阅读与思考 生活中的反比例关系国家获奖教案

5

中考第一轮复习

一次函数与反比例函数

中考大纲剖析

考试内容

A

考试要求层次

B 能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置和变化；会由点的特殊位置，求点的坐标中相关字母的范围；会求已知点到坐标轴的距离；能用不同的方式确定物体的位置

C 认识并能画出平面直角坐标系；在给定的直角坐标系中，会根据坐标平面直角坐标系

描出点的位置、由点的位置写出它的坐标；了解特殊位置的点的坐标特征

了解常量和变量的意义；了解函数的概念和三种表示方法；能举出函函数及其图象

数的实例；会确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求函数值

理解正比例函数；能结合具体情境了解一次函数的意义，会画一次函数的图象；理解一次函数的性质

能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系

能探索具体问题中的数量关系和变化规律；结合函数关系的分析，能对变量的变化趋势进行初步预测；能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析

一次函数

会根据已知条件确定一次函数解析式；会根据一次函数的解析式求其图能用一次函数解决象与坐标轴的交点坐标；实际问题

能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解

反比例函数

能结合具体情境了能根据已知条件确定解反比例函数的意义；能反比例函数的解析式；能画出反比例函数的图象；用反比例函数的知识解决理解反比例函数的性质

有关问题

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1

本讲结构

【编写思路】一次函数和反比例函数在中考中的位置大都是第17,18题，难度不大. 在模拟考中有可能会涉及到反比例函数的面积问题。

本讲分三个模块，第一模块为一次函数的图象及性质，例1的几个小题主要

运用一次函数的性质解决一次函数的变换，理解系数对图象的影响；

第二模块为反比例函数，本模块主要让学生掌握反比例函数的图像和性质以及k的几何意义（例2）；

第三模块是一次函数与反比例函数综合，是本讲的重难点所在，主要有四类题型：一是一次函数的反比例函数的图像与性质综合（例3）；二是解析式或点的坐标的确定：知点求线、知线求点（例4）；三是函数与方程、不等式综合（例5）；四是函数与几何综合（面积问题）（例6、例7）.

模块一

一次函数的图象及性质

知识导航

一次函数图象的性质

ykxb

k0

b0

示意图（草图）

y0x经过的象限

一、三

变化趋势

性质（增减性）

从左向右上升

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y随x的增大而增大，y随x的2

y

减小而减小

xb0

y0一、二、三

b0

0x一、三、四

yb0

y0x二、四

k0

b0

0x一、二、四

从左向右下降

y随x的增大而减小，y随x的减小而增大

yb0

0x二、三、四

一次函数ykxbk≠0图象的平移、对称和旋转

对称

变换

平移

关于x轴

⑴k值不变，平移图象上的一个点；

方法

⑵k值不变，“上加下减，左加右减”

一些特殊直线

ykxbk≠0

⑴对称图象上的两个点；

⑵k、b均变为相反数

关于y轴

⑴对称图象上的两个点；

⑵k变为相反数，b不变

关于垂直于坐标轴的直线

对称图象上的两个点，由对称后的两点坐标确定解析式

旋转

旋转图象上的两个点，由旋转后的两点坐标确定解析式

k1

0点

过1，0点

过1，大致图象

等

举例

yx1，yx2等

等

y2x2，y3x3等

等

k，b互为相反数

即kb0

11yx，yx122等

kb

重要性质

⑴与yx或yx平行

⑵与x，y轴的夹角为45，并与坐标轴围成等腰直角三角形

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3

夯实基础

1向下平移2个单位后的坐标是

；

【例1】

⑴点0，直线y2x1向下平移2个单位后的解析式是

；

直线y2x1向右平移2个单位后的解析式是

．

b，Bb，a，Cab，ba，那么直线l经过⑵如果一条直线l经过不同三点Aa，（

）

A．二、四象限

B．一、二、三象限

C．二、三、四象限

D．一、三、四象限

14⑶函数y1x和y2x的图象相交于（1，1），（2，2）两点．当y1y2时，x 33

的取值范围是（

）

A．x＜1

B．1＜x＜2

C．x＞2

D．

x＜1或x＞2

⑷设ba，将一次函数ybxa与yaxb的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组a、b的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（

）

yyyybaOxbbaO1BxO1aCxbaOxAD

3⑸在平面直角坐标系中，已知直线y=x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C 4（0，n）是y轴正半轴上一点．把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，

则点C的坐标是

(

) A.（0，34）

B.（0，）

C.（0，3）

D.（0，4）

431，y2x1．

y2x3．

【解析】

⑴

0，⑵

设直线l的解析式为ykxt，因点A，B在直线l上，

4 初三寒假·第5讲·目标-目标1班·教师版

bkat∴，∵ab，解得：k1，

akbt故直线l的解析式为：yxt，

又∵点C在直线l上，

∴baabt，得t0，即直线l的解析式为yx

∴直线l经过二、四象限．选A．

⑶

D.

