1.3 实习作业课堂实录【1】

余弦定理教学设计

一、教材分析

本节内容选自普通高中课程标准实验教科书人教A版《数学》必修5第一章《解三角形》第一节正弦定理和余弦定理。第一节约4课时，2课时通过探究证明正弦定理，应用正弦定理解三角形；2课时通过探究证明余弦定理，应用余弦定理解三角形。本节课是余弦定理的第一课时，属于定理教学课。

正余弦定理是定量研究三角形边角关系的基础，它们为解三角形提供了基本方法，为后续解决测量等实际问题提供了理论基础和操作工具。余弦定理是继正弦定理之后的解三角形又一有力工具，完善了解三角形体系，为解决三角形的边角关系提供了新的方法；是对任意三角形“边、角、边”和“边、边、边”问题进行量化分析的结果，将两种判定三角形全等的定性定理转化为可计算的公式。

二、教学预估目标

结合《课程标准》和教材编排，本节课的教学目标确定为：

1．发现并掌握余弦定理及其推论，利用余弦定理能够解决一些与三角形边角有关的计算问题。

2. 通过对三角形边角关系的探索，能证明余弦定理，了解可以从向量、解析方法和三角方法等多种途径证明余弦定理。

3．通过经历一个完整的探究学习过程，使学生体会数学探究活动的基本规律，培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力。

三、学情调研

为了让学生更好的学习本节课，现将学生知识结构和能力水平分析如下：

本节课之前学生已学习过全等三角形，三角函数，平面几何，平面向量、解析几何、正弦定理等与本节课紧密联系的内容，使本课有了较多的处理思路，也使余弦定理的探讨有了更加简洁的工具。知识结构上，学生会解直角三角形，知道锐角三角函数和勾股定理，这为用几何法证明余弦定理奠定了基础；学生知道三角形回路可以转化为向量的加减法，向量的模与长度有关，向量的夹角与角度有关，这为向量法证明余弦定理奠定了基础；学生还知道在平面直角坐标系中两点之间的距离公式和三角函数的定义，这为解析法证明余弦定理奠定了基础。正弦定理的证明推导过程也为本节课提供了一些探究的思路。能力水平上，高二的学生已有了一定的观察和类比能力，转化和分析问题的能力。

可是，在证明过程中，如何使学生自然的将原有的知识与现有的推理相联系，从多个角度联想去发现和解决问题，自主探究获得定理的证明，从而提高发现问题、探索问题、解决问题的能力，实现学习方式的转变，这是这节课需要突破的。

四、定位目标

通过对学生学习背景的了解和实际课堂的情况，重设教学目标为：

1.在教师启发的前提下，学生有能力合作探究发现并掌握余弦定理及其推论，利用余弦定理能够解决一些与三角形边角有关的计算问题。

2. 在教师启发的前提下，学生们通过对三角形边角关系的探索，了解可以从向量、解析方法和三角方法等多种途径证明余弦定理。

3．通过经历一个完整的探究学习过程，使学生体会数学探究活动的基本规律，培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力。

五、教学重难点教学重点和难点

教学重点：余弦定理的证明及其基本应用。

教学难点：理解余弦定理的作用及适用范围。

六、教学策略分析

1.课堂活动重探究。采用探究式课堂教学模式。整个过程包括提出探究问题、确定探究方案、完成探究过程。

2．精心设计问题串。以问题驱动，学生主动参与知识建构，形成方法、提升能力。

3．形成问题学习链。学生独立思考和小组合作探究相结合，学生汇报交流和老师点拨引导相结合，形成以提出问题与解决问题相互引发、携手并进的“探究问题”学习链。

4．重视生成展思维。在探究过程中，重视学生生成，激发学生思维，让学生真正成为知识的“发现者”和“研究者”，在知识的发成、发展过程中展开思维。

七、教学过程设计

一、温故引新

特例激疑

1，正弦定理是三角形的边与角的等量关系。正弦定理的内容是什么？你能用文字语言、数学语言叙述吗？你能用哪些方法证明呢？

正弦定理：在一个三角形中各边和它的对边的正弦比相等，即：abc2RsinAsinBsinC，其中2R为三角形外接圆的直径。

说明：正弦定理说明同一个三角形中，边与它所对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数2R，使a2RsinAb,2RsiBnc,R

。C2，运用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？

abbc,由sinAsinBsinBsinC，可以解决“已知两角及其一边可以求其他边。”“已知两边及其一边的对角可以求其他角。”等解三角形问题。

3，思考：如图，在ABC中，已知ABCc,ACb,BACA，求a即BC。

本题是“已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。”A

C B 的解三角形的问题。本题能否用正弦定理求解？

困难：因为角B、C未知, 较难求a。

二、类比探究

理性演绎

（一）类比探究

当一个三角形的两边和它们的夹角确定后，那么第三边也是确定不变的值，也就是说角A的对边随着角A的变化而变化。

C C C A B A B A B

当b、c一定，A变化时，a可以认为是A的函数，A0,。

当A22时，a2b2c2（勾股定理），为方便起见，考虑a关于Aa2fb2c22的函数，记作afA，即。

2当A变化时，a怎样变化？考虑两种极端情况：

A22　　　　　　　　 A　　　　 　　　　A0

C C A B

A b

B

A B

B

当A时，则当A0时，则a2bcb2c22bca2bcb2c22bc22; ; 我们比较三种情形的异、同点：

22222当A0时，则abc2bcbc2bc1,; 当A222222时，abcbc2bc0,

当A时，则a2bcb2c22bcb2c22bc1.2

22bc相同点:都含有；

不同点:2bc的系数不同；

A0、、2bc1、0、12猜想：的系数与之间存在什么对应关系呢？

a2b2c22bccosA。

a2b2c22bccosA，那么就得到了当角A为三个特殊角时的公式：这个公式是不是满足任意三角形呢？凭感觉上述公式应该满足任意三角形，但是我们应该给出严格的证明。

