正弦、余弦、正切函数的简单应用第二课时教学实录

导学案

教师: 学生:

年级

日期:

星期:

时段:

学情分析

课

题

学习目标与

考点分析

学习重点

学习方法

这份教案是中档拓展型教案，适合基础80分左右的学生，红色部分为我搜集的考试中的常考题，老师可以根据自己学生掌握的情况进行适当的增减

正弦、余弦与正切的简单应用

1、掌握正弦的定义与求值

2、掌握余弦的定义与求值

3、掌握正切的定义与求值

正弦余弦正切的简单应用

图形结合，讲练结合

学习内容与过程

知识点一：课前准备

问题：如图，小明沿着某斜坡向上行

走了13m后，他的相对位置升高了5m，如果

他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位

置升高了多少？行走了a m呢？

可求出∠A的对边与斜边之比为 。

以上情况下∠A的邻边与斜边的比值又如何？

知识点二：（一）、认识正弦、余弦

1、认识角的对边、邻边。

如图，在Rt△ABC中，∠A所对的边BC，我们称为∠A的对边；∠A所在的直角边AC，我们称为∠A的邻边。

2、认识正弦、余弦、正切

如图，在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c。

在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦。记作sinA。

sinA＝13m 20m A的对边aA邻边、cosA=

A的斜边c斜边

注意：1、sinA不是 sin与A的乘积，而是一个整体；

2、正弦的三种表示方式：sinA、sin56°、sin∠DEF 3、sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位。

（二）探究：（1）一个锐角的正弦值与边的长短无关，与锐角的大小有关；锐角越大，正弦值越大，反

1

之亦然。

（2）下面我们来验证一下吧！

观察图中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，它们之间有什么关系？

分析：由图可知Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3，

所以有：B1C1B2C2B3C3k，即sinA=k

AB1AB2AB3可见，在Rt△ABC中，锐角A的正弦值与边的长短无关，而与∠A的度数大小有关。也即是对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边的比值是惟一确定的.

（三）例题教学：

例、在△ABC中，∠C为直角。

（1）已知AC=3，AB=14，求sinA的值．

（2）已知sinB=4,求sinA的值．

5解：（1）如图，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：BC19.3.2 142∴sinABC325，AB51470；

14（2）∵sinB=AC4，故设AC=4k，则AB=5k,根据勾股定理可得：BC=3k，所以：sinA=3

AB55小结：①求正弦值或运用正弦值求线段时，要根据正弦的概念，找准相应的边，不能张冠李戴．②正弦值只是一个比值，不能直接当作边长用。

知识点三：正切

课前准备

问题1、观察回答：如图某体育馆，为了方便不同需求的观众设计了多种形式的台阶。下列图中的两个台阶哪个更陡？你是怎么判断的？

图（1） 图（2）

[点拨]可将这两个台阶抽象地看成两个三角形

答：图 的台阶更陡，理由

问题2、⑴如图，一把梯子斜靠在墙上，当它的顶端向下滑动后，它的底端将如何运动？滑动前（图中

2

A AA C

AB）与滑动后（图中A′B′）的位置的梯子，哪一个更陡些？你是根据什么判断的？你能用语言向同学描述吗？

⑵如何描述梯子在两个不同位置的具体的倾斜程度呢？

提示：在这一过程中变化的量有哪些？如何变化的？

⑶如图，如果两把梯子AB、CD靠在墙上，且AB∥CD，这两把梯子的倾斜程度相同吗？前面所提到的描述倾斜程度的量在这里分别对应相同吗？你能说明理由吗？

B1

探究新知

C1

1、思考与探索一：

除了用台阶的倾斜角度大小外，还可以如何描述台阶的倾斜程度呢？

①

甲：可通过测量BC与AC的长度，算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度。

②

乙：在台阶斜坡上另找一点B1,测出B1C1与AC1的长度，算出它们的比，

也能说明台阶的倾斜程度。你同意他们的看法吗

答：_________________.

2、思考与探索二：

一般地，如果锐角A的大小确定，我们可以作出无数个以A为一个锐角直角三形（如图），

BCB1C1B2C2成立吗？

那么图中：ACAC1AC2

⑴当∠A变化时，上面等式仍然成立吗？

⑵上面等式的值随∠A的变化而变化吗？

B2 B1 B A C1 C2 C

结论：如果一个直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定。这个比值反映了斜边相对于这角的邻边的倾斜程度，它与这个锐角的大小有着密切的关系。

3、正切的定义：

在直角三角形中，我们将∠A的对边与它的邻边的比称为∠A的正切，记作 tanA.