⑷

B.

⑸

B.

模块二

反比例函数

一、反比例函数的性质

xmx112x11示例剖析

2定

0义

m≥0axbma

，x11x11kx0，x2反比例函数y(k为常数，k0)的图象由两条曲线组成，每条曲线随着x的不断增x大(或减小)越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．

当k0时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增大而减小

当k0时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增大而增大．

对称性：1．图象关于直线yx与直线yx轴对称

2．

图象关于原点中心对称

二、与反比例函数有关的面积问题

定

义

反比例函数yk．

示例剖析

k(k为常数，k0)图象上的任意一点的横纵坐标之积等于比例系数x初三寒假·第5讲·目标-目标1班·教师版

5

yB1B2B3OA1kxP2y=P1kxP2

S矩形A1P1B1OS矩形A2P2B2OS矩形A3P3B3O|k|；

P3x

y

y=P1A2A3（1）

S△P1A1OS△P2A2OS△P3A3OP3x|k|．

2

OA1A2A3（2）

yA∵S△AOMS△BON

BS△AOBS四边形AONBS△BONS四边形AONBS△AOM

∴S△AOBS梯形ABNM．

OMNx

yABODCx

点A与C，点B与D分别关于原点对称，所以四边形ABCD为平行四边形．

从而S四边形ABCD4S△AOB．

y（4）

①S1S2；

②S四边形MONP的值为定值；

③当M为AP中点，则N必为PB中点；

④当M为AP的n等分点时，N必为PB的n等分点．

xAS1OMPNBS2

能力提升

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6

【例2】

⑴函数y1xx≥0，y24x0的图象如图所示，则结论：

x2；

①两函数图象的交点A的坐标为2，yBy1=x4x②当x2时，y2y1；

A③当x1时，BC3；

C④当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而

O减小．

x=1其中正确结论的序号是

．

y⑵如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别与坐标

Bk22k1轴平行，点C在反比例函数y的图象上.若点A的坐标

xO2，则k的值为_________. 为2，A

⑶如图，反比例函数yy

C

E

B

y2=xCxDk(x0)的图象经过矩形OABC对角D

xM

线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．若四边形x

O

A

ODBE的面积为6，则k的值为__________

y

3⑷如图，A、B为反比例函数yx0的图象上的两点，xAACx轴，轴于点C，BDy轴于点D，AC、BD交于点E，EB若四边形OCED的面积为1，则ACBD的值为

。

D

OCx

y⑸如图，矩形OABC的两条边在坐标轴上，OA=1，OC=2，现

CB将此矩形向右平移，每次平移1个单位，若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对→值为0.6，则第n次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为

（用含n的代数式表示）

（2012绍兴）

OA【解析】

⑴

①③④．

⑵1或3.

⑶2. ⑷9．

x⑸设反比例函数解析式为yk，则①与BC，AB平移后的对应边相交；

x与AB平移后的对应边相交的交点的坐标为（2，1.4），

k14，解得k2.8，

2514故反比例函数解析式为y．

5x则1.4则第n次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数初三寒假·第5讲·目标-目标1班·教师版

7

图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为：②与OC，AB平移后的对应边相交；

141414；

5n5(n1)5n(n1)k0.6，

26解得k．

5k故反比例函数解析式为y6．

5x则第n次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为：666．

5n5(n1)5n(n1)故第n次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为146或．

5n(n1)5n(n1)故答案为：146或．

5n(n1)5n(n1)模块三

一次函数与反比例函数综合

知识导航

解决面积的几种方法：

1、公式法：三角形、特殊四边形等面积公式；

2、割补法：通过“割补”转化为易求图形面积的和或差；

3、容斥法

4、等积变换法：如同底等高、平行线法

5、铅垂线法：如右图所示S△ABCh1h2称为水平宽. yAh1PBOh2xC1

APh1h2，AP称为铅垂高，28 初三寒假·第5讲·目标-目标1班·教师版

夯实基础

【例3】

⑴已知关于x的函数ykx1和y（

）ykk≠0，它们在同一坐标系中的大致图象是xyyyOOxOxOxx

A．

B．

C．

D．

⑵如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直k角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线y(k≠0)x与ABC有交点，则k的取值范围是

