信息技术应用 μ，σ对正态分布的影响优质教案设计

正态分布

一、教学目标

1.学习正态分布密度函数解析式；认识正态曲线的特点及其表示的意义；

过程与方法目标：

2.以情境引入，以实验作载体，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习热情；

二、教材分析

正态分布是人教A版选修2-3第二章第四节的内容，该内容共一课时.之前，学生已经学习了频率分布直方图、离散型随机变量等相关知识，这为本节课学习奠定了基础，而正态分布研究是连续型随机变量，既是对前面内容的补充、拓展，又为学生初步应用正态分布知识解决实际问题提供了理论依据. 三、学情分析

学生已在必修三中学习过频率分布直方图、总体密度曲线，但间隔时间较长，有些遗忘，可能会影响课堂进度.正态曲线的特征较多，证明也较为复杂，如果等到课堂上才开始思考，必定影响课堂容量.本班学生为理科名校班，学生能力较强，要给学生发挥主观能动性的空间. 四、教学重点：

（1）正态分布密度函数解析式；

（2）正态曲线的特点及其所表示的意义. 五、教学难点：

正态曲线的特点

六、教学过程

（一）情境引入：高尔顿板实验

讲解：同学们见过高尔顿板吗？实验探究：模拟高尔顿板实验. 【问题1】：在投放小球之前，你知道小球会落在哪个球槽吗？请第二小组的同学提出你们的猜想，并通过完成这个实验来验证猜想. 学生：不能确定落在哪个球槽.N=10，符合吗?n=50，符合吗?n=100，n=200，符合吗? 依据实验结果，我们猜测，当n5000时，实验结果是落入中间球槽的球个数较多. 讲解：感谢第二小组的同学，实验非常成功. 设计意图：高尔顿板引入，可增强学生参与度. 绘制总体密度曲线

根据统计出的数据绘制绘制频率分布直方图，并绘制总体密度曲线. 【问题2】：这里画出了一个频率分布直方图.其中横轴、纵轴分别表示什么量？

学生：横轴表示与球槽的编号相对应的随即变量X，纵轴表示频率/组距.

1

【问题3】正确，由频率分布直方图怎样能作出总体密度曲线呢？

学生：增加样本容量，作图时增加组数，减小组距. 【问题4】增加组数、减小组距在高尔顿板试验中怎样可以做到？

学生：增加球槽个数，细化球槽. 讲解：编号相应的随机变量X是一个离散型随机变量，取值不连续.无论怎样增加球槽个数，X仍然是离散型随机变量，我们不如来个彻底的改变，去掉高尔顿板实验中下边的球槽，并沿其底部建立一个水平坐标轴，标上刻度，用X表示落下的小球和水平坐标轴接触时的坐标.随机变量X不再是一个离散型随机变量，而一个连续型随机变量.这样，组距和组数就可以在作图时自行决定了.我们将画出的是连续型随机变量X的总体密度曲线. 设计意图：表明正态曲线研究的是连续型随机变量. 【问题5】：请同学们观察曲线的形状，它有什么特点呢？

学生：中间高两边低、左右对称. 设计意图：让学生对曲线形状有个初步认识. 讲解：这条曲线像我们生活中的钟、铃铛等类似形状的东西.因此，我们形象的称这种曲线为钟形曲线. 我们本节课的目标就是学习曲线所对应的函数解析式，总结曲线的特点.请同学们阅读课本并同时思考这两个问题. （二）新课

1. 正态曲线的定义

讲解：请一位同学回答正态分布密度函数的解析式，及正态分布密度曲线的概念. 这条曲线就是（或近似的是）下面函数的图象：,(x)1e2(x)222

,x(,)，其中参数是平均值，是标准差，我们称,(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.

讲解：正态曲线是特殊的总体密度曲线.大家知道这个函数的来历吗？正态分布密度函数的发现发展经过棣莫弗、拉普拉斯、凯特莱和高尔顿等很多科学家的辛苦努力.高斯于1801年得出上面我们见到的函数解析式，但高斯是个非常严谨的人，经过八年的时间完善理论系统，才于1809年将结论公布于世.同学们现在是站在巨人的肩膀上，相信大家今后会有更高的成就. 设计意图：解决了本节课开始时设置的悬念，并增加了数学课堂的人文情怀. 标准正态曲线：当

0 ，

1 ；

2

1x2f(x)e,x(,)22

称为标准正态分布的函数,其图象称为标准正态曲线.

2.正态曲线的特点

实验探究：用几何画板研究正态曲线随着和变化的特点：

1.μ的意义

探究：固定σ的值，改变μ的值，观察正态曲线的变化.

2.σ的意义

探究：固定μ的值，改变σ的值，观察正态曲线的变化.

学生：正态曲线特点

（1）曲线位于轴上方，与轴不相交

（2）曲线是单峰的，它关于直线对称

（3）曲线在处达到峰值

（4）曲线与轴之间的面积为1 （5）当

一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移

3

（6）当一定时，曲线形状由确定，越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；

越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散

讲解：这两组同学的结论既完整又准确.我们一起来直观感受,对曲线的影响. 设计意图：通过实验探究，直观感知,对曲线的影响，知识的总结定型过程，必不可少. 3.正态分布定义

【问题6】：

如何求随机变量X落在区间（a,b]的概率？

学生：面积. 讲解：准确的说，由直线xa、xb、曲线与x轴围成的曲边梯形的面积就是X落在区间(a,b]上的概率的近似值.如果随机变量X落在区间(a,b]内的概率的近似值为(x)求积分所得，就称随机变量X服从正态分布. 一般地，如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(ax)b,abX服从正态分布. (x)，则称随机变量dx1正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作N(,2). ○2随机变量X服从正态分布，记作X○N(,2). .经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布. .服从正态分布的随机变量是一种连续型随机变量.

4. 特殊区间的概率

4

3σ原则

随机变量服从正态分布的条件

讲解：一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布. 正态分布是一个常态分布，在现实生活中，很多随即变量都服从或近似服从正态分布.如：在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标；在测量中，测量的结果；在生物学

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中，某一群体的特征；在气相中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等. 总之，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际中. 正态分布在概率和统计中占有重要的地位. （三）例题

（四）课堂小结：

6

设计意图：鼓励学生自己梳理知识，发挥学生的主观能动性. （五）课后查阅

1.正态分布的实际应用；

2.正态分布的发展史.

（六）板书设计：

一、正态分布密度函数：,(x)二、正态曲线：,(x)的图象

三、正态分布：对实数a，b(ab)，

P(axb)四、正态曲线的特点：

1e2(x)222,x(,)

(x)dx，则Xa,bN(,2)

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