正弦、余弦、正切函数的简单应用优质课教案内容

自贡市第二十二中学校学生课堂导学提纲 学科：数学 年级：九下 章节：第28章

锐角三角函数 周次：第3周 主备：邓超 课题：28．1锐角三角函数（1）

班级： 姓名： 小组：

1学习目标：

的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；•当∠A=45°时，∠A的对边与斜边的比都等于21、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实； 2、能根据正弦概念正确进行计算。

2，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A取其他一定度数的锐角时，•

2重点：理解正弦（sinA）概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？

定值这一事实。

BCB'C'与探究：任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=a，那么

ABA'B'难点：当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。

有什么关系．你能解释一下吗？

学习过程：

B一、了解感知：

1、如图在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m，•求AB。

AC

B

2、如图在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m，•求BC。

结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，•∠A的AC

对边与斜边的比 3、阅读教材第61－63页。

规定：在Rt△BC中，∠C=90°，∠A的对边记作a，∠B的对边记作b，∠C的对边记作c．

二、深入学习：

正弦函数概念：

问题1：

为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，•在山坡上修建一在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的A的对边aB高度为35m，那么需要准备多长的水管？（教材P61）

即sinA= =．

c斜边思考1：如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？ ；

如果使斜边c对边a出水口的高度为a m，那么需要准备多长的水管？ 。

例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°= ；

A结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值等于 Cb

B

当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= ．

思考2：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，∠A对边与斜边

的比值是一个定值吗？•如果是，是多少？

AC

第1页 第2页

结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值等于

问题2：从上面这两个问题的结论中可知，•在一个Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A

自贡市第二十二中学校学生课堂导学提纲 学科：数学 年级：九下 章节：第28章

锐角三角函数 周次：第3周 主备邓超

三、迁移运用：

例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值．

B

四、当堂检测：

教材第64页练习．

五、课后训练：

o1．如图，在直角△ABC中，∠C＝90，若AB＝5，AC＝4，则sinA＝（ ）

3434A． B． C． D．

554322．

在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=，则边AC的长是( ) 34A．13 B．3 C． D．5 33．如图，已知点P的坐标是（a，b），则sin等于（ ）

A4(1)3C课题：28．1锐角三角函数（2）

班级：

姓名：

小组：

B35C(2)13A

学习目标：感知当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实。

重点：理解余弦、正切的概念。

难点：熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算。

学习过程：

一、了解感知：

1、我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？

2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。已知

AC=5 ，BC=2，那么sin∠ACD＝（ ）

CA A．5

3

B．2

3

C．25 5D．5

2ADBC E A B C aab22A．b B．a C．ab

六、教与学的反思：

D.ba2b2

3、如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AB＝5，

BC＝3．则sin∠BAC= ；sin∠ADC= ．

4、•在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A确定时，∠A的对边与

斜边的比 ；

•现在我们要问：

∠A的邻边与斜边的比呢？∠A的对边与邻边的比呢？为什么？

5、阅读教材第64－65页。

二、深入学习：

探究：一般地，当∠A取一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？

o如图：Rt△ABC与Rt△A′B′C′，∠C=∠C =90，∠B=∠B′=，A

·

O D B B斜边c∠A的邻边b∠A的对边aC那么

与有什么关系？

第3页 第4页

自贡市第二十二中学校学生课堂导学提纲 学科：数学 年级：九下 章节：第28章

锐角三角函数 周次：第3周 主备：邓超 结论：类似于正弦的情况，

如图在Rt△BC中，∠C=90°，当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比也分别是确定的．我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=（二）补充训练：

1. A．B斜边cAA的邻边bC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则有（ B．C．D．

）

A的邻边b=；

c斜边把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即

2. 在

对边a4中，∠C＝90°，如果cos A=

那么55B．

43C．

44D． 3A的对边atanA==．

A的邻边bC3 A．

5例如，当∠A=30°时，我们有cosA=cos30°= ；

当∠A=45°时，我们有tanA=tan45°= ．

小结：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．

对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数．同样地，cosA，tanA也是A的函数．

三、迁移运用：

例2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=•6，sinA=

四、当堂检测：教材P65 练习1、2、

五、课后训练：

（一）教材第68页习题28．1复习巩固第1、2、6题．

B6AC3、如图：P是∠的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4）， 则cos＝_____________.

