探究与发现 子集的个数有多少名师教学设计

第1课时

排列与排列数公式

学习目标

1.了解排列的概念.2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题．

知识点一

排列的定义

从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动．

思考

让你安排这项活动需要分几步？

答案

分两步．第1步确定上午的同学；

第2步确定下午的同学．

梳理

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

知识点二

排列数及排列数公式

思考

从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的3位数？

答案

4×3×2＝24(个)．

梳理

排列数定义

排列数表示法

排列数公式

乘积式

阶乘式

性质

备注

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数

Amn

Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) Amn＝n！

n－m！An，0！＝1 n＝n！n，m∈N*，m≤n

1．a，b，c与b，a，c是同一个排列．(

×

) 2．同一个排列中，同一个元素不能重复出现．(

√

) 3．在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．(

×

) 4．从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．(

×

)

类型一

排列的概念

例1

判断下列问题是否为排列问题：

(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；

(2)选2个小组分别去植树和种菜；

(3)选2个小组去种菜；

(4)选10人组成一个学习小组；

(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；

(6)某班40名学生在假期相互通信．

考点

排列的概念

题点

排列的判断

解

(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．

(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．

(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．

(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．

(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．

所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题．

反思与感悟

判断一个具体问题是否为排列问题的思路

跟踪训练1

判断下列问题是否为排列问题．

(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又

有多少种方法？

(2)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭x2y2x2y2圆方程2＋2＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程2－2＝1? abab(3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？

考点

排列的概念

题点

排列的判断

解

(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．

(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．

x2y2若方程2＋2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定；

abx2y2x2y2在双曲线2－2＝1中，不管a>b还是a

(3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题．

类型二

排列的列举问题

例2

(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？

(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．

考点

排列的概念

题点

列举所有排列

解

(1)由题意作“树状图”，如下．

故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个．

(2)由题意作“树状图”，如下．

故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb. 反思与感悟

利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略

(1)适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．

(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，

然后再按树状图写出排列．

跟踪训练2

写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法．

考点

排列的概念

题点

列举所有排列

解

由题意作“树状图”，如下，

故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB. 类型三

排列数公式及应用

例3

(1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且，n<55)；

42A58＋7A8(2)计算8；

A8－A59mm1(3)求证：Am. n＋1－An＝mAn－考点

排列数公式

题点

利用排列数公式计算

(1)解

因为55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15(个)元素，

15所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝A69－n. 42A58＋7A8(2)解

5

A88－A9＝＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×5

8×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×58×7×6×5×8＋7＝1. 8×7×6×5×24－9m(3)证明

方法一

因为Amn＋1－An

＝＝＝n＋1！n！－

n＋1－m！n－m！n！n＋1－1

·n－m！n＋1－mn！m·

n－m！n＋1－mn！－1＝m·＝mAm，

nn＋1－m！mm1所以Am. n＋1－An＝mAn－

m方法二

Am

n＋1表示从n＋1个元素中取出m个元素的排列个数，其中不含元素a1的有An个．含有a1的可这样进行排列：

先排a1，有m种排法，再从另外n个元素中取出m－1个元素排在剩下的m－1个位置上，1有Am种排法．

n－m1m故Am＋An，

n＋1＝mAn－1m所以mAm＝Amnn＋1－An. －反思与感悟

排列数公式的形式及选择方法

排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式．

x2跟踪训练3

不等式Ax8<6A8的解集为(

) －A．[2,8]B．[2,6]C．(7,12)

D．{8} 考点

排列数公式

题点

解含有排列数的方程或不等式

答案

D 8！8！x－2解析

由Ax<6×，

8<6A8，得8－x！10－x！化简得x2－19x＋84<0，

解得7

x≤8，又所以2≤x≤8，②

x－2≥0，

由①②及x∈N*，得x＝8.