A．1k2

B．1≤k≤3

C．1≤k≤4

D．1≤k4

(2013平谷一模) y C A O 1 B x

【解析】

⑴

A．⑵C

【例4】

⑴

在平面直角坐标系xOy中，直线yx向上平移1个单位长度得到直线l．直线l与k2，则k的值等于

．

反比例函数y的图象的一个交点为Aa，x3⑵

直线yaxa0与双曲线y交于Ax1，y1、Bx2，y2两点，则x4x1y23x2y1

．

⑶

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：yx1，双曲线y1，在l上取一点A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于x A2 y点B1，过B1作y轴的垂线交l于点A2，请继续操作并探究：过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交l于点

1 O

1 B1 x A1 l初三寒假·第5讲·目标-目标1班·教师版

9

…，这样依次得到l上的点A1，A2，A，…，An，….记点An的横坐标为an，若a12，A3，则a2=

，a2013

；若要将上述操作无限次地进行下云，则a1不能取的值是

. （2013北京）

【解析】⑴2；⑵联立直线和双曲线得：ax33，则ax230，∴x1x2，

ax又y1ax1，y2ax2，则4x1y23x2y14ax1x23ax1x2ax1x23．

1⑶根据A12,3求出B12,；

2131根据B12,求出A2,；

2223132根据A2,求出B2,；

22233212根据B2,求出A3,；

2333121根据A3,求出B3,3；

3331根据B3,3求出A42,3；

3至此可以发现本题为循环规律，3次一循环，∵201336703；

∴a2013a3；

1a,A重复上述过程，可求出A1a1,a11、B1、12aa,a、111131a11a11a1a111B2,A,B,a1、、、A4a1,a11；

331aa111a11a11a11由上述结果可知，分母不能为0，故a1不能取0和1. 【点评】找规律的题目，规律类型有两种类型，递进规律和循环规律，对于循环规律类型，

多求几种特殊情况发现循环规律是最重要的.

10 初三寒假·第5讲·目标-目标1班·教师版

能力提升

ym【例5】

如图，在直角坐标平面内，函数y（x0，m是常数）的图象x经过A(1，4)，B(a，b)，其中a1．过点A作x轴垂线，垂足为C，A过点B作y轴垂线，垂足为D，连接AD、DC、CB．

BD⑴若△ABD的面积为4，求点B的坐标；

OC⑵若DC∥AB，当ADBC时，求直线AB的函数的解析式．

m4)，

【解析】

⑴函数y(x0，m是常数）图象经过A(1，xm4．

44如图，设BD，AC交于点E，据题意，可得B点的坐标为a，，

D点的坐标为0，，aa4E点的坐标为1，，

a4．

a14由△ABD的面积为4，即a44，

2a4得a3，点B的坐标为3，

3xa1，DBa，AE4yADEOCBx

⑵

DC∥AB，当ADBC时，有两种情况：

①当AD∥BC时，四边形ADCB是菱形，

由AE=CE，BE=DE得，BEAEa1，a11，得a2．

DECE．

点B的坐标是（2，2）设直线AB的函数解析式为ykxb，把点A，B的坐标代入，

4kb，k2，得解得

22kbb6.直线AB的函数解析式是y2x6．

②当AD与BC所在直线不平行时，四边形ADCB是等腰梯形，

则BDAC，a4，点B的坐标是（4，1）．

设直线AB的函数解析式为ykxb，把点A，B的坐标代入

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11

4kb，k1，得解得

14kb.b5直线AB的函数解析式是yx5．

综上所述，所求直线AB的函数解析式是y2x6或yx5

【例6】

如图1所示，已知y6（x＞0）图象上一点P，PA⊥x轴于点A（a，0），点B坐标为x（0，b）（b＞0），动点M是y轴正半轴上B点上方的点，动点N在射线AP上，过点B作AB的垂线，交射线AP于点D，交直线MN于点Q连接AQ，取AQ的中点为C．

