复习题28教案教学设计

三角函数

一．选择题（共10小题）

1．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（

）

A．2 B．

C．

D．

2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（

）

A．

B．

C．

D．

3．如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（

）

A．

B．

C．

D．

4．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（

）

A．msin35°

B．mcos35°

C．

D．

5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（

）

A．

B．

C．

D．

6．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（

）

A．

B．

C．

D．

7．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为（

A．

B．

C．

D．1

8．如图，已知∠α的一边在x轴上，另一边经过点A（2，4），顶点为（﹣1，0），则sinα的值是（

）

A．

B．

C．

D．

第1页（共26页）

）

9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值不等于cosA的值的是（

）

A．

B．

C．

D．

10．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，⊙O半径为1，圆心O在格点上，则tan∠AED=（

）

A．1 B．

C．

D．

二．填空题（共10小题）

11．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则tanD=

．

12．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则的值=

，tan∠APD的值=

．

13．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是

．

14．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC=

．

第2页（共26页）

15．如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为

．

16．如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，

则tan∠BAC=

．

17．如图，圆锥的母线长为11cm，侧面积为55πcm，设圆锥的母线与高的夹角为α，则cosα的值为

．

18．如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于，则sin∠CAB=

．

2

19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，BC=4，AB=6，则cos∠ACD=

．

20．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则cosD=

．

三．解答题（共10小题）

21．如图，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB=．

（1）求BC的长；

（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：=1.4，

=1.7，=2.2）

22．在锐角△ABC中，AB=15，BC=14，S△ABC=84，求：

（1）tanC的值；

（2）sinA的值．

第3页（共26页）

23．如图，直角坐标系中，P（3，y）是第一象限内的点，且，求sinα．

24．矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，

求tan∠AFE．

25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE=90°．

（1）当DF∥AB时，连接EF，求∠DEF的余切值；

（2）当点F在线段BC上时，设AE=x，BF=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．

第4页（共26页）

26．如图所示，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是正方形，点A的坐标为（m，0）．将正方形OABC绕点O逆时针旋转α角，得到正方形ODEF，DE与边BC交于点M，且点M与B、C不重合．

（1）请判断线段CD与OM的位置关系，其位置关系是

；

（2）试用含m和α的代数式表示线段CM的长：

；α的取值范围是

．

27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=8，AB=10，求cos∠BCD的值．

28．如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心、EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则cot∠EAB的值为

．

第5页（共26页）

29．如图，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB∥OP，直线PB交直线AC于D，BD=2PA．

（1）证明：直线PB是⊙O的切线；

（2）探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明；

（3）求sin∠OPA的值．

30．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=1，CD=3，BC=6，有一个点E从C出发以每秒1个单位的速度向B移动，到达B后停止；t（秒）为E点移动的时间．

（1）用含t的代数式表示tan∠EAB；

（2）当t在0秒到6秒之间变化时，△ABE和△DCE有可能相似吗？如果不能相似请说明理由，如果能相似请求出相似时的t．

第6页（共26页）

2017年01月07日zhw720811的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（

）

A．2 B．

C．

D．

【分析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．

【解答】解：如图：，

由勾股定理，得

AC=，AB=2，BC=，

∴△ABC为直角三角形，

∴tan∠B==，

故选：D．

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．

2．（2016•广东）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（

A．

B．

C．

D．

【分析】利用勾股定理列式求出OA，再根据锐角的余弦等于邻边比斜边列式即可．

【解答】解：由勾股定理得OA==5，

所以cosα=．

第7页（共26页）

）

故选D．

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，坐标与图形性质，勾股定理，熟记概念并准确识图求出OA的长度是解题的关键．

3．（2016•攀枝花）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（

）

A．

B．

C．

D．

【分析】连接CD，可得出∠OBD=∠OCD，根据点D（0，3），C（4，0），得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OBD即可．