六、教与学的反思：

3，求cosA、tanB的值．

5

第5页 第6页

自贡市第二十二中学校学生课堂导学提纲 学科：数学 年级：九下 章节：第28章

锐角三角函数 周次：第3周 主备邓超

课题：28．1锐角三角函数（3）

班级：

姓名：

小组：

学习目标：

1、能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。

2、能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式。

重点：熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式。

难点：30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程。

学习过程：

（1）cos60°+sin60°． （2）

22cos45-tan45°．

sin45例4、（1）如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，BC=3，求∠A的度数． （2）如图（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的3倍，求a．

一、了解感知：

B

1、一个直角三角形中，

斜边c一个锐角正弦是怎么定义的？ 对边a

一个锐角余弦是怎么定义的？ C

ACA的邻边b一个锐角正切是怎么定义的？ 四、当堂检测：教材67页练习1、2题

2、阅读教材第65－67页。

五、课后训练：

（一）教材第69页习题28．1复习巩固第3题

二、深入学习：

（二）补充训练：

思考：两块三角尺中有几个不同的锐角？分别是多少度？ 1．设α、β均为锐角，且sinα-cosβ=0，则α+β=_______．

你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？

2．下列各式中不正确的是（ ）

22 A．sin60°+cos60°=1 B．sin30°+cos30°=1 归纳结果：

C．sin35°=cos55° D．tan45°>sin45°

30°

45°

60°

13

3．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=

，cosB=

，则△ABC的形状是（ ）

22sin

A．直角三角形 B．钝角三角形C．锐角三角形 D．不能确定

24．若（3 tanA-3）+│2cosB-3 │=0，则△ABC（ ）

cos

A．是直角三角形 B．是等边三角形

C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形

tan

六、教与学的反思：

三、迁移运用：

例3、求下列各式的值．

第7页 第8页

自贡市第二十二中学校学生课堂导学提纲 学科：数学 年级：九下 章节：第28章

锐角三角函数 周次：第3周 主备：邓超 课题：28．2解直角三角形（1）

班级：

姓名：

小组：

学习目标：理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。

重点难点：直角三角形的解法。

难点：锐角三角函数在解直角三角形中的灵活运用。

学习过程：

一、了解感知：

1．在直角三角形中，除直角外，共有几个元素？ 2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？

(1)边角之间关系：

例2、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B =30°，b=20，解这个三角形．

三、迁移运用：

1、Rt△ABC中，若sinA=4，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．

52、在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．

3，则cosA的值是（ ）

534916D.

A． B． C．5525254、在△ABC中，∠C为直角，AC=6，BAC的平分线AD=43，解此直角三角形。

3、在△ABC中，∠C=90°，sinA=

四、当堂检测：完成教材87页练习

五、课后训练：

（一）教材第92页习题28．2复习巩固第1题．

（二）补充训练：

11．已知∠A为锐角，且cosA≤

，那么（ ）

2 A．0°<∠A≤60°B．60°≤∠A<90° C．0°<∠A≤30°D．30°≤∠A<90°

2．当锐角>60°时，cos的值（ ）

113 A．小于 B．大于 C．大于 D．大于1 2223．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知tanB=六、教与学的反思：

5

，则cosA=________．

2abababasinA;cosA;tanA;cotA;cosB;tanB;cotBsinBccbacca

b如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成：

的对边的邻边的对边的邻边sin；cos；tan；cot斜边斜边的邻边

的对边(2)三边之间关系：a+b=c (勾股定理)

(3)锐角之间关系：∠A+∠B=90°

以上三点正是解直角三角形的依据．

3.阅读教材第85－86页。

二、深入学习：（教材P86）

根据直角三角形中的_______元素（至少有一个是边），求出其余 元素的过程，即解直角三角形．

例1、在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=2，a=6，解这个三角形．

2 2 2

第9页 第10页

自贡市第二十二中学校学生课堂导学提纲 学科：数学 年级：九下 章节：第28章

锐角三角函数 周次：第3周 主备邓超

课题：28．2解直角三角形（2）

班级：

姓名：

小组：

学习目标：了解仰角、俯角的概念，能根据直角三角形的知识解决实际问题．

重点：将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．

难点：实际问题转化成数学模型．

学习过程：

一、了解感知：

1．解直角三角形指什么？

答：

2．解直角三角形主要依据什么？

(1)勾股定理：

(2)锐角之间的关系： (3)边角之间的关系：

A的对边A的邻边abaA的对边b

A;cotAsinAcosAsinA;cosA;tanccbA的邻边斜边斜边

3.仰角、俯角：

如上图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．

4.阅读教材第87－88页。

二、深入学习：

例3、2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，取3.142，结果保留整数)

三、迁移运用：

例4、热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋离楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高?

