反比函数在物理学中的应用教学设计第二课时

26.2实际问题与反比例函数

中江县永兴镇初级中学数学组

蒋志诚

第一课时

一、教学目标

1．核心素养

通过本课的学习，培养学生的模型思想和应用意识．

2．学习目标

（1）运用反比例函数的知识解决实际问题．

（2）经历“实际问题—建立模型—拓展应用”的过程，发展学生分析问题和解决问题的能力．

（3）经历运用反比例函数解决实际问题的过程，进一步体会数学建模思想，培养学生数学应用意识．

3．学习重点

运用反比例函数的概念、性质，分析和解决一些简单的实际问题

4．学习难点

抽象出实际问题中的反比例函数关系

二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

任务1

阅读教材P12－P13，回忆圆柱体积、底面积与高之间的关系．

任务2 工作效率、工作时间与工作总量之间有什么关系？

任务3 在上述两个问题中，当哪个量为常量时，它们成反比例函数关系？

2．预习自测

1 / 8

1．某工厂需生产230吨某产品，若每天生产x吨，则生产这批产品需要y天，则y与x之间的关系式为（

）

A．y230x

B．y230230

C．y230-

D．y230-x

xx【知识点：反比例函数的定义】

【答案】B 2．小明乘车沿同一条路从秀山到彭水，行车的平均速度y（km/h）和行车时间x（h ）之间的函数图象是（

）

yyxyyOOxOxOCxABD

【知识点：反比例函数的图象及性质；数学思想：数形结合】

【答案】B 3．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变窗口的体积时，气体密度也会随之改变，密度（kg/m3）是体积V（m3）的反比例函数，如图，当V=10m3时，气体的密度是（

）

(kg/m3)2O5V

A．5 kg/m3

B．2 kg/m3

C．100 kg/m3

D．1 kg/m3

【知识点：反比例函数的图象及性质；数学思想：数形结合】

【答案】D （二）课堂设计

1．知识回顾

2 / 8

（1）柱体体积等于底面积乘以高，圆锥的体积等于底面积乘以高的三分之一倍．

（2）工程问题：工作效率工作时间工作总量．

（3）在以前的学习中，还有哪些与反比例函数有关的知识点，请举例说明．

2．问题探究

问题探究一

回顾旧知

类比关联

●活动一

回顾旧知，引入新课

问题1

（1）我们已经学过反比例函数的哪些内容？

（2）前面已经学过了一次函数、二次函数，类比前面的学习过程，我们继续探究什么？基本方法有哪些？

学生独立解答，教师重点关注学生对本节课的学习对象是否清楚，基本方法是否了解，让学生进一步熟悉函数学习的基本过程和方法．

问题探究二

创设情境

探究学习

重点、难点知识★▲

●活动一

反比例函数与等积变换

例1

市燃气公司要在地下修建一个容积为105m3圆柱形煤气储存室．

（1）储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）有怎样的函数关系？

（2）公司决定把储存室的底面积S定为5000m2，施工队施工时应该向地下掘进多深？

（3）当施工队按(2)中的计划掘进到地下15m时，公司临时改变计划把储存室的深度改为15m，相应地，储存室的底面积就改为多少（结果精确到单位1）？

【知识点：反比例函数的应用】

思考：

（1）柱体体积与底面积、高之间的关系是什么？

（2）当柱体的高固定不变时，柱体体积与底面积之间是什么函数关系？当柱体体积固定不变时，柱体体积与高之间是什么函数关系？

（3）当柱体体积不变时，随着底面积的增大（或减小），相应的高有什么变化趋势？

详解：（1）由题意得：Sd=105

3 / 8

105∴S与d的函数关系为：S

d105（2）∵S

d105∴当S=5000时，d=20(m)（3）∵S

d105∴当d=15时，S=6667(m2) 15答：略

点拨：在反比例函数的定义中，要求常数k0，在涉及反比例函数的实际问题中，会受到现实情境的限制，常数k及两个变量经常只能取正数，甚至有时只能取正整数．

相应的，它的图象也会受到现实情境的限制．

问题探究三

实践运用

解决问题

重点、难点知识★▲

●活动一

反比例函数与不等关系

例2

码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了10天时间．

（1）轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v（单位：吨/天）与卸货天数t之间有怎样的函数关系？