【解答】解：∵D（0，3），C（4，0），

∴OD=3，OC=4，

∵∠COD=90°，

∴CD==5，

连接CD，如图所示：

∵∠OBD=∠OCD，

∴sin∠OBD=sin∠OCD=故选：D．

=．

【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．

4．（2016•三明）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（

）

A．msin35°

B．mcos35°

C．

D．

【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案．

【解答】解：sin∠A=

，

第8页（共26页）

∵AB=m，∠A=35°，

∴BC=msin35°，

故选：A．

【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义．

5．（2016•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（

）

A．

B．

C．

D．

【分析】根据锐角三角函数的定义，即可解答．

【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，sinB=∵AD⊥BC，

∴sinB=，

，

，

sinB=sin∠DAC=综上，只有C不正确

故选：C．

【点评】本题考查了锐角三角函数，解决本题的关键是熟记锐角三角函数的定义．

6．（2016•市中区三模）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（

）

A．

B．

C．

D．

【分析】找到∠ABC所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得∠ABC的邻边与斜边之比即可．

【解答】解：由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，

∴斜边为∴cos∠ABC==2=．

．

故选B．

【点评】难点是构造相应的直角三角形利用勾股定理求得∠ABC所在的直角三角形的斜边长，关键是理解余弦等于邻边比斜边．

第9页（共26页）

7．（2016•新抚区模拟）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为（

）

A．

B．

C．

D．1 【分析】先在图中找出∠ABC所在的直角三角形，再根据三角函数的定义即可求出tan∠ABC的值．

【解答】解：如图，在直角△ABD中，AD=3，BD=4，

则tan∠ABC=故选B．

=．

【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．

8．（2016•赵县一模）如图，已知∠α的一边在x轴上，另一边经过点A（2，4），顶点为（﹣1，0），则sinα的值是（

）

A．

B．

C．

D．

【分析】作AC⊥x轴于点C，根据点的坐标特征求出点A、B的坐标，得到CA、CB的长，根据勾股定理求出AB，根据正弦的定义解答即可．

【解答】解：作AC⊥x轴于点C，

由题意得，BC=3，AC=4，

由勾股定理得，AB=5，

则sinα=故选：D．

=，

第10页（共26页）

【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握在直角三角形中，一个锐角的对边比斜边是这个角的正弦，邻边比斜边是这个角的余弦，对边比邻边是这个角的正切是解题的关键．

9．（2016•夏津县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值不等于cosA的值的是（

）

A．

B．

C．

D．

【分析】根据余角的性质，可得∠A=∠BCD，根据余弦等于邻边比斜边，可得答案．

【解答】解：A、在Rt△ACD中，cosA=B、在Rt△ABC中，cosA=，故B正确

，故C错误；

，故D正确；

，故A正确；

C、在Rt△BCD中，cosA=cos∠BCD=D、在Rt△BCD中，cosA=cos∠BCD=故选：C．

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

10．（2016•古冶区二模）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，⊙O半径为1，圆心O在格点上，则tan∠AED=（

）

A．1 B．

C．

D．

【分析】根据锐角三角函数的定义求出tan∠ABC，根据圆周角定理得到∠AED=∠ABC，得到答案．

第11页（共26页）

【解答】解：∵AC=1，AB=2，

∴tan∠ABC==，

由圆周角定理得，∠AED=∠ABC，

∴tan∠AED=，

故选：C．

【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、圆周角定理的应用，掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切是解题的关键．

二．填空题（共10小题）

11．（2016•枣庄）如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则tanD=

2

．

【分析】连接BC可得RT△ACB，由勾股定理求得BC的长，进而由tanD=tanA=【解答】解：如图，连接BC，

可得答案．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵AB=6，AC=2，

∴BC=又∵∠D=∠A，

∴tanD=tanA===2．

==4，

故答案为：2．

【点评】本题考查了三角函数的定义、圆周角定理、解直角三角形，连接BC构造直角三角形是解题的关键．

12．（2016•自贡）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则的值=

3

，tan∠APD的值=

2

．

第12页（共26页）

【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP=1：3，即可得PF：CF=PF：BF=1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．