四、当堂检测：教材76页1、2题。

五、课后训练：教材第78页习题28．2复习巩固第3、4题。

六、教与学的反思：

第11页 第12页

自贡市第二十二中学校学生课堂导学提纲 学科：数学 年级：九下 章节：第28章

锐角三角函数 周次：第3周 主备：邓超 课题：28．2解直角三角形（3）

班级：

姓名：

小组：

学习目标：

1、了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角；

2、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题。

重点：用三角函数有关知识解决方位角问题。

难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学

模型。

学习过程：

一、了解感知：

坡度与坡角：坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示，即i＝h：l，常写成i=1：m的形式，如i=1:2.5；把坡面与水平面的夹角α叫做坡角。

结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？ 这一关系在实际问题中经常用到。

二、深入学习：

例5、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（结果保留小数点后一位）

三、迁移运用：

例6、同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)

四、当堂检测：

1、一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______。

2、 ，坡角=____度。

3、教材P77练习1题。

五、课后训练：

1、教材第78页习题28．2第5、6、8题。

2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：

①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；

②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．

六、教与学的反思：

第13页 第14页

自贡市第二十二中学校学生课堂导学提纲 学科：数学 年级：九下 章节：第28章

锐角三角函数 周次：第3周 主备邓超

课题：第二十八章

锐角三角函数复习

班级：

姓名：

小组：

学习目标：

1、知道三个三角函数的定义，了解三角函数的值随锐角度数的变化规律；明白三角函数的值与角的大小有关，而与位置及边长无关. 2、会计算含特殊角的三角函数值，会根据已知三角函数值求相应的锐角；能解直角三角形. 重点：会计算含特殊角的三角函数式子的值，会用锐角三角函数解决简单实际问题。

难点：学会准确分析问题，并将实际问题转化成数学模型。

学习过程

一、了解感知：

a1、定义：

∠C=90°,sinA＝ ，cosA＝ ， ＝. b2、特殊角的三角函数值：

角度

0°

30°

45°

三角函数

sinA cosA tanA 0 1 0

三、迁移运用：

5米

B A B α

图1 A 图2 C 2．如图3，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE的长度是（

）A．3

B．5

C．52

D．13，sinA，则tanB的值为（

）

1．已知在Rt△ABC中，C90°54453

A．

B．

C．

D．3544

522

图3 60°

90°

1 0 不存在

13．（湖北黄石）求值|32|200903tan30°

3

四、当堂检测：

1．如图，是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（

）

A．

1

22

22

21 3

23

21

23

33

3、若∠A是锐角，则 ＜sinA＜ ， ＜cosA＜ ；

正弦、正切值是随着角度的增大而 ，余弦是随着角度的增大而 ．

4、同角、互余角的三角函数关系：

（1）同角三角函数关系：sinAcosA1. （2）互余锐角的三角函数关系：sinAcosBcos(90A)，cosAsinBsin(90A)

二、深入学习：

1．如图1，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（

）

2283

m 3B．4 m[来

C．43

m C 150°

A B h D

D．8 m B E A C D l

2．如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得BAD30°，在C点测得BCD60°，又测得AC50米，则小岛B到公路l的距离为（

）米．

A．25

B．253

C．E 55A．5cos

B．

C．5sin

D．

cossin，AB3，BC2，则cosA的值是

．

2．在Rt△ABC中，C90°33．如图2，△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则AC的长是

4

1003

3

D．25253

五、课后训练：教材第84页第1、2、3、6、11题。

六、教与学的反思：

第15页 第16页

自贡市第二十二中学校学生课堂导学提纲 学科：数学 年级：九下 章节：第28章

锐角三角函数 周次：第3周 主备：邓超

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