⑴

如图2，连接BP，求△PAB的面积；

⑵

当点Q在线段BD上时，若四边形BQNC是菱形，面积为23，求此时P点坐标；

⑶

当点Q在线段BD上时，且a=3，b=1，若以点B，C，N，Q为顶点的四边形是平

行四边形，求这个平行四边形的周长．

（2013义乌）

yDQyDMBNPCA图1xMBPOOA图2x

【解析】⑴

S△PAB=S△PAO=xy=×6=3；

⑵

如图1，∵四边形BQNC是菱形，

∴BQ=BC=NQ，∠BQC=∠NQC，

∵AB⊥BQ，C是AQ的中点，

∴BC=CQ=AQ，

∴∠BQC=60°，∠BAQ=30°，

在△ABQ和△ANQ中，

，

∴△ABQ≌△ANQ，

∴∠BAQ=∠NAQ﹣30°，

∴∠BAO=30°，

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12

∵S四边形BQNC=2∴BQ=2，

∴AB=BQ=2∴OA=，

，

AB=3，

又∵P点在反比例函数y=的图象上，

∴P点坐标为（3，2）；

⑶

∵OB=1，OA=3，

∴AB=，

∵△AOB∽△DBA，

∴=，

∴BD=3，

①如图2，当点Q在线段BD上，

∵AB⊥BD，C为AQ的中点，

∴BC=AQ，

∵四边形BNQC是平行四边形，

∴QN=BC，CN=BQ，CN∥BD，

∴==，

，

∴BQ=CN=BD=∴AQ=2，

∴C四边形BQNC=2+2；

②如图3，当点Q在线段BD的延长线上，

∵AB⊥BD，C为AQ的中点，

∴BC=CQ=AQ，

∴平行四边形BNQC是菱形，BN=CQ，BN∥CQ，

∴==，

，

=．

=2，

∴BQ=3BD=9∴AQ=∴C四边形BNQC=2AQ=4

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13

探索创新

【例7】

在平面直角坐标系xOy中，

A，B两点在函数C1:yk1(x0)的图象上，

x其中k10．AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，且

AC=1．

(1) 若k1=2，则AO的长为

，△BOD的面积为

；

(2) 如图1，若点B的横坐标为k1，且k11，当AO=AB时，求k1的值；

k(3) 如图2，OC=4，BE⊥y轴于点E，函数C2:y2(x0)的图象分别与线段BE，

xBD交于点M，N，其中0k2k1．将△OMN的面积记为S1，△BMN的面积记为S2，若SS1S2，求S与k2的函数关系式以及S的最大值．

[来源:学科网ZXXK]

【解析】(1) AO的长为5，△BOD的面积为

1；

(2) ∵A，B两点在函数C1:yk1x(x0)的图象上，

图1

图2 (2013西城二模)

∴点A，B的坐标分别为(1,k1)，(k1,1).

∵AO=AB，

由勾股定理得AO21k12，AB2(1k1)2(k11)2，

∴1k12(1k1)2(k11)2.

解得k123或k123.

∵k11，

EMBNk2xy=yCy=k1xA∴k123.

(3) ∵OC=4，

∴点A的坐标为(1,4). 初三寒假·第5讲·目标-目标1班·教师版

ODx14

∴k14.

设点B的坐标为(m,)，

m4

∵BE⊥y轴于点E，BD⊥x轴于点D，

∴四边形ODBE为矩形，且S四边形ODBE=4，

点M的纵坐标为4m，点N的横坐标为m. k2x(x0)的图象上，

∵点M，N在函数C2:y∴点M的坐标为(∴SOME=SOND=12mk24k,)，点N的坐标为(m,2).

4mmk22. 12mk244mk2m∴S2=BMBN(m)()(4k2)82. ∴S=S1S2=(4k2S2)S2=4k22S2. (4k2)82∴S4k2212k2k2，

4其中0k24. 12112∵Sk2k2(k22)1，而0，

444∴当k22时，S的最大值为1.

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15

目标班

思维拓展训练（选讲）

训练1.

设直线kxk1y1（k是正整数）与两坐标轴所围成图形的面积为S1，S2，…，S2014，则S1S2S2014

．

1007k11【解析】

提示：直线化为：y与x轴交于A，0，与y轴交于x2015k1k1k11111111，∴B0，SOAOBk，

k122kk12kk1∴S1S2S201411111222311111007．

120142015220152015

训练2.