【解答】解：∵四边形BCED是正方形，

∴DB∥AC，

∴△DBP∽△CAP，

∴==3，

连接BE，

∵四边形BCED是正方形，

∴DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BE⊥CD，

∴BF=CF，

根据题意得：AC∥BD，

∴△ACP∽△BDP，

∴DP：CP=BD：AC=1：3，

∴DP：DF=1：2，

∴DP=PF=CF=BF，

在Rt△PBF中，tan∠BPF=∵∠APD=∠BPF，

∴tan∠APD=2，

故答案为：3，2．

=2，

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．

13．（2016•港南区二模）如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是

．

222222222【分析】首先连接AB，由勾股定理易求得OA=1+3=10，AB=1+3=10，OB=2+4=20，然后由勾股定理的逆定理，可证得△AOB是等腰直角三角形，继而可求得cos∠AOB的值．

【解答】解：连接AB，

222222222∵OA=1+3=10，AB=1+3=10，OB=2+4=20，

222∴OA+AB=OB，OA=AB，

∴△AOB是等腰直角三角形，即∠OAB=90°，

∴∠AOB=45°，

∴cos∠AOB=cos45°=

．

第13页（共26页）

故答案为：．

【点评】此题考查了锐角三角函数的定义、勾股定理以及勾股定理的逆定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

14．（2016•新化县一模）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC=

．

【分析】先构建格点三角形ADC，则AD=2，CD=4，根据勾股定理可计算出AC，然后根据余弦的定义求解．

【解答】解：在格点三角形ADC中，AD=2，CD=4，

∴AC=∴cosC=故答案为：．

，

，

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值．也考查了勾股定理．

15．（2016•于田县校级模拟）如图，P（12，a）在反比例函数

．

图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为

【分析】利用锐角三角函数的定义求解，tan∠POH为∠POH的对边比邻边，求出即可．

【解答】解：∵P（12，a）在反比例函数

图象上，

第14页（共26页）

∴a==5，

∵PH⊥x轴于H，

∴PH=5，OH=12，

∴tan∠POH=故答案为：，

．

【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

16．（2016•天河区一模）如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则tan∠BAC=

．

【分析】求出OA、AC，通过余弦函数即可得出答案．

【解答】解：∵A（0，1），B（0，﹣1），

∴AB=2，OA=1，

∴AC=2，OC=，

在Rt△AOC中，cos∠BAC=∴∠BAC=60°，

∴tan∠BAC===，

=，

故答案为．

【点评】本题考查了锐角三角函数以及垂径定理的应用，关键是求出AC、OA的长．

17．（2016•徐州模拟）如图，圆锥的母线长为11cm，侧面积为55πcm，设圆锥的母线与高的夹角为α，则cosα的值为

．

2

【分析】根据圆锥的侧面及公式，可得底面半径，根据勾股定理，可得圆锥的高，根据余弦等于邻边比斜边，可得答案．

第15页（共26页）

【解答】解：由圆锥的侧面及公式，得

πrl=55π．

r=5．

由勾股定理，得

高为cosα=，

．

=4，

故答案为：【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，利用圆锥的侧面及公式得出底面半径是解题关键．

18．（2016秋•高密市期中）如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于，则sin∠CAB=

．

【分析】作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CD，根据正弦的定义解答即可．

【解答】解：作CD⊥AB于D，

AB=∴×=，

×CD=，

，

=，

解得，CD=∴sin∠CAB=故答案为：．

【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．

19．（2016春•双流县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，BC=4，AB=6，则cos∠ACD=

