题．

过程：

一、复习：（引导学生对上节课所学知识进行复习整理）

1．排列的定义，理解排列定义需要注意的几点问题；

2．排列数的定义，排列数的计算公式

A

m 或

m

（其中m≤n ）

3．全排列、阶乘的意义；规定

0!=1 4．“分类”、“分步”思想在排列问题中的应用．

二、新授：

例1：⑴

7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？

解：问题可以看作：7个元素的全排列——A＝5040 7 7 ⑵

7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？

解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040 ⑶

7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法解：方法同上，一共有A

55 A3 3 ＝720种．

⑶甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？

解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A种方法；将剩下的4 25 个元素进行全排列有A44种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A22种方法．所以这样的排法一共有A 25 A4A2 42 ＝960种方法．

解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有2A种方法，所以丙不能站在

55 排头和排尾的排法有(A 66

52 种方法．

解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A41种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有A种

5 5 方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有A41＝960种方法．

小结二：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．

例3：

7位同学站成一排．

⑴甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？

解法一：（排除法）A 7 7 A5A2 52

62 55 解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有A种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧），再将甲、乙同学分别插个位置（空）有A种方法，所以一共有A2 种方法．

⑵甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？

解：先将其余四个同学排好有A44种方法，此时他们留下五个“空”，

再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有A种方法，所以一3

5 共有A44A53＝1440种．

小结三：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．

三、小结：

1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：

⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置；

⑵某些元素要求连排（即必须相邻）；

⑶某些元素要求分离（即不能相邻）；

2．基本的解题方法：

⑴

有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优限法）；

⑵

某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；

⑶

某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；

⑷

在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排列问题的根基．例2：

从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？

引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的．

引出课题：组合问题．

．．

二、新授：

1．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

注：1．不同元素

2．．相同组合：元素相同

判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：

⑴

从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览；（组合）

⑵

从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．（排列）

2．组合数的概念：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号C表示．

m n 例如：示例2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙．即有C2 33种组合．

又如：从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览的组合：AB，AC，AD，BC，BD，CD一共6种组合，

四、作业：《课课练》之“排列

课时1—3”入这六？讲解时一定要让学生去分析：要解决的问题是排列问题还是组合问题，关键是看是否与顺序有关．那么又如何计算C呢？

m n 3．组合数公式的推导

⑴提问：从4个不同元素a，b，c，d中取出3个元素的组合数C43 是多少呢？

启发：

由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3．．．．．．．．．个元素的排列数A43 可以求得，故我们可以考察一下C43和A43的关系，如下：

组

合

排列

abc

abc,abd,acd,bcd, bac,bad,cad,cbd, cab,dab,dac,dbc, acb,adb,adc,bdc, bca,bda,cda,cdb, cbadbadcadcb abdacdbcd 由此可知：每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数A43，可以分如下两步：①

考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有C43个；②

对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有A种方法．由分步计数原理得：

3 3 A 34 ＝C 34

33 ，所以：C 34

A4A3 33 ．

⑵

推广：

一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数A，可以分如下两步：①

先求从n个不同元素中取出m个元素的

mn 组合数C；②

求每一个组合中m个元素全排列数A，根据分布计

mn mm 数原理得：A＝C mn mn m nAnAmm mn(n1)(n2)(nm1)m! (n,mN,且mn) 或

Cnmn!m!(nm)! ⑷

巩固练习：

1．计算：⑴

C ⑵

C 4 7710 2．求证：Cm

nm1nmCm1 n 的值．

x13．设xN, 求Cx12x3Cx12x32x3

解：由题意可得：x12x3 即：2≤x≤4

∵xN, ∴x=2或3或4 当x=2时原式值为7；当x=3时原式值为7；当x=2时原式值为11．

∴所求值为4或7或11．

4．例题讲评

例1．

6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分

法？

略解：C2 6C4C29022 例2．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组，问组成方法共有多少种？

解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有C43，C 100种方法．

24C61，C14C62，所以一共有C43+C24C61+C14