一个一次函数的图象与直线y595平行，与x轴，y轴分别交于A，B两点，并且x4425，通过1，则在线段AB上（包括端点A，B两点），横纵坐标都是整数的点有_______个．

595【解析】

依题意可求出这个一次函数的解析式为：yx，于是可求得A19，0，4495B0，．

495∴x的取值范围为0x19的整数，y的取值范围为：y0的整数．

45x19∴求线段AB上的整点坐标可转化为方程y在上述条件下的整数解．

4∴当x19时，y0；当x15时，y5；当x11时，y10；当x7时，y15；当x3时，y20，故可知线段AB上有5个整点．

训练3.

已知：如图，直线y3x43与x轴交于点A，与直线y3x

y相交于点P．

⑴

求点P的坐标．

⑵

请判断OPA的形状并说明理由．

E⑶

动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着

O→P→A的

B路线向点A匀速运动（E与点O、A重合），过点E分别作EFx轴

OF于F，EBy轴于B．设运动t秒时，矩形EBOF与△OPA重叠部分

的面积为S．求：

①S与t之间的函数关系式．

②当t为何值时，S最大，并求S的最大值．

x2y3x43【解析】

⑴

，解得， y23y3x初三寒假·第5讲·目标-目标1班·教师版

PAx16

∴点P的坐标为2，23．

⑵

将y0代入y3x43，

得3x430

∴x4，即OA4

作PDOA于D，则OD2，PD23 233 ∵tanPOA2∴POA60 ∵OP2232yPBOFED图1Ax24

∴POA是等边三角形． ⑶

①

当0≤t≤4时，如图1 在Rt△EOF中，∵EOF60，OEt

31t，OFt

∴EF22132t

∴SOFEF28当4t≤8时，如图2 设EB与OP相交于点C

易知：CEPEt4，AE8t

31∴AF4t，EF8t 2211∴OFOAAF44tt

221∴SCEOFEF

2113t4t8t

22233t243t83 832t，t4时，S最大23

②

当0≤t≤4时，S82yPBO图2CEFAx331683 当4t≤8时，S3t243t833t8833t168时，S最大3

33∵

8168323，∴当t时，S最大3. 333

初三寒假·第5讲·目标-目标1班·教师版

17

目标1班

思维拓展训练（选讲）

训练1.

问题探究：

⑴请你在图①中做一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；

．．⑵如图②点M是矩形ABCD内一定点，请你在图②中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分．

问题解决：

⑶如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB，OB=6，BC=CD=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4，2）处．为了方便驻区单位，准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分，你认为直线l是否存在？若存在求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由. DCDMPCyDCA①BA②BO③Bx

【解析】

⑴

如图①，作直线DB，直线DB即为所求．（所求直线不唯一，只要过矩形对称中心的直线即可）

⑵

如图②，连接AC 、BD交于P，则P为矩形ABCD的对称中心．作直线MP，直线MP即为所求．

⑶

如图③存在直线l．

过点D作DA⊥OB与点A，

则点P（4，2）为矩形ABCD的对称中心．

∴过点P的直线只要平分△DOA的面积即可．

DC易知，在OD边上必存在点H使得PH将△DOA

面积平分．

从而，直线PH平分梯形OBCD的面积．

即直线

PH为所求直线l．

设直线PH的表达式为

y=kx+b 且过点P（4，2）

AB∴2=4k+b

即b=2-4k．∴y=kx+2-4k ①∵直线OD的表达式为y=2x

CD24kxykx24k2k∴

解得

48ky2xy2kMPA②B18 初三寒假·第5讲·目标-目标1班·教师版

24k48k，）

2k2k∴PH与线段AD的交点F（2，2-2k）

∴0＜2-2k＜4，∴-1＜k＜1 124k11∴S△DHF422k224

22k22∴点H的坐标为（yDFPC解得k133133，（k舍去）

22OH∴b=8-213

∴直线l的表达式为y=133x8213．

2A③Bx

y训练2.

