探究与发现 子集的个数有多少教学设计与反思

选修2-3

1.1.1

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

教材分析：

计数问题是数学的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本最重要的方法。它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。

发分类加法计数原理与分步乘法计数原理本身是容易理解的，甚至是不言自明的。单由于这部分内容是相对独立的，与前面学过的数学知识几乎没有联系，学生缺乏一定的认知基础。而这两个原理有时我们学习排列组合的基础，它的方法与思想贯穿于整章的教学内容中，所以学生对于两个原理的掌握程度决定了后面内容的学习效果。

两个原理的主要内容都是计算在完成一件事情中所有不同方法种数的问题，其核心在于正确地理解“完成一件事情”的含义，根据实际问题的特征，正确地区分“分类”或“分步”，从思想方法看，两个计数原理的运用实际上就是将一个复杂问题分解成若干“类别”或“步骤”，以达到简化问题的目的。所以在教学中要通过实例导入，引导学生利用实例分析两个原理的区别，明确使用的前提条件。

学情分析：

学生单纯从理解两类计数原理的程度，难度不大。但如何理解“完成一件事情”，是应该分类还是分步，如何选择合适的分类和分步标准是需要引起学生重视的。在常规的概念辨析讲解后，应重点放在关注学生的审题和思路分析上，为后续学习排列、组合以及各类特殊的计数问题做好铺垫。

教学目标：

1、能够结合具体实例，识别和理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其作用；

2、能够运用这些原理解决简单的实际问题；

3、学会辨别对于一个问题应当选择分类加法计数原理还是分步乘法计数原理；

4、在实际问题的分析处理中培养学生的逻辑推理、数学运算以及数据分析的核心素养。

教学重难点：

重点：归纳得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理并运用两个原理解决问题；

难点：正确地理解“完成一件事情”的含义，根据实际问题的特征，正确地区分“分类”或“分步”。

教学过程：

一、章节分析

我们在章引言中提到了这样的几个问题；某种汽车牌照号码组成方案下所有可能的号码个数；计算自己的玩具数量；篮球比赛的总场数等，这些都是生活中常见的计数问题，虽然我们可以利用列举法来列出所有可能性，但就像第一个例子一样，车牌号的所有可能个数很大时，我们就要去关心“如何能不通过一个一个地数而确定出这个数”，即要探究计数的技巧。而第一节《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》则是这类技巧的核心。

二、新课引入

以生活中点奶茶饮品为例，探讨在不同的要求下，选择一杯饮品的可能结果的计数方式，引出本节课要涉及的知识内容，并依次通过具体事例来分析归纳两类计数原理。

【问题一】某家庭欲在五一期间从甲地到乙地进行自助旅游，一天中有火车3班，有汽车2班，那么这个家庭一天乘坐这些交通工具从甲地到乙地有多少种不同的走法？

（学生思考：学生从个人认知的角度肯定会很快的报出结果5，同时也能解释是由3+2得到的）但是我们要结合点奶茶的例子，引导学生思考：

1、要完成一件什么事；

2、树立分类的思想，不同类别之间因为是并列关系，都可以独立的完成这件事。

引出第一个课题：分类加法计数原理

三、探索新知

由上述问题，你能归纳出分类加法计数原理的一般性结论么？

（板书）分类加法计数原理：

完成一件事，有两类不同的方案，在第一类方案中有m中不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法。

注：（1）任何一类方案中的任何一种方法都可以完成任务；

（2）两类方案中没有相同的方法；

（不重）

（分类标准）

（3）完成这件事的任何一种方法都在某一类中。

（不漏）

下面我们再次通过例子来熟悉这一计数原理。

【例1】在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，Ａ、Ｂ两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体如下: A大学

B大学

C大学

生物学

数学

新闻学

化学

会计学

金融学

医学

信息技术学

人力资源学

物理学

法学

工程学

如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢?

【分析】通过具体的思维步骤的方式，引导学生思考问题：

①

“完成一件什么事？”：选一个专业；

②

“如何完成这件事”：选一个专业即可，无其他要求；（要注意题目中的一些客观限制）

③

“选择一个合适的分类标准”：不同的大学

【解】设该名同学的选择共有N种。

则N549（种）

答：该名学生共有9种选择。

【变式】若还有C大学，其中强项专业如表格所示，那这名同学共有多少种选择呢？

（N54312种）

在上述两个例题的讲解中，引导学生注重分类加法计数原理中强调的不重不漏的要求。

那么我们做出推广：

若完成一件事，有n种不同的方案，在第1类方案中有m1中不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，...，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有

Nm1m2mn

种不同的方法。

【问题二】某家庭欲在五一期间从甲地到乙地进行自助旅游，一天中有火车3班，有汽车2班，后来听说丙地也是旅游胜地，于是改变行程，先从甲地到乙地，再从乙地到丙地，已知乙地到丙地一天中有飞机2班，轮船2班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到丙地共有多少种不同的走法？

