7 用二元一次方程组确定一次函数表达式国家优质课一等奖

一次函数与方程组的关系（微专题）教学设计

邵武第四中学：徐跃华

（一）教学目标

【知识与技能】

1. 学会二元一次方程组与一次函数的相互转化关系. 2. 通过学习，掌握二元一次方程组与一次函数的相互转化关系在几何和实际中的应用。

【过程与方法】

1.

经历探索、思考等教学活动和思维过程，发展学生的合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述观点. 2.

让学生体验数形结合的思想和解决问题的方法，提高解决问题的能力. 3.

体会解决问题的多种途径，发散学生的思维，发展学生的创新能力和实践能力. 【情感、态度与价值观】

在探究过程中发展学生的合作交流意识和独立思考精神，增强学生对数学思维、数学方法的好奇心和兴趣.

（二）重点难点

【重点】

二元一次方程组与一次函数的相互转化关系. 【难点】

二元一次方程组与一次函数的相互转化关系在几何和实际中的应用。

（三）教学过程

一、复习导入（学生脑海里形象回顾，互相讨论补充）

1、

从数的角度

两个一次函数的值相等时二元一次方程组的解

自变量的值

从形的角度

两个一次函数图象的交点坐标

2.一次函数

y1=a1x+b1，y2=a2x+b2

的交点坐标（m,n）

y1=a1x+b1

x=m

方程组的解

y=n y2=a2x+b2

3、如何求两直线交点：把两直线解析式联立成二元一次方程组来解，方程组的解即为两直线的交点坐标。

二、知识巩固

例1.

如图一次函数y=k1x+b1的图象L1与y=k2x+b2的图象

L2相交于点P，则方程组

y=k

1

x+

的解是（

A ）

y=k2x+b2

（利用罗博智写板互动回答：电脑展示全体同学的答题选择情况，随机

选择一答错的同学解释答题理由，其他同学帮助分析错误原因。）

例2：如图，函数

y=kx+b与

y=mx+n的图象交于点P（1，2），那么关于

x，y的方程组

的解是（

A

）

（抢答：通过学生抢答检验并巩固学生对基础知识、基本方法的掌握情况）

例3. 若直线

y=1/2x+n 与

y=mx-1 相交于点（1，-2），则（

C

）

A、m=1/2，n=-5/2

B、m=1/2，n=-1 C、m=-1，n=-5/2

D、m=-3，n=-3/2 （纸笔互动：相互交流讨论，展示不同的解题思路，教师适时点拨鼓励）

例4：在同一平面直角坐标系中，y=-x+3与y=3x-5的图象交于点M，则点M的坐标为（

D ）

A.（-1, 4）

B. (-1, 2)

C. (2,

-1)

D. (2,

1) （学生口答：训练提高学生的计算能力）

例5：在同一平面直角坐标中，直线y=4x+1与直线y=-x+b的交点不可能在（

D ）

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

x-y=5

x+y=1

x=3

y=-2

例6.已知二元一次方程组

的解是

则在同一平面直角坐标系中，直线

y=x﹣5 与直线

y=-x+1 的交点坐标为

(3,-2)

．

例7.如图，直线l1的解析式是

y＝2x－1，直线l2的解析式是

y＝x＋1，则方程组

x-y=-1

的解是:

2x-y=1

例8. 如图：求两条直线l1:y=2x+2,直线l2:y=-x+5与x轴围成的三角形的面积。

策略：两条直线与坐标轴围成的三角形一定有一条边在坐标轴上，求这类三角形的面积的基本思路是先求出两条直线与坐标轴的交点，从而可得这条边的长度，再求出两条直线的交点坐标，从而可求出这条边上的高，这样便可以求出三角形的面积。

解：直线l1:y=-2x+2与x轴的交点为B（-1，0），直线l2：y=-x+5与x轴的交点为C（-5，0）

x=1

y=2x+2

所以BC=6，由

解得

y=-x+5

y=4

即A（1，4），所以∆ABC的BC边上的高为4，S∆ABC=12. 三、拓展延伸

1、几何应用

例1：如图，直线l1：y＝-2x＋4，且l1与x轴交于点D，直线l2经过A,B，直线l1，l2交于点C．

（1）求l2的解析式；

（2）求∆ADC的面积；

（3）在直线 l2上是否存在点P，使得∆ADP的面积是∆ADC面积的2倍？如果存在，请求出P点坐标；如果不存在，请说明理由。

策略：

1.根据点A、B的坐标利用待定系数法求出直线l2的解析式。

2.令y=2x+4=0求出x的值，求出点D的坐标，联立两直线解析式成方程组，解方程组求出点C坐标。

3.假设存在，根据两三角形面积间的关系：点P的纵坐标的绝对值是点C的纵坐标的绝对值

的2倍，再根据一次函数图象上点的坐标特征求出P的坐标。

（师生互动：激活学生的思维，提高学生归纳解题能力，提升一次函数在几何中的应用。）

解：（1）对于函数：y=-2x+4，令y=0，∴-2x+4=0，

x=2，即D点坐标为：（2，0）；

y=kx+b，由图象可知：解之得：

∴直线l2的解析式为：y=x-5；

（3）直线l2上存在点P使得△ADP面积与△ADC的面积相等，

设C点坐标为：（m，n），则，解得：

-2）

∴C（3，∵S△（2）设l2的解析式为：

ADP=S△ADC，∴点P的纵坐标与点C的纵坐标的绝对值相等，由图可知点P在第一象限，∴当y=2时，x-5=2，∴x=7，即P点坐标为：（7，2）．

2、实际应用

例2：小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30min．小东骑自行车以300m/min的速度直接回家，两人离家的路程y（m）与各自离开出发地的时间x（min）之间的函数图象如图所示

（1）家与图书馆之间的路程为

m，小玲步行的速度为

m/min；

（2）求小东离家的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；

（3）求两人相遇的时间．

策略：

1.认真分析图象得到路程与速度数据。

2.采用方程思想列出小东离家路程y与时间x之间的函数关系式. 3.两人相遇实际上是函数图象求交点.

本题是一次函数实际应用问题，考查了对一次函数代表意义的分析和从方程角度解决一次函数问题。

（通过学生情景交流，将实际情况转化为数学一次函数模型激活学生解题思路。）

解：（1）结合题意和图象可知，线段CD为小玲路程与时间函数图象，折现O﹣A﹣B为为小东路程与时间图象则家与图书馆之间路程为4000m，小玲步行速度为2000÷10=200m/s

故答案为：4000，200 （2）∵小东从离家4000m处以300m/min的速度返回家，则xmin时，

∴他离家的路程y=4000﹣300x，自变量x的范围为0≤x≤

（3）由图象可知，两人相遇是在小玲改变速度之前

∴4000﹣300x=200x，解得x=8∴两人相遇时间为第8分钟．

四、方法小结

一次函数与二元一次

方程组

用方程组的解确定两个一次函数的交点坐标

联立两函数的解析式组成方程组，方程组的解就是交点的坐标

五、数学思想

1.体现了数形结合思想

2.体现了相互转化思想

图象法解二元一次方程组

写函数，画图象，找（求）交点，下结论

3.渗透了数学核心素养，提高了同学们的数学核心素养。

六．课外作业

1．为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行”活动．自行车队从甲地出发，途径乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2小时装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，并且邮政车行驶速度是自行车队行驶速度的2.5倍，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y（km）与自行车队离开甲地时间x（h）的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答下列各题：

（1）自行车队行驶的速度是

km/h；

（2）邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？

（3）邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？