已知：如图，直线y3x43与x轴交于点A，与直线y3x

相交于点P．

⑴

求点P的坐标．

⑵

请判断OPA的形状并说明理由．

BEOO⑶

动点E从原点出发，以每秒1个单位的速度沿着

→P→A的

路线向点A匀速运动（E与点O、A重合），过点E分别作EFx轴

OF于F，EBy轴于B．设运动t秒时，矩形EBOF与OPA重叠部分

的面积为S．求：

①S与t之间的函数关系式．

②当t为何值时，S最大，并求S的最大值．

x2y3x43【解析】

⑴

，解得， yy23y3x∴点P的坐标为2，23．

⑵

将y0代入y3x43，

得3x430

∴x4，即OA4

作PDOA于D，则OD2，PD23 233 ∵tanPOA2∴POA60 ∵OP2232PAxPBOFED图1Ax24

yPBO图2CEFA∴△POA是等边三角形． ⑶

①

当0≤t≤4时，如图1 在RtEOF中，∵EOF60，OEt

31t，OFt

∴EF22132t

∴SOFEF28当4t≤8时，如图2 x初三寒假·第5讲·目标-目标1班·教师版

19

设EB与OP相交于点C

易知：CEPEt4，AE8t

31∴AF4t，EF8t 2211∴OFOAAF44tt

221∴SCEOFEF

2113t4t8t

22233t243t83 832t，t4时，S最大23

②

当0≤t≤4时，S8331683 当4t≤8时，S3t243t833t88332t168时，S最大3

33∵

8168323，∴当t时，S最大3. 333训练3.

⑴两个反比例函数y36，y在第一象限内的图象如图所示，

xx6点P1，P2，P3，…，P2014在反比例函数y图象上，它们的横

x坐标分别是x1，x2，x3，…，x2014，纵坐标分别是1，3，5，…，

共2014个连续奇数，过点P1，P2，P3，…，P2014分别作y轴的

3平行线，与y的图象交点依次是

xQ1x1，y1，Q2x2，y2，Q3x3，y3，…，Q2014x2014，y2014，则

y2014

．

y3xy3y2y1Oy=6xy=P3(x3,5)Q3P2(x2,3)Q2P1(x1,1)Q1xy1，P2x2，y2，…，Pnxn，yn在函数

⑵

如图所示，P1x1，9x0的图象上，

x△OP△P2A1A2，△P…，△PnAn1An，…都是等腰直角1A1，3A2A3，三角形，斜边OA1，AAAnAn1都在x轴上，则1，2…，y1y2…yn______________．

66【解析】

⑴ ∵P2014(x2014，4027)在y上，∴x2014，

4027x3∵Q2014x2014，y2014在双曲线y上，

xy初三寒假·第5讲·目标-目标1班·教师版

yP1P2OA1P3A2A3x20

∴y20143x20142013.5

3，则y13，点P2横坐标为6y2，

⑵

由已知易得P13，那么可得6y2y29，解得y2323，

同理点P3横坐标为62y3，那么可得62y3y39，

解得y33332，

依此类推，Pn的纵坐标为yn3n3n1，

∴y1y2…yn33233332…3n3n13n．

初三寒假·第5讲·目标-目标1班·教师版

21

目标班

实战演练

模块一

一次函数的图象与性质 课后演练

演练1

已知：如图，直线y3x23与x轴、y轴分别交于点A和点B，D是y轴上的一

点，

若将△DAB沿直线DA折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，求直线CD的解析式．

【解析】

根据题意，得：A(2,0)，B(0,23)

在Rt△AOB中，

yBAB22(23)24，DBA30，

∴DCA30，OCOAAB6

Rt△DOC中，ODOCtanDCO23

∴C(6,0)，D(0,23)

设直线CD的解析式为：ykx23

3

33x23

所以直线CD的解析式为y3模块二

一次函数与面积 课后演练

ODACx∴

06k23，解得k

演练2

如图，直线AB与y轴交于点A，与x轴交于点B，

点A的纵坐标、点B的横坐标如图所示．

⑴求直线AB的解析式；

⑵过原点O的直线把△ABO分成面积相等的两部分，直接写出这条直线的解析式．

【解析】

⑴

根据题意得，A（0，2），B（4，0）

y设直线AB的解析式为ykxb(k0)

1b2k则

∴2

4kb0b21∴直线AB的解析式为yx2 21⑵

yx

2

22 初三寒假·第5讲·目标-目标1班·教师版

A2BO4x

模块三

反比例函数 课后演练

演练3

如图，正比例函数ykx和反比例函数ym的图象都经过点

xy31-2-4ABO357lxA(3，3)，将直线ykx向下平移后得直线l，设直线l与反比例函

数的图象的一个分支交于点B(6，n)．

⑴求n的值；⑵求直线l的解析式．

【解析】

⑴

∵正比例函数ykx和反比例函数

m的图象都经过点A(3，3)，

xm3，∴k1,m9.