我们来看如下的一种解法是否正确？

【解】设从甲地到丙地共有N种不同的走法，

则如果按从甲地到乙地的不同走法分类，则N4444420种。

我们发现对于该题的处理如果选择这种分类方式则略显复杂，几乎是用列举法将所有的可能结果都列出来再相加了。大部分学生对于这道题的处理都会直接用N4520种。

【例2】用前6个大写英文字母A、B、C、D、E、F中的一个和1～9九个阿拉伯数字中的一个，组成形如A1，B2的方式进行编号，总共能编出多少个不同的号码? 【分析】我们可以用列举法列出所有可能的号码：（常用的列举方式有树状图和字典法）

【解】树状图如下：

......

故N99999954种。

但是我们联系上例会发现由于前6个英文字母中的任意一个都能跟9个数字中的任意一个组成号码，而且结果各不相同，因此我们就可以用N6954种来求解。

【提问】那么我们能不能归纳出什么样的情况下，我们可以用这种乘法形式来计数呢？

给出分步乘法计数原理：

完成一件事情需要两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法。

注：（1）完成这件事的任何一种方法都要分成同样的两个步骤。

（分步标准）

（2）各个步骤是相互依存的，每一个步骤都要做完才能完成这件事。

（3）完成任何一个步骤可选用的方法与其他步骤所选用的方法无关。

（步骤完整）

引导学生通过类比分类加法计数原理，将分步乘法计数原理也进行推广：

即：

完成一件事，需要n个不同的步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，...，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有

Nm1m2mn

种不同的方法。

四、概念辨析

我们通过表格的形式来对比分析两个计数原理的区别与联系：

分类加法计数原理

关键词

区别

联系

五、例题讲解：

【例3】书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第三层放有2本不同的体育书，

（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

（2）从书架的第一、二、三层各取1本书，有多少种不同的取法？

（3）从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？（选讲）

【解】（1）以所选的书来自书架的层数分类，则N4329种；

（2）将书架取书分成从第一层取，从第二层取，从第三层取三个步骤依次完成，则

分类、加法

分步乘法计数原理

分步、乘法

每类方案中的每种方法都能完成这件事；

各个步骤都依次完成了，才能完成这件事；

分类要做到”不重不漏”；

分步要做到“步骤完整”；

都是关于完成一件事的不同方法的种数的计数原理

N43224种；

（3）要完成的事是“取两本不同学科的书”，先要考虑取哪两个学科，如计算机和文艺，再考虑取1本计算机书或者取1本文艺书都只完成了这件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选完后这件事才完成。因此该问题的处理则是先分类后分步的综合运用。

N43324226种。

（该题求解要注意学生容易出现的错解情况，选择不合理的分步标准会有重复计数的产生）

【例4】要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？

【解一】采用分步计数原理：第一步，选一幅挂左边；第二步，选一幅挂右边。

N326种；

【解二】采用分步计数原理：第一步，选两幅画出来；第二步，将两幅画挂好。

N326种。

【设计意图】引导学生注意到解题的分步标准并不唯一，不同的分步标准的练习是后面学习排列组合的铺垫。

六、归纳小结

通过今天所讲的几个例子我们能不能大致归纳下处理计数问题的常用解题思路？

思路可归纳如下：

（1）完成一件什么事？

（2）完成这件事有什么要求？

（3）如何完成这件事？是分类还是分步？

（4）进行计算并检验有无重复。

同时我们也要明确分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念、特征和应用方法。

七、课后作业：

1、分层作业《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》

（1）知识回顾（2）基础训练（3）强化与提高；

（4）探究与创新，学生自主选择是否完成，不做要求。

2、多项式x1x2x3y1y2z1z2z3z4的展开式中共有多少种不同的项？

3、将3中作物种植在如图所示的4块试验田中，相邻的两块试验田不能种植同一种作物，问有多少种不同的种植方案？（三种作物必须都种植）

八、教学反思:

本节课的内容在实际上课时会发现，学生对于几个例子的处理会比预想的更直接，那么当学生直接给出乘法计算后，如何跟学生解释加法和乘法的关系，以及加法与乘法的选择时机，才是这堂课的关键。不要刻意的引导学生一定要从加法开始再慢慢的变成乘法，而是分析加法与乘法的关系，强调一种前后的互不影响，来帮助学生理清分步的意义。那么列举法的运用是学生学习计数原理的重要过程，以什么方式列举，有无规律可循，这个规律能不能转换成计数方式，利用数学运算实现列举法的简化，是后面学习排列组合的基础，所以这节课在实际上课中对于以上两点的处理不是很理想，没有能够达成这两个教学目标，需要在下次的教学过程中进行调整。