一 比较法教学设计实例

证明不等式的基本方法——比较法教案

教学目标：

理解，掌握比较法证明不等式，要求学生能够灵活的运用作差比较法证明不等式

了解作商比较法证明不等式

培养渗透转化，分类讨论等数学思想，提高分析，解决问题能力

教学重点与难点

求差比较证明不等式是本节的重点，求差后，如何对差式进行适当变形，并判断符号是本节课教学难点。

教学过程设计

一．不等式的定义及不等式性质的回顾

对称性

传递性

可加性

可乘性

乘方

开方

如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即a＞b⇔b＜a

如果a＞b，b＞c，那么a＞c．即a＞b，b＞c⇒a＞c

如果a＞b，那么a＋c＞b＋c

如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc

如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n≥2)

如果a＞b＞0，那么

(n∈N，n≥2)

二．引入比较法证明不等式，理解，认识比较法

比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种

作差比较法

要证明a>b，只要证明a－b>0 要证明a

作差→因式分解(或配方)→判断符号→得出结论

作商比较法

a要证明a>b>0，只要证明＞1 bb要证明b＞a＞0，只要证明>1 a作商→恒等变形→判断与1的大小→得出结论

定义

步骤

三．典型例题（作差比较法）

例1 证明

(2x1)(3x2)(5x9)(x2)证明：(2x1)(3x2)(5x9)(x2)(6x2x2)(5x2x18)x216160 (2x1)(3x2)(5x9)(x2)

例2

试比较x23与3x的大小

x233xx23x3

3233(x)0244x230以上两例题变形的结果是一个数（或式子）的平方与一个数的和

例3已知ab0,求证2a3b32ab2a2b

证明：2a3b32ab2a2b2a(a2b2)b(a2b2)(ab)(2ab)(ab)(ab)(2ab)22

ab0ab0,ab0,2ab0(ab)(ab)(2ab)02a3b32ab2a2b

本题变形的方式是因式分解

例4 求证：22x1

x12x2xx21(x1)2证明：21x1x21x21x210,(x1)20(x1)220x12x1x21

本题变形的方式是最差，通分。

a2b2ab练一练：

试问：22与（a，b0）的大小关系，并说明理由abab

a2b2ab2ab2ab(a2b2)(ab)(a2b2)(ab)(a2b2)(ab)(ab)[(ab)(ab)](a2b2)(ab)2ab(ab)2(ab2)(ab)

222

分类讨论：ab,ab,ab因为a20,b20,ab0,ab02ab(ab)a2b2ab若ba0,ab0,20,此时2(ab2)(ab)ab2ab2ab(ab)a2b2ab若ab0,ab0,20,此时222(ab)(ab)abab2ab(ab)a2b2ab若ab0,ab0,20,此时222(ab)(ab)abab此题是分类讨论的思想

方法归纳：

做差比较法证明不等式的步骤：（1）做差

（2）变形

（3）判断符号

（4）结论

在这四步中变形最重要，变形的方法主要有：配方，因式分解，通分，等等。

在定号中，若为几个因式的积，需每个因式均先定号，当符号不确定时，需进行分类讨论

问题思考：

作差比较适用类型是什么？实质是什么？

提示：作差比较法尤其适用于多项式结构特征的不等式的证明，实质是把两个数或式子的大小的大小判断问题转化成一个数（或式子）与0的大小的关系

四

作商比较法

试一试：设a.0,b0且ab试比较aabb与abba的大小

aabbaaba解析:baab()abbabbaa

当ab0时，1,ab0,所以()ab1,于是aabbabbabbaa当ba0时，10,ab0,所以()ab1,于是aabbabbabb2、商比较适用类型是什么？实质是什么？

提示：作商比较法尤其适用于积、商、幂、对数根式形式的不等式的证明，实质是把两个数或式子的大小的大小判断问题转化成一个数（或式子）与1的大小的关系

课堂小结：

做差比较中，变形最关键，为利于判断符号，

一般将变形为“含平方和，含平方式，分式，

或积的形式”

做商比较中，注意两个代数式都是正的，且

结果和1比较