∴33k，3y∴正比例函数为yx，反比例函数为y∵点B(6，n)在反比例函数y∴n9．

x9的图象上，

x93.

623即B(6，)．

2⑵

∵直线ykx向下平移后得直线l，

∴设直线l的解析式为yxb．

3又∵点B(6，)在直线l上，

239∴6b，∴b.

229∴直线l的解析式为yx．

2演练4

在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k1x+b与反比例函数y=图象交于A(1,6)，B(a,3)两点

. ⑴求k1，

k2的值；

⑵如图，点D在x轴上，在梯形OBCD中，BC∥OD,OB=DC,过点C 作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD 的面积为18时，求PE：PC的值.

(2011东城一模) 【解析】

⑴∵点A(1,6),B(a,3)在反比例函数y=∴

k2=1×6=6.

初三寒假·第5讲·目标-目标1班·教师版

k2的

xk2的图象上，

x23

∴

a×3=6，a=2. ∴B(2，3). 由点A(1,6),B(2,3)也在直线y=k1x+b上，

得k1b6,

2kb3,1解得k1=-3.

∴k1=-3，

k2=6.

⑵设点P的坐标为（m,n）.

依题意，得

1×3（m+2+m-2）=18，m=6.

26的图象上，

x∴

C（6,3），E（6,0）. ∵

点P在反比例函数y=∴

n=1.

∴PE ：PC=1：2 .

演练5

已知双曲线yk1与直线yx相交于A、B两点．第一象

x4k限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线y上的动

x点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N0，n作NC∥

y ·M

A D O ·

x kx轴交双曲线y于点E，交BD于点C．

B x⑴若点D坐标是（8，0），求A、B两点坐标及k的值．

C E N ⑵若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM

的解析式．

⑶设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p－q的值．

1【解析】

⑴

∵D（－8，0），∴B点的横坐标为－8，代入yx中，得y=－2．

4∴B点坐标为（－8，－2）．而A、B两点关于原点对称，∴A（8，2）．

从而k8216．

⑵

∵N（0，－n），B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，

∴mnk，B（－2m，－n），C（－2m，－n），E（－m，－n）．

21111S矩形DCNO2mn2k，S△DBO=mnk，S△OEN =mnk，

2222∴S四边形OBCE= S矩形DCNO－S△DBO－

S△OEN=k．∴k4．

由直线y41，B（－4，－1），

x及双曲线y，得A（4，1）x424 初三寒假·第5讲·目标-目标1班·教师版

∴C（－4，－2），M（2，2）．设直线CM的解析式是yaxb，

由C、M两点在这条直线上，得

4ab2,2

解得ab．

32ab2.22x．

33⑶

如图，分别作AA1⊥x轴，MM1⊥x轴，垂足分别为A1、M1．

设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为－a．于是

MAA1M1amp．

MPM1Om∴直线CM的解析式是yy P Q M ·

A A1

x MBma同理q，

MQm·

O M1

B ∴pqamma2．

mm

初三寒假·第5讲·目标-目标1班·教师版

25

目标1班

实战演练

模块一

一次函数的图象与性质 课后演练

演练1

已知：如图，直线y3x23与x轴、y轴分别交于点A和点B，D是y轴上的一

点，

若将△DAB沿直线DA折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，求直线CD的解析式．

【解析】

根据题意，得：A(2,0)，B(0,23)

在Rt△AOB中，

yBAB22(23)24，DBA30，

∴DCA30，OCOAAB6

Rt△DOC中，ODOCtanDCO23

∴C(6,0)，D(0,23)

设直线CD的解析式为：ykx23

3

33x23

所以直线CD的解析式为y3模块二

一次函数与面积 课后演练

ODACx∴

06k23，解得k

演练2

如图，直线AB与y轴交于点A，与x轴交于点B，

点A的纵坐标、点B的横坐标如图所示．

⑴求直线AB的解析式；

⑵过原点O的直线把△ABO分成面积相等的两部分，直接写出这条直线的解析式．

【解析】

⑴

根据题意得，A（0，2），B（4，0）

y设直线AB的解析式为ykxb(k0)

1b2k则

∴2

4kb0b21∴直线AB的解析式为yx2 21⑵

yx

2

26 初三寒假·第5讲·目标-目标1班·教师版

A2BO4x

模块三

反比例函数 课后演练

演练3

如图，正比例函数ykx和反比例函数ym的图象都经过点

xy31-2-4ABO357lxA(3，3)，将直线ykx向下平移后得直线l，设直线l与反比例函

数的图象的一个分支交于点B(6，n)．

⑴求n的值；⑵求直线l的解析式．

【解析】

⑴

∵正比例函数ykx和反比例函数

m的图象都经过点A(3，3)，

xm3，∴k1,m9.

