正弦、余弦、正切函数的简单应用教学教案设计

锐角三角函数的简单应用

金三中 余江洋

一、教材分析

本节课是人教版版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》的第一节的内容，共两课时。本设计是第二课时。本节课是在学生理解了正切的基础上，进一步通过探究发现直角三角形中直角边与斜边之间存在的关系。从教材中可以看到，其中渗透着数学核心素养如数学抽象、数学建模等数学思想，是本节课的数学本质。

二、

学情分析

学生的知识技能基础：通过前一节课学习的有关正切的知识，学生已获得一定的探究方法，积累了一定的经验，这为本节课的开展提供了必要的铺垫。

本节课将在此基础上进行类比学习，进一步探究直角三角形中的边角关系。

学生的活动经验基础：学生在上一节课的学习过程中已经历过从实际生活中抽象出数学概念，形成数学知识，并建立起数学建模解决实际生活问题的模式，而且获得了探究数学问题过程中采用合适的数学方法解决问题的经验，同时具有了一定的合作学习的能力，交流的能力，这些都为本节课的学习提供了必要的铺垫。

三、

教学任务

本节共分2个课时，这是第2课时，主要内容是进一步通过探究发现直角三角形中直角边与斜边之间存在的关系，并利用这种关系解决一些简单问题。本节课的具体教学目标为：

知识与技能：

1、探索并掌握锐角三角函数的概念——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系。

2、能够用正弦、余弦进行简单的计算，解决一些简单的实际问题。

过程与方法：

1、经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。

2、在课堂上落实数学核心素养数学抽象、数学建模的思想，体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神。

情感态度价值观：

积极参与数学活动，提高学生对数学学科的好奇心和求知欲，学有用的数学，同时体会数学学科的一些核心素养，如数学抽象、数学建模对研究问题时的引领作用。

教学重点：

掌握正弦、余弦的定义，感受数学与生活的联系。

教学难点：

能用正弦、余弦的数学意义来解决生活中的实际问题。

四、教学过程

教学环节

教学活动

（1）复习回顾：

正切的概念？它和什么图形是形影不离的？其中什么是自变量？什么是因变量？

学生活动

活动说明

回顾旧知，再忆、再理解旧知识。

一、

复习

引入

以练代讲，让学生在练习中回顾正切的含义，（2）如图，RtABC中，tanA =

，避免死记硬背带来的负面作tanB=

.

用（大脑负担（3）在RtABC中，∠C＝90°，tanA＝，重，而不会实际AC＝10，求BC,AB的长.

运用）

（4）当RtABC中的一个锐角A确定时,其它边之间的比值也确定吗? 可以用其它的方式来表示梯子的倾斜程度吗？

（5）若梯子与水平面相交的锐角（倾斜角）为∠A，∠A越大，梯子越

；tanA的值越大，梯子越

.

（一）如图，请思考：

（1）RtAB1C1和RtAB2C2的关系是

；

（2）

；

（3）如果改变B2在斜边上的位置，则

；

思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________，根据是__________________________________.

学生观察，分析。类比学习，在探究活动中发现的规律，学生能记忆得更加深刻，这比老师帮助总结，学生被动接受和记忆要有用得多。

引导学生类比正切的概念进行学习。

学生归纳，提高学生的抽象概括能力。

二、

它的邻边与斜边的比值呢？

探索新（二）归纳概念

知（一）

（1）正弦的定义：

归纳特征，总结如图，在RtABC中，∠C＝90°，我们把锐定义，明确当直角∠A的对边BC与斜边AB的比叫做∠A的角三角形的一正弦，记作sinA，即sinA＝________.

个锐角大小确定时，它的对边（2）余弦的定义：

与斜边的比值如图，在RtABC中，∠C＝90°,我们把锐也随之确定了

角∠A的邻边AC与斜边AB的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=_

_____.

。

（3）锐角A的正弦，余弦，正切和余切都

叫做∠A的三角函数.