．

第16页（共26页）

【分析】由等角的余角相等推知∠ACD=∠B，所以利用余弦三角函数的定义进行解答即可．

【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，

∴∠ACD=∠B，

∴cos∠ACD=cos∠B=故答案是：．

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义．根据题意得到∠ACD=∠B是解题的关键．

20．（2015•曲靖）如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则cosD=

．

==．

【分析】连接BC，根据同弧所对的圆周角相等得到∠D=∠A，在直角三角形ABC中，根据余弦的定义即可得到结果．

【解答】解：连接BC，

∴∠D=∠A，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，

∵AB=3×2=6，AC=2，

∴cosD=cosA=故答案为：．

==．

【点评】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，连接BC构造直角三角形是解题的关键．

三．解答题（共10小题）

21．（2016•连云港）如图，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB=．

（1）求BC的长；

第17页（共26页）

（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：=1.4，=1.7，=2.2）

【分析】（1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，由含30°的直角三角形性质得AD=AC=2，由三角函数求出CD=2，在Rt△ABD中，由三角函数求出BD=16，即可得出结果；

即可得出（2）在BC边上取一点M，使得CM=AC，连接AM，求出∠AMC=∠MAC=15°，tan15°=tan∠AMD=结果．

【解答】解：（1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图1所示：

在Rt△ADC中，AC=4，

∵∠C=150°，

∴∠ACD=30°，

∴AD=AC=2，

CD=AC•cos30°=4×在Rt△ABD中，tanB==2=，

=，

∴BD=16，

∴BC=BD﹣CD=16﹣2；

（2）在BC边上取一点M，使得CM=AC，连接AM，如图2所示：

∵∠ACB=150°，

∴∠AMC=∠MAC=15°，

tan15°=tan∠AMD===≈≈0.27≈0.3．

【点评】本题考查了锐角三角函数、含30°的直角三角形性质、三角形的内角和、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握三角函数运算是解决问题的关键．

22．（2015春•凉州区校级月考）在锐角△ABC中，AB=15，BC=14，S△ABC=84，求：

（1）tanC的值；

（2）sinA的值．

【分析】（1）过A作AD⊥BC于点D，利用面积公式求出高AD的长，从而求出BD、CD、AC的长，此时再求tanC的值就不那么难了．

（2）同理作AC边上的高，利用面积公式求出高的长，从而求出sinA的值．

【解答】解：（1）过A作AD⊥BC于点D．

第18页（共26页）

∵S△ABC=BC•AD=84，

∴×14×AD=84，

∴AD=12．

又∵AB=15，

∴BD=∴CD=14﹣9=5．

在Rt△ADC中，AC=∴tanC==；

=13，

=9．

（2）过B作BE⊥AC于点E．

∵S△ABC=AC•EB=84，

∴BE=，

∴sin∠BAC===．

【点评】考查了锐角三角函数的定义，注意辅助线的添法和面积公式，解直角三角形公式的灵活应用．

23．（2014秋•沙湾区期末）如图，直角坐标系中，P（3，y）是第一象限内的点，且，求sinα．

【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，可得答案．

【解答】解：如图：

第19页（共26页）

作PC⊥x于C点，

由=，得y=4．

==5，

由勾股定理，得OP=sinα==．

【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

24．（2012•南岗区校级模拟）矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．

【分析】根据题意，结合折叠的性质，易得∠AFE=∠BCF，进而在Rt△BFC中，有BC=8，CF=10，由勾股定理易得BF的长，根据三角函数的定义，易得tan∠BCF的值，借助∠AFE=∠BCF，可得tan∠AFE的值．

【解答】解：根据图形有：∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°，

根据折叠的性质，∠EFC=∠EDC=90°，

即∠AFE+∠BFC=90°，

而Rt△BCF中，有∠BCF+∠BFC=90°，

易得∠AFE=∠BCF，

在Rt△BFC，

根据折叠的性质，有CF=CD，

在Rt△BFC中，BC=8，CF=CD=10，

由勾股定理易得：BF=6，

则tan∠BCF=；

故有tan∠AFE=tan∠BCF=；

答：tan∠AFE=．

【点评】本题考查折叠的性质，注意在折叠变化中，线段的位置一定变化与长度是否变化，及变化前后的关系．

25．（2012•重庆模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE=90°．

（1）当DF∥AB时，连接EF，求∠DEF的余切值；

（2）当点F在线段BC上时，设AE=x，BF=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．

第20页（共26页）

【分析】（1）先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的中位线定理求出DF、DE的长，由锐角三角函数的定义即可求出∠DEF的余切值；