∴33k，3y∴正比例函数为yx，反比例函数为y∵点B(6，n)在反比例函数y∴n9．

x9的图象上，

x93.

623即B(6，)．

2⑵

∵直线ykx向下平移后得直线l，

∴设直线l的解析式为yxb．

3又∵点B(6，)在直线l上，

239∴6b，∴b.

229∴直线l的解析式为yx．

2演练4

在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k1x+b与反比例函数y=图象交于A(1,6)，B(a,3)两点

. ⑴求k1，

k2的值；

⑵如图，点D在x轴上，在梯形OBCD中，BC∥OD,OB=DC,过点C 作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD 的面积为18时，求PE：PC的值.

(2011东城一模) 【解析】

⑴∵点A(1,6),B(a,3)在反比例函数y=∴

k2=1×6=6.

初三寒假·第5讲·目标-目标1班·教师版

k2的

xk2的图象上，

x27

∴

a×3=6，a=2. ∴B(2，3). 由点A(1,6),B(2,3)也在直线y=k1x+b上，

得k1b6,

2kb3,1解得k1=-3.

∴k1=-3，

k2=6.

⑵设点P的坐标为（m,n）.

依题意，得

1×3（m+2+m-2）=18，m=6.

26的图象上，

x∴

C（6,3），E（6,0）. ∵

点P在反比例函数y=∴

n=1.

∴PE ：PC=1：2 .

演练5

已知双曲线yk1与直线yx相交于A、B两点．第一象

x4k限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线y上的动

x点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N0，n作NC∥

y ·M

A D O ·

x kx轴交双曲线y于点E，交BD于点C．

B x⑴若点D坐标是（8，0），求A、B两点坐标及k的值．

C E N ⑵若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM

的解析式．

⑶设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p－q的值．

1【解析】

⑴

∵D（－8，0），∴B点的横坐标为－8，代入yx中，得y=－2．

4∴B点坐标为（－8，－2）．而A、B两点关于原点对称，∴A（8，2）．

从而k8216．

⑵

∵N（0，－n），B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，

∴mnk，B（－2m，－n），C（－2m，－n），E（－m，－n）．

21111S矩形DCNO2mn2k，S△DBO=mnk，S△OEN =mnk，

2222∴S四边形OBCE= S矩形DCNO－S△DBO－

S△OEN=k．∴k4．

由直线y41，B（－4，－1），

x及双曲线y，得A（4，1）x428 初三寒假·第5讲·目标-目标1班·教师版

∴C（－4，－2），M（2，2）．设直线CM的解析式是yaxb，

由C、M两点在这条直线上，得

4ab2,2

解得ab．

32ab2.22x．

33⑶

如图，分别作AA1⊥x轴，MM1⊥x轴，垂足分别为A1、M1．

设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为－a．于是

MAA1M1amp．

MPM1Om∴直线CM的解析式是yy P Q M ·

A A1

x MBma同理q，

MQm·

O M1

B ∴pqamma2．

mm

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29

第十八种品格：坚持

少年与金表

一个农场主在巡视谷仓时不慎将一只名贵的金表遗失在谷仓里，他遍寻不获，便在农场门口贴了一张告示，要人们帮忙，悬赏100美元。 人们面对重赏的诱惑，无不卖力地四处翻找，无奈谷仓内谷粒成山，还有成捆成捆的稻草，要想在其中找寻一块金表如同大海捞针。

人们忙到太阳下山仍没有找到金表，他们不是抱怨金表太小，就是抱怨谷仓太大、稻草太多，他们一个个放弃了100美元的诱惑。只有一个穿破衣的小孩在众人离开之后仍不死心，努力寻找，他已整整一天没吃饭，希望在天黑之前找到金表，解决一家人的吃饭问题。

天越来越黑，小孩在谷仓内坚持寻找，突然他发现一切喧闹静下来后有一个奇特的声音“滴答”、“滴答”不停地响着。小孩顿时停止寻找。谷仓内更加安静，滴答声响十分清晰。小孩循声找到了金表，最终得到了100美元。

今天我学到了

30 初三寒假·第5讲·目标-目标1班·教师版