3

即：tanAA的对边a

A的邻边b比较tanA与tanB的表达式，你有什么发现？

_______________________________。

知识运用：

例题1：

如图,在Ｒt△ＡＢＣ中,∠Ｃ＝90°,∠Ａ＝30°,Ｅ为ＡＢ上一点且ＡＥ:ＥＢ＝4：1，ＥＦ⊥ＡＣ于Ｆ，连结ＦＢ，则tan∠CFB的值等于(

)

例题2：

（2012连云港）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°的角的正切值是

DCFEAB

A.3+1 当堂反馈

B. 2+1

C. 2.5

D.5

1、如图，AB是半圆的直径，弦AD、BC相交于P，已知∠DPB＝60º，︵D是BC的中点，则tan∠ADC等于（

）

13DC（A）

（B）2

（C）3

（D）

23

PA基础题：

OB第5题

1、（2012四川内江）如图4所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为

4

A B

C 图4 1A．2

5B．5

10C．10

25D．5

2、（2012福州.）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（

）

A．200米

B. 2003米

C. 2203米

D. 100(31)米

3、(2012山东德州)为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如下图形，其中ABBE，EFBE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；

②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（

）

（A）1组

（B）2组

（C）3组

（D）4组

A E D F

4、（2011山东省潍坊市）轮船从B处以每小时海里的速度沿男偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在观测灯塔A北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（

）海里

A．

253

B．

252

C．

50

D．25 C B

5

5、（2012湖北襄阳，10，3分）在一次数学活动中，李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD．如图5，已知李明距假山的水平距离BD为12m，他的眼睛距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为

A．(43＋1.6)m

C．(42＋1.6)m

C

B．(123＋1.6)m D．43m A O E B 图5 D

6、（2012山东泰安）如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30º，朝物体AB方向前进20米到达点C，再次测得A点的仰角为60º，则物体的高度为（

）

203A.103米

B.10米

C.203米

D.3

7、(2012广安中考试题第7题，3分)如图2，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长度是（

A

）

图2 A．100m B．1003m

C．150m

D．503m

拓展拔高题

1、(2012贵州黔西南州)兴义市进行城区规划，工程师需测某楼AB的高度，工程师在D处用高2m的测角仪CD，测得楼顶端A的仰角为30°，然后向楼前进20m到达E，又测得楼顶端A的仰角为60°，楼AB的高度为(

)．

6

A．(103＋2)m

B．(203＋2)m

C．(53＋2)m

D．(153＋2)m

2、（2012，湖北孝感）如图，在塔AB前得平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底B走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为（

）

100A．503米

B．1003米

C．31米

100D．31米

3. （2011江苏淮安，18，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后得到△AB1C1，B1C1交AC于点D，如果AD=22，则△ABC的周长等于 . AC1DBB1C

4. (2011江苏南京，11，2分)如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于_________． B O (第4题) A M

5、（2011杭州模拟26）如图，△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的三边分别记为a，b，c，O是△ABC的外心，OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,则OD:OE:OF= …………( ) A.a：b：c B. 111:: C.cosA:cosB：cosC D.sinA:sinB:sinC abc

7

5.（2011南京市中考）13．如图，海边有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓

形（弓形的弧是⊙O的一部分）区域内，∠AOB=80°，为了避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为______°．

P

O F B D （第6题图）

6．（2011 天一实验学校

二模）安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示.已知集热管AE与支架BF所在直线相交于水箱横截面⊙O的圆心O,⊙O的半径为0.2m ，AO与屋面AB的夹角为32°，与铅垂线OD的夹角为40°，BF⊥AB于B，OD⊥AD于D，AB＝2m,求屋面AB的坡度和支架BF的长.(参考数据：tan18

O A A B (第5题) C 13121,tan32,tan40)