（2）过点E作EH⊥AC于点H，由平行线的性质及等腰三角形的性质可求出HE、HD的表达式，再由相似三角形的判定定理求出△HDE∽△CFD，根据相似三角形的性质可写出y关于x的函数关系式；

（3）先分析出△DCE为等腰三角形时的两种情况，再根据题意画出图形，当DC=DE时，点F在边BC上，过点D作DG⊥AE于点G，可求出AE的长度，由AE的长可判断出F的位置，进而可求出BF的长；当ED=EC时，先判断出点F的位置，再根据相似三角形的性质及判定定理即可解答．

【解答】解：（1）∵AC=BC=6，∠ACB=90°，

∴，

∵DF∥AB，∴∴，

，（1分）

，（1分）

在Rt△DEF中，；（2分）

（2）过点E作EH⊥AC于点H，设AE=x，

∵BC⊥AC，

∴EH∥BC，

∴∠AEH=∠B，

∵∠B=∠A，

∴∠AEH=∠A，∴，

，（1分）

又可证△HDE∽△CFD，

∴，（1分）

∴∴

（3）∵，

；（2分）

，CD=3，

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∴CE＞CD，

∴若△DCE为等腰三角形，只有DC=DE或ED=EC两种可能．（1分）

当DC=DE时，点F在边BC上，过点D作DG⊥AE于点G（如图①）

可得：，即点E在AB中点，

∴此时F与C重合，

∴BF=6；（2分）

当ED=EC时，点F在BC的延长线上，

过点E作EM⊥CD于点M，（如图②）

可证：

∵EM⊥CD，

∴△DME是直角三角形，

∵DE⊥DF，

∴∠EDM+∠FDC=90°，

∵∠FDC+∠F=90°，

∴∠F=∠EDM．

∴△DFC∽△DEM，

∴∴，

，

∴CF=1，∴BF=7，（2分）

综上所述，BF为6或7．

【点评】本题是一道综合题，涉及到锐角三角函数的定义、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，涉及面较广，难度较大．

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26．（2012•昌平区模拟）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是正方形，点A的坐标为（m，0）．将正方形OABC绕点O逆时针旋转α角，得到正方形ODEF，DE与边BC交于点M，且点M与B、C不重合．

（1）请判断线段CD与OM的位置关系，其位置关系是

垂直

；

（2）试用含m和α的代数式表示线段CM的长：

CM=m•tan

；α的取值范围是

0°＜α＜90°

．

【分析】（1）连接CD，OM．根据旋转的性质得出MC=MD，OC=OD，再证明△COM≌△DOM，得出∠COM=∠DOM，然后根据等腰三角形三线合一的性质得出CD⊥OM；

（2）首先用含α的代数式表示∠COM，然后在Rt△COM中，根据正切函数的定义即可得出CM的长度；由OD与OM不能重合，且只能在OC右边，得出α的取值范围．

【解答】解：（1）连接CD，OM．

根据旋转的性质可得，MC=MD，OC=OD，又OM是公共边，

∴△COM≌△DOM，

∴∠COM=∠DOM，

又∵OC=OD，

∴CD⊥OM；

（2）由（1）知∠COM=∠DOM，

∴∠COM=，

；

在Rt△COM中，CM=OC•tan∠COM=m•tan因为OD与OM不能重合，且只能在OC右边，故可得α的取值范围是0°＜α＜90°．

【点评】解答本题要充分利用正方形的特殊性质，注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，有助于提高解题速度和准确率．

27．（2011秋•怀远县期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=8，AB=10，求cos∠BCD的值．

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【分析】根据三角形的内角和定理求出∠BCD=∠A，得出cos∠BCD=cosA，求出cosA即可．