（2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸货完毕，那么平均每天至少要卸货多少吨？

【知识点：反比例函数的应用】

对比与反思：

（1）此题中有现成的k吗？若没有，怎样确定k的值？

（2）“不超过”用数学语言怎么表示？

（3）除了用不等式求解，能否用反比例函数的增减性得到答案？请说说你的做法．

详解：（1）设轮船上的货物总量为k吨，由题意得：k1030300

∴v与t的函数解析式为v240

t

4 / 8

（2）∵v300

t30060（吨/天）

5∴当t=5时，v从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸载完那么每天卸载60吨．

对于函数v300，当t>0时，t越小，v越大．

这样若货物不超过5 天卸t载完，那么每天至少要卸载60吨．

点拨：（1）在实际问题中，若没告诉k的值，则需要先由已知条件先确定k的值，然后再由此得出相关问题的答案；（2）在涉及反比例函数与不等关系的问题时，很多时候可以将其转化为等式进行解答，然后再考虑实际情况得出相关答案．

●活动二

适当追问

拓展提高

重点、难点知识★▲

追问：如果码头工人先以30吨/天的速度卸载货物两天后，由于紧急情况，船上剩下的货物必须在不超过2天内卸载完，那么剩下的时间平均每天要卸载多少吨？

教师提出问题，引导学生思考、交流．

（1）工作先以每天30吨的速度卸载货物两天后，还有多少货物？

（2）剩下的货物必须在不超过4天内卸载完，此时还需要的卸载时间与卸载速度之间的函数关系发生了变化吗？

（3）你列出的函数解析式是什么？

【知识点：反比例函数的应用】

详解：（1）由例2知，以每天30吨的速度卸载两天后，还剩下300230240（吨）．

（2）由于加快了速度，函数关系会发生变化．

（3）因为2402120（吨/天），所以此时还需要的卸载时间t与卸载速度v的之间满足如下函数关系：t240（v120）．

v点拨：（1）由于生活中的实际问题受到多种因素的影响，函数解析式会随着情境的变化而变化；（2）还可做以下的追问：卸载总时间与后期卸载速度之间有

5 / 8

什么函数关系？通过这种类似的追问，引起学生的深入思考，从而提高教学效率．

3．课堂总结

【知识梳理】

(1) 柱体体积等于底面积乘以高，圆锥的体积等于底面积乘以高的三分之一倍．

当体积为常量时，底面积与高成反比．

(2) 工程问题：工作效率工作时间工作总量．

当工作总量为常量时，工作效率与工作时间成反比．

(3)学习生活中还有很多成反比例函数关系的例子．如当矩形面积不变时，矩形的长和宽成反比；当三角形的面积为常量时，三角形的底和高成反比．

有很多类似的例子．

【重难点突破】

(1)在“柱体体积等于底面积乘以高”这一关系中，当体积为常量时，底面积与高成反比；当底面积为常量时，体积与高成正比；当高为常量时，体积与底面积成正比．在其它实际问题中，也会有类似的情况．

(2)在例2和它的变式中清楚地告诉大家这样一个事实：在实际问题中，要特别注意自变量的取值范围；

很多实际问题的解析式为分段函数．

(3)在实际问题中，自变量的取值经常会受到现实条件的限制，如人的个数只能取整数；底面积、高、边长等不能取负数．

(4)实际问题中的不等关系有时可以转化为等量关系来解答，再根据实际情境得出准确答案．

4．随堂检测

1．某地燃料总量Q一定，该地人均燃料享有量y与人口数x的函数关系图象是（

）

yyxAyyxxOBOCxOD

O

6 / 8

答案：B 解析：

2．某气球内充满了一定质量的某种气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，如图，当气球内的气压大于160kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应（

）

p60(1.6，60)O1.6V

5533A．不小于m3

B．小于m3

C．不小于m3

D．小于m3

3355答案：C 解析：

3．为了更好保护水资源，造福人类，某工厂计划建一个容积为V(m3)的污水处理池，池的底面积S(m2)与其深度h(m)满足关系式：Vsh（V0），则当容积V为定值时，S与h的函数图象大致是（

）

S(m2）S(m2）S(m2）S(m2）

Ah（m）Bh（m）Ch（m）Dh（m）

答案：C 解析：

4．如图，A、B两地相距s千米，汽车从A地匀速行驶到B地，如果汽车每小时耗油a升，那么汽车从A地到B的总耗油量y升与汽车的行驶速度v千米/时的函数图象是（

）

7 / 8

yyyyvvOAvOBvOCOD答案：C 解析：

5．把一个长、宽、高分别为3cm、2.5cm、2cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S(cm2)与高h(cm)之间的函数关系式为

．

答案：S解析：

15

h

8 / 8