信息技术应用 估计√2的值教案及板书设计

课题《递推数列求通项》（杨莹）

教学目标：

1. 掌握利用定义解决复合数列是等差、等比数列问题，并会求通项公式. 2. 让学生理解递推数列的本质，并熟练掌握Sn与an的转换应用. 教学设计：

一．基础知识回顾：

1.要证明数列{an}是等差数列，要证明什么式子成立？怎样证明？等比呢？

定义：等差数列an1and（常数）；等比数列an1；

q（常数）an追问：要证明数列{an1}是等比数列，又怎样证明？

二．提出问题：

例1：已知数列{an}满足a12，且数列{an1}是公比为2等比数列，

求数列{an}的通项公式an. 解法一：设bnan1，由题知数列bn是等比数列，则b1a111，q2，

则bnb1qn12n1，则anbn12n11. 解法二：因为数列{an1}是公比为2等比数列，

所以有：an1(a11)2n1(21)2n12n1，

又所以：an2n11，

设计意图：让学生掌握：已知复合数列为等差（等比），能求出其通项. 解题策略：将符合数列{an1}换元成新的数列bn，先求bn，再求an. 变式1. 已知数列{an}满足a11，且an13an1. （1）证明：{an}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式an. 解：（1）证明：设bnan121b2因为n11bnan2an11，即要证bn是等比数列；

2113an13(an)223，

11anan22

而b1a1133，则bn是首项为，公比为3的等比数列. 2223，公比为3的等比数列. 2故{an}是以首项为(2)bnb1qn11213n13n3，而anbn，

2223n1所以an. 2意图：近几年高考命题中要求会证明复合数列是等差或等比数列，同时求解an. a11练习1：已知数列an满足a1，an1n．

3a3n1（1）证明（2）求an的通项公式. 是等差数列；an1证明（1）设bn因为bn1bn1，即要证bn是等差数列；

an113an11121，

an11an1an1a12(an1)2(an1)21n3an1331，则bn是首项为，公差为的等差数列.

a11222当n1时，b1131所以是首项为，公差为的等差数列.

22an11n231n2（2）由（1）得

bn(n1)()，所以，

222an12所以 ann.

n231例2：已知Sn是数列an的前n项和，且满足Snan．

24求数列an的通项公式an．

311解：当n1时，S1a1，因为S1a1，所以a1.

2423131

因为Snan①，所以Sn1an1②，

24243333②-①得Sn1Snan1an，即an1an1an，所以an13an. 2222所以an是首项为1，公比为3的等比数列.

2

所以an1n13. 2n1S,意图：含Sn与an的递推公式的相互转换an1的应用. SS,(n1)n1n变式1：设数列an满足，a13a25a3(2n1)an2n. 求数列an的通项公式an．

意图：换元构造新数列，转化为知Sn求an. 练习2：设数列an满足，a13a25a3(2n1)an求数列an的通项公式an．

例3：（文科）已知各项都为正数的数列{an}，满足an22(an11)an2an10，

求数列{an}的通项公式an. 小结：

1.

通过今天的学***家有什么收获，有什么困惑

2.

通过一类递推数列，求通项的研究。

（1）将含an的复合数列设为新数列bn，可以轻松解决复合数列问题；

（2）对于Snf(an)模型，通过配对转化为研究an1f(an)模型

作业：

1.已知数列{an}的前n项和为Sn，a11且Sn1解答：由Sn1

有：Snn(n1). 21Snn，求数列{an}的通项公式an. 21Snn

（1）

21Sn1(n1)

（2）

21两式相减得：an1an+1 21所以：由例2可知{an2}是公比为q等比数列

211an2(a12)()n1()n1

221

an()n1222. 已知数列{an}满足，a11且2an1an1anan0，

（1）求证：{11}是等比数列；

an（2）求数列{an}的通项公式an. 3.已知数列{an}满足a12,a24，且an23an12an0，

（1）求证：{an1an}是等比数列

（2）求数列{an}的通项公式an. 解答：(1)由an23an12an0得an23an12an，

an2an1(3an12an)an12(an1an)2，

an1anan1anan1an即：an2an12，

an1an所以数列{an1an}是以公比为2的等比数列. （2）由（1）得：an1an(a2a1)2n122n12n

即an1an2n，

所以有：a2a121

a3a222

………

anan12n1

把上述式子相加得：ana122又所以：an2n1

设计意图：1.让学生体会累加法求数列的通项公式

2.an1anf(n)型最后就是累加得

122n12(12n1)2n1

12ana1f(1)f(2)Lf(n1)

（转化为数列求和问题求解）

4. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn（1）证明{an2}是等比数列；

1ann，

3

（2）求数列{an}的通项公式an. 13a11a1

321

n2时：因为

Snann

（1）

31

所以：Sn1an1(n1)

（2）

311（1）（2）得：ananan11，

331从而得：anan13，

21由例1的变式1可知：{an2}是公比为q等比数列，

21n111n11n所以：an2(a12)()()()()，

22221an()n2. 2解：n=1时：S1a1设计意图：通过高考命题的热点，让学生通过化归思想转化为差比数列模型，从而问题得到解决.