提示：

（1）sinA，cosA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角；

（2）sinA，cosA中常省去角的符号“∠”.但∠BAC的正弦和余弦表示为: sin∠BAC，cos∠BAC.∠1的正弦和余弦表示为: sin∠1，cos∠1；

深入理解，内化

概念，同时正确

的回答可增强正弦和余弦容学习的信心。

易出现一些不（3）sinA，cosA没有单位，它表示一个规范的表示方比值；

法，在这里先进（4）sinA，cosA是一个完整的符号，不行明确，可以减表示“sin”,“cos”乘以“A”

；

少日后不必要（5）sinA，cosA的大小只与∠A的大小有的错误.

关,而与直角三角形的边长没有必然的关

系.

提出问题：我们知道，梯子的倾斜程度与tanA有关系，tanA越大，梯子越陡，那么梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗？是怎样的关系？

探索发现：梯子的倾斜程度与探索新sinA,cosA的关系：

知（二）

sinA越大，梯子

；

二、

cosA越

，梯子越陡。

学生先独立思考，再交流展示。在探究中进一步让学生理解正弦和余弦的含义。

体会正弦和余弦的生活意义，避免数学知识的枯燥无味。感受到从不同角度去解释一件事物的合理性，感受数学与生活的联系

小组合作学习，在探究中进一将计算结果交巩固正弦和余弦的定义，同时通过上面的计算，你发现sinA与cosB有流展示。

发现直角三角二、

什么关系呢? sinB与cosA呢？在其它直形中两个锐角探索新角三角形中是不是也一样呢？请举例说的三角函数值知（三）

明。

之间存在一定小结规律：在直角三角形中，一个锐角的的关系，拓展学正弦等于另一个锐角生的知识储备.

的

.

在练习中检验学生对知识的三、

掌握，同时体会练习巩在不同的直角C、不变

D、不能确定

第2题说明角固

相等，三角函数三角形中，一个

锐角的三角函值不变。

2、如图，

∠C=90°，CD⊥AB，数可以有不同1、如图，在RtABC中，锐角A的对边和邻第1题旨在明边同时扩大100倍，sinA的值（

）

晰概念，较简单。

A、扩大100倍

B、缩小100倍

如图，在RtABC中，∠C=90°,AB=20，sinA=0.6，求BC和cosB.

sinB=(

)=(

)=(

)

3、已知∠A，∠B为锐角

(1)若∠A=∠B，则sinA

sinB；

(2)若sinA=sinB，则∠A

∠B.

4、抢答：

第3题是探究（三）的直接应

用。

的表示方法，为日后的知识应用打下基础。

第4题巩固基（1）在等腰ABC中，AB=AC=5，BC=6，求础，检验学生的sinB,cosB,tanB.

方法掌握情况。

（2）在RtABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=

，求cosA、tanB的值.

梳理本节课知通过总结可以四、

一

、锐角三角函数定义，书写要求

识要点，明确学增进学生对数学思考方式的课堂小二、在用三角函数解决一般三角形或四边习目标。

理解，更加的理结

形的实际问题中，应注意构造直角三角形。

解所学知识。

这节课你的主要收获是什么？

五、

作业

P7第4、5题

1.1锐角三角函数（2）

一、正余弦的概念 三、学生板演区域

书写要求：

二、正余弦与梯子倾斜程度

三sinA=cosB

cosB=sinA

巩固所学，尊重学生的个体差异

五、板书设计

屏 幕

六、教学反思

1、教学上注重学生数学核心素养数学抽象能力，数学建模能力的培养，遵循“从生动的直观到抽象的思维，并从抽象的思维到实践”的基本认识规律，能使学生学习数学的过程成为积极的愉快的和富有想象的过程，使学习数学的过程不再是令人生畏的过程。

2、学生一下子学习了三种三角函数，容易混淆这些定义，写错对应边的比例关系；同时，学生对于三角函数是建立在“直角三角形中”这个前提条件理解不深，在解答过程中容易忽略；还有，由于经验的缺乏，对于一般的图形中的三角函数问题，学生对于如何构造直角三角形没有很明确的方向和策略，这就需要老师的进一步加强引导。

3、注重评价。评价是很重要的，学生回答正确时，积极正面的鼓励会使学生学习热情更加高涨，对学习也更有信心，逐渐形成良性循环；学生回答出错时，当然也要评价，也当然是不能批评否定，而应该给予鼓励与引导。评价方式可多种多样，除了老师评价之外，还可以学生互评，小组互评。