【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，

∴∠BDC=∠ACB=90°，

∴∠B+∠BCD=90°，∠BCD+∠ACD=90°，

∴∠BCD=∠A，

∵AB=10，AC=8，

∴cos∠BCD=cosA===．

，cosA=，【点评】本题考查了锐角三角函数值和三角形的内角和定理，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，则sinA=tanA=．

28．（2010秋•苏州期末）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心、EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则cot∠EAB的值为

．

【分析】结合题意，主要利用勾股定理在正方形中的应用，设正方形的边长为1，⊙E的半径为x，分别表示出Rt△ABE的三边，列出方程，求解即可得出⊙E的半径为，从而得出cot∠EAB的值．

【解答】解：设正方形ABCD的边长为1，⊙E的半径为x，即⊙A的半径为1，

结合题意，在Rt△ABE中，AB=1，AE=1+x，BE=1﹣x；

22故有（1+x）=（1﹣x）+1；

解得，

x=，

即BE=，

所以cot∠EAB=．

故答案为：．

【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义和相切两圆的性质等知识点以及三角函数的性质，本题难度不大，但需要掌握的知识点较多，需要同学们熟练．

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29．（2010•襄阳）如图，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB∥OP，直线PB交直线AC于D，BD=2PA．

（1）证明：直线PB是⊙O的切线；

（2）探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明；

（3）求sin∠OPA的值．

【分析】（1）连接OB．证OB⊥PB即可．通过证明△POB≌△POA得证．

（2）根据切线长定理PA=PB．BD=2PA，则BD=2PB，即BD：PD=2：3．

根据BC∥OP可得△DBC∽△DPO，从而得出线段PO与线段BC之间的数量关系．

（3）根据三角函数的定义即求半径与OP的比值．设OA=x，PA=y．则OD=3x，OB=x，BD=2y．在△BOD中可求y与x的关系，进而在△POB中求OP与x的关系，从而求比值得解．

【解答】（1）证明：连接OB．

∵BC∥OP，

∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠POB，

∴∠POA=∠POB，

又∵PO=PO，OB=OA，

∴△POB≌△POA．

∴∠PBO=∠PAO=90°．

∴PB是⊙O的切线．

（2）解：2PO=3BC．（写PO=BC亦可）

证明：∵△POB≌△POA，∴PB=PA．

∵BD=2PA，∴BD=2PB．

∵BC∥PO，∴△DBC∽△DPO．

∴，

∴2PO=3BC．

（3）解：∵CB∥OP，

∴△DBC∽△DPO，

∴，

即DC=OD．

∴OC=OD，

∴DC=2OC．

设OA=x，PA=y．则OD=3x，OB=x，BD=2y．

22222在Rt△OBD中，由勾股定理得（3x）=x+（2y），即2x=y．

∵x＞0，y＞0，

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∴y=x，OP=====x．

．

∴sin∠OPA=

【点评】此题考查了切线的判定、切线长定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理、三角函数等知识点，综合性强，难度大．

30．（2010•翔安区校级模拟）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=1，CD=3，BC=6，有一个点E从C出发以每秒1个单位的速度向B移动，到达B后停止；t（秒）为E点移动的时间．

（1）用含t的代数式表示tan∠EAB；

（2）当t在0秒到6秒之间变化时，△ABE和△DCE有可能相似吗？如果不能相似请说明理由，如果能相似请求出相似时的t．

【分析】（1）由已知得CE=t，则BE=6﹣t，而∠ABC=90°，可在Rt△ABE中表示tan∠EAB；

（2）由于∠B=∠C=90°，两三角形相似可能是△ABE∽△DCE或△ABE∽△ECD，再根据对应边的比相等，列方程求t．

【解答】解：（1）依题意，得CE=t，则BE=6﹣t，

在Rt△ABE中，tan∠EAB==6﹣t；

（2）△ABE和△DCE可能相似．

当△ABE∽△DCE时，当△ABE∽△ECD时，∴t=或t=3±．

==，即=，即=，解得t=，

，解得t=3±，

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定及性质的运用．关键是明确三角形相似的两种情况，分类求解．

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