35025

课内练习与训练

基础题：

1.（2011烟台市中考）17、计算-2sin60°+(π-1)2=______________ 2．如图，两条宽度都是1的纸条交叉叠在一起，且它们

的夹角为，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是（

）

A、11

B、

sincosC、sin

D、1

α

3、如图，∠1的正切值等于__________

y

3

2

1

1

x

8

O

1

2

3

第3题图

4.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,若⊙O的半径为则sinB的值是

（

）

A．

5.（2011扬州市中考）13．如图，C岛在A岛的北偏东60°方向，在B岛的北偏西45°方向，则从C岛看A、B两岛的视角ACB＝__________°．

度之间，叙述正确的是（ ）

A （第13题）

60°

B 北

C 45°

北

3，AC2，

22

3B．3

2C．5 3 D．5 26、（2011年北京四中中考全真模拟15）梯子跟地面的夹角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程

A. sinA的值越小，梯子越陡。

B. cosA的值越小，梯子越陡。

C. tanA的值越小，梯子越陡。

D. 陡缓程度与∠A的函数值无关。

7、（2011年北京四中中考全真模拟16）如图，O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD：OE：OF=( )

111A、a:b:c B、 : : C、cosA:cosB:cosC; D、sinA:sinB:sinC abc

9

8、（2011年浙江杭州五模）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sinEAB的值为（ ）

A、4343 B、 C、 D、

5345 D C E A B 第6题图

9、（2011年浙江杭州七模）如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A=75，∠C=45，那么sin∠AEB的值为（

）

A.

1

B.

3

C.2

D.

3

3222答案：D

oo

（第17题图）

10、（2011甘肃兰州市中考）17.某水库大坝的横截面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1：3，坝外斜坡的坡度i=1:1，则两个坡角的和为

. 拓展提高题

1、在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的正切值( )．

A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.扩大4倍 D.没有变化

2．（2006年金华市）如图所示，设A城气象台测得台风中心在A•城正西方向600km的B处，正以每小时200km的速度沿北偏东60°的BF方向移动，距台风中心500km•的范围内是否受台风影响的区域．

（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？

（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风的影响有多长时间？

3、（2011武汉市中考） 22.（本题满分8分）如图，PA为⊙O的切线，A为切点.过A作OP的垂线AB，垂足为点C，

10

交⊙O于点B.延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E. （1）求证：PB为⊙O的切线；

（2）若tan∠ABE=

4.（2011苏州市中考）25．（本题满分5分）如图，小明在大楼30米高（即PH＝30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：1，求sinE的值. 23，点P、H、B、C、A在同一个平面上．点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC．

(1)山坡坡角（即∠ABC）的度数等于

▲

度；

(2)求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.732）．

5.（2011宿迁市中考）19．（本题满分8分）计算：2(2)2sin30．

6.（2011宿迁市中考）23．（本题满分10分）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取3＝1.732，结果精确到1m）

0CA1.530100B45ED（第23题）

7.（2011泰州市中考）23．（本题满分10分）一幢房屋的侧面外墙壁的形状如图所示，它由等腰三角形OCD和矩形ABCD组成，∠OCD=25°，外墙壁上用涂料涂成颜色相同的条纹，其中一块的形状是四边

11

形EFGH，测得FG∥EH，GH=2.6m，∠FGB=65°。

（1）求证：GF⊥OC；

（2）求EF的长（结果精确到0.1m）。

（参考数据：sin25°=cos65°≈0.42，cos25°=sin65°≈0.91）

OEDFCAB65°CAHG（第23题图）B

D8、（2011无锡市中考）24．(本题满分9分)如图，一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行，在航线AB的正下方有两个山头C、D．飞机在A处时，测得山头C、D在飞机的前方，俯角分别为60°和30°．飞机飞行了6千米到B处时，往后测得山头C的俯角为30°，而山头D恰好在飞机的正下方．求山头C、D之间的距离．

9、（2011舟山市中考）22．如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC．

（1）求证：CA是圆的切线；

（2）若点E是BC上一点，已知BE=6，tan∠ABC=

（第22题）

25，tan∠AEC=，求圆的直径．

33ADBEC10.（2011盐城市中考）24．（本题满分10分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°. 使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？

（结果精确到0.1cm，参考数据：3≈1.732）

12

C30°BDE60°A

11.（2011杭州市中考）22. （本小题满分10分）

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F。

（1）求证：△FOE≌△DOC；

（2）求sin∠OEF的值；

（3）若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求ABCD的值。

GH

12、（2011上海市中考）21．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）如图5，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA＝3，AC＝2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N．

（1）求线段OD的长；

（2）若tanC1，求弦MN的长．

2OACMNBD

学生收获

你这次课一定有不少收获吧，请写下来：

教学反思

本次课后作业

13

14