（二）理性演绎

同学们来考虑，证明恒等式通常采用什么思考方法？bccosA这样的结构我们在什么地方遇到过? C

ab

c22

B2A

证明：2bc2bccosAACAB2ACABcosA22

ACAB2ACABACAB2BCa22

三、完善知识

剖析升华

（一）完善知识

（1）余弦定理：在ABC中，ABc,BCa,ACb，则：

a2b2c22bccosA；

b2a2c22accosB；（第一种形式）

c2a2b22abcosC。

（2）语言表述：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

b2c2a2cosA2bc（3）变形：；

a2c2b2cosB2ac；（第二种形式）

a2b2c2cosC2ab。

（二）剖析升华

（1）余弦定理与正弦定理一样，也是任何三角形边角之间存在的共同规律,余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例. 222（2）等式abc2bccosA含有四个量a、b、c、A，从方程的角度看，已知其中三个量，总可以求出第四个量。

（3）根据已知量与未知量的性质可以知道，余弦定理可以解决有关三角形的哪些问题呢？利用余弦定理及推论可以解决以下两类三角形的问题：

①已知三边求三角形的三个角；

②已知两边及其夹角求三角形的其他边与角。

这两种类型问题在有解时都只有一个解，把“边、边、边”和“边、角、边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行刻画，使其变成了可计算的公式。

（4）从余弦定理和余弦函数的性质可知：在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如

果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；

四、例题示范

迁移运用

（一）例题示范

已知△ABC中

a



2

3,

b



2

2,

c



6



2,

求它的最大内角。

变式：

已知△ABC中

a，

:

c



3:

，求它的最大内角。

:b5

:

7思考：已知两边及一边的对角时，我们知道可用正弦定理来解三角形，想一想能不能用余弦定理来解这个三角形？

如：已知b=4，c =

15

,

C=

60

。

,

求边a。

五、归纳小结

反思拓展

（一）归纳小结

1、余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。能否用余弦定理证明勾股定理呢？

2、余弦定理有两个基本应用：一是已知三边求三角,二是已知两边及他们的夹角求第三边。

3、余弦定理和正弦定理是同一三角形的约束条件的不同表现形式，在本质上应该是一致的。

（二）反思拓展

1、余弦定理和正弦定理反映了同一三角形边、角之间的的度量关系,本质上时一致的.你能证明这两个定理时等价的吗? 2、总结解三角形的方法：已知三角形边角中哪三个量，有唯一

解或多解或无解？分别用什么方法？

六、作业

1、P51

练习第1、2题；

2、习题2--1

A组第3、4题. 七、资料延拓

一、余弦定理的证明方法

1、平面几何法

如图，在ABC中，设BCa,ACb,ABc，

a2b2c2另外，当A为钝角时也可证得上述结论，当A为直角时，也符合上述结论。

2、坐标法

八

教学反思

1、余弦定理是解三角形的重要依据，要给予足够重视。本节内

容安排两节课适宜。第一节，余弦定理的引出、证明和简单应用；第二节复习定理内容，加强定理的应用。

2、当已知两边及一边对角需要求第三边时，可利用方程的思想，引出含第三边为未知量的方程，间接利用余弦定理解决问题，此时应注意解的不唯一性。但是这个问题在本节课讲给学生，学生不易理解，可以放在第二课时处理。

3、本节课的重点首先是定理的证明，其次才是定理的应用。我们传统的定理概念教学往往采取的是“掐头去尾烧中断”的方法，忽视了定理、概念的形成过程，只是一味的教给学生定理概念的结论或公式，让学生通过大量的题目去套用这些结论或形式，大搞题海战术，加重了学生的负担，效果很差。学生根本没有掌握住这些定理、概念的形成过程，不能明白知识的来龙去脉，怎么会灵活的应用呢？事实上已经证明，这种生搬硬套、死记硬背式的教学方法和学习方法已经不能适应新课标教育的教学理念。新课标课程倡导：强调过程，重视学生探索新知识的经历和获得的新知的体会。

4、本节课的教学过程重视学生探究知识的过程，突出了以教师为主导，学生为主体的教学理念。教师通过提供一些可供学生研究的素材，引导学生自己去研究问题，探究问题的结论。在这个过程中，教师应该做到“收放有度”，即：不能收的太紧，剥夺了学生独立思考、合作学习的意识，更不能采取“放羊式”的教学，对于学生在探究问题中出现的困惑置之不理。

5、合理的应用多媒体教学，起到画龙点睛、提高效率、增

强学生对问题感官认识的效果。