3.三个正数的算术-几何平均不等式教案2

1.1.3 三个正数的算术-几何平均不等式

教学目标：

知识与技能：了解三个正数的算术-几何平均不等式的推导；掌握三个正数的算术-几何平均不等式及其简单应用。

过程与方法：复习两个正数的算术-几何平均不等式，引导学生类比三个正数的算术-几何平均不等式;通过不等式的证明，巩固对不等式的结构的理解和记忆；通过问题探究，学会运用不等式求最值、证明不等式、解决实际问题。

情感态度与价值观：通过学习，理解事物间是相互联系的，培养学生在困难面前敢于面对、不放弃的思想品质；提高学生分析问题，解决问题的能力。

教学重点：

了解三个正数的算术-几何平均不等式；会用三个正数的算术-几何平均不等式解决相关问题；

教学难点：

两个正数的基本不等式到三个正数基本不等式及n个正数不等式的推广；不等式的应用；

教学过程：

问题1.基本不等式给出了两个正数的算术平均与几何平均的关系. 这个不等式能否推广呢？推广后的形式会是怎样的呢？

问题2.如何证明你的猜想？

3331、引理：已知a,b,cR, 求证：abc3abc.

（当且仅当a=b=c时，等号成立）

证明：

a3b3c33abc(ab)33a3b3ab2c33abc(ab)3c33a3b3ab23abc22(abc)(ab)(ab)cc3ab(abc)222(abc)a2abbacbcc3ab(abc)(a2b2c2abbcca)1(abc)(ab)2(bc)2(ca)20,2333因此

abc3abc.（当且仅当a=b=c时，等号成立）

2、三个正数的算术几何不等式: 若a,b.cR,那么abc3abc,当且仅当abc时，等号成立。3

变式：1、abc332、abc(

abcabc3.)

当且仅当abc时,等号成立

3

问题3.你能否把基本不等式推广到一般情形吗？

3、对于n个正数a1,a2,a3,它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，

an，a1a2a3即n4、定理的应用：

an≥na1a2a3an

(当且仅当a1a2a3an时取等号.) 例1.已知x,y,zR, 求证： (xyz)327xyz; xyz3xyz>0，3xyz3所以（）xyz33即（xyz）27xyz

证明：因为变式：已知x,y,zR, 证明：(xyz)(yzx)9; yzxxyz

例2．(1)当0

x1时,求函数yx2(1x)的最大值.解:0x1,1x0,xxyx2(1x)4(1x)22xx1x4224()3327x24当1x,即x时,ymax.2327

(2)当0x1时,求函数yx(1x2)的最大值.

21x0,0x1,解:yx(1x)222212x21x21x234()23273当2x21x2,即x时,342y2max,ymax3.279变式：当012x2(1x2)(1x2)2

2时,求函数ysincos2的最大值.

例３．将一块边长为a的正方形铁皮,剪去四个角(四个全等的正方形),作成一个无盖的铁盒,要使其容积最大,剪去的小正方形的边长为多少?最大容积是多少?

a解：设剪去的小正方形的边长为x，则其容积为 : Vx(a2x)2,(0x)

214x(a2x)(a2x)32a3[]4327a2a3当且仅当4xa2x,x时,Vmax627

2a3即当剪去的小正方形边长为时,铁合的最大容积是.

6271V4x(a2x)(a2x)4a2例4. 求函数y2x3,(x0)的最大值，指出下列解法的错误,并给出正确解法. x解一:y2x2311122x2332x2334. ∴ymin334．

xxxxx333312122232x解二:y2x22x26x当即x时, ymin262331226324

x2xx22正解：

y2x23x2x2333393332x2333362x2x2x2x22当且仅当2x25、课堂练习：

1.函数333,x时,ymin336.2x22

y3x12(x0)的最小值是 ( ) 2x A.6 B.66 C.9 D.12 2 2.函数y4x16的最小值是____________ (x21)2 3．函数yx4(2x2)(0x2)的最大值是（ ）

A.0 B.1 C.6、课堂小结：

1632 D. 2727（1）定理的推导；熟记定理的结构特征；

（2）定理的应用



求最值：一正，二定，三相等



实际应用

7、布置作业：