小结优秀公开课教案

3.3.2简单的线性规划（第一课时）

——翻转课堂公开课 广州市第十七中学 吴毅彬

学习内容总析

线性规划位于不等式和直线方程的结合点上，是培养学生转化能力和熟练运用数形结合能力的重要内容。这一节的知识内容形成了一条结构紧密的知识链条：以二元一次不等式（组）表示的平面区域为基础，根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法解决简单的线性规划问题。

学情总析

学生已经坚持一个学期用翻转课堂的方式学习数学的新授课，课堂上参考高校课堂的教学模式，学生在已学简单新知识新概念的基础上，让他们对新知识以讨论的方式深入探讨，展示方法，归纳总结，从而培养学生的自学能力和团体协作能力。

三维教学目标

知识与技能：

①了解线性规划的意义以及约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等相关的基本概念；

②在巩固二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，能抽象出约束条件和目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；

过程与方法：

①培养学生的形象思维能力、绘图能力和探究能力；

②强化数形结合的数学思想方法；

情感、态度与价值观：

①在运用求解线性规划问题的图解方法中，感受动态几何的魅力；

②在探究性练习中，感受多角度思考、探究问题并收获探究成果的乐趣。

教学重难点

1、教学重点：

根据实际优化问题准确建立目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；

2、教学难点：

①借助线性目标函数的几何含义准确理解线性目标函数在y轴上的截距与z最值之间

的关系；

②对无数解，开放区域，边界不可取，整数解问题的理解与应用。

教学过程设计（课前微课设计与课堂研讨设计2部分）

一、课前微课设计：

xy31、作出下列不等式组所表示的平面区域xy1，提出下面三个问题：

x1问题①x有无最大（小）值？

问题②y有无最大（小）值？

问题③2xy有无最大（小）值？

从几何意义的角度找出（1），（2）的答案，类比引导学生思考（3）的几何意义

意图：让学生产生进一步学习的欲望，即如何能解决这种最值问题。用学生已有的知识结构不能解决，从而使学生产生学习新知识的愿望．

2、引导学生”以z2xy的几何意义探求未知”，将z2xy变形成为y2xz，讨论z2xy所表示的图形及z的几何意义，最后将问题转化为当直线y2xz与平面区域有公共点时，在区域内找一个点P，使直线经过点P时在y轴上的截距最大和最小。

意图：理解z的几何意义，可行域的确定及最优解的探求是本节课的教学难点，通过层层设疑，把学生推向问题的中心，让学生动手操作，直观感受来突出重点，突破难点．

3、教师借助图象进行动态演示：

xy3①作出不等式组xy1所表示的平面区域；

x1②作出直线l0：2xy0；

③作一组与直线l0平行的直线l：z2xy；

④移动直线l，观察图像直线l越往右平移,z越大. 经过点A(2,1)的直线所对应的z值最大;经过点B(1,0)的直线所对应的z值最小. zmax2215,zmin2102

4、在理解本题的基础上，利用已经作出的图像，标出线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解，同时交代求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为线性规划问题。

意图：通过对例题的分析，

加深学生对线性规划问题相关概念的理解.

5、归纳解题步骤：

1、画出线性约束条件所表示的可行域；

2、过原点作与目标函数直线平行的直线；

3、用平移的方法在线性目标函数所表示的一组平行线中，找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；

4、通过最优解求出目标函数的最值。

意图：通过数与形的结合，扫清了学生的思维障碍，更好地突破了教学的难点，让学生感受数学的简约美，加深学生对知识的认识和理解。

xy36、练习.求

z2xy

的最大值和最小值，使x,y满足约束条件xy1

x1意图：从学生的已有知识出发，让学生独立完成练习题，让学生感受利用数形结合思想解决线性规划问题的一般过程；教师重点强调解决本题的关键是对z的几何意义的理解；教师规范解决线性规划问题的一般步骤．

二、微课配套练习

y21、变量x,y满足xy1，则使得z3xy的值最小的(x,y)是

（

）

xy1A.(3,2)

B.(1,2)

C.(1,0)

D.(0,1)

y22、变量x,y满足约束条件xy1，则z3xy的最大值为

；

xy1x03、若x,y满足约束条件x2y3，则xy的取值范围为

2xy3

三、课堂设计

1、回顾视频的例题，在复述过程中重新让学生归纳线性规划的解题步骤。

2、课堂小测

(3) (4) 5 (2) -5 0 3 (1) 5 y xy5（1）约束条件xy50所表示的区域是（

）

x3A. (1)

B.(2)

C. (3)

D. (4)

x xy5（2）若点（x,y）满足xy50，则目标函数z=2x+3y在

x3处取得最

值。

（

）

A.（0,5）；最大

B.（3,2）；最小

C.（3,8）；最小

D.（3.8）；最大

-5 0 5 y 5 3 x xy5（3）若点（x,y）满足xy50，则3x-y的取值范围为（

）

x3A. [5,1]

B.[5,7]

C. [5,7]

D.

[1,7]

5 y 5 -5 0 3 xy5（4）若点(x,y)满足xy50，则3xy的取值范围为x3（

）

A. [12,15]

B.[12,30]

C. [15,30]

D.

(,12]

（口头归纳出最优解一般会在边界的交点处）

x y 5 5 -5 0 3 x

3、小组讨论展示：

xy5（1）若点(x,y)满足xy50，求xy的最值，此时最优解有多少个？（无数最x3优解问题）

解：设zxy，则yxz，先作出直线yx，然后平移直线。

当直线与xy50重合时，zxy有最小值5，

此时最优解有无数个；

当直线过点(3,2)时，zxy有最大值1，此时最优解有1个。

-5 5 5 0 3 y x xy5（2）若点(x,y)满足xy50，求3xy的取值范围（边界不可取问题）

y x3解：设z3xy，则y3xz，先作出直线y3x，然后平移直线。

当直线过点(3,2)时，z3xy有最大值7；

当直线过点(0,5)时，z3xy=5，但(0,5)不可取；

所以z3xy(5,7]

-5 0 3 5 5 x xy5xy50x3（3）点(x,y)满足xZ，求可行解的个数并求3xy的取值范围（整数点问题）

yZ

5

5 0 3 x 0 3 5 x 0 3 5 x 5 5 y y y

解：1.作出可行域；2.对可行域作整数网格；3.找出可行域内的所有整数点坐标共12个。

设z3xy，则y3xz，先作出直线y3x，然后平移直线。

当直线过点(3,2)时，z3xy有最大值7；当直线过点(1,5)时，z3xy有最小值2；所以z3xy[2,7]

xy5（5）（提高题选做）若点（x,y）满足xy50，且使z=ax+y的最大值的最优解有x3无数个，求a的值。

总结：1、若目标线性函数的最优解有无数个，则目标线性函数与可行域边界重合；

2、当可行域不是封闭图形时，最值可能不存在；

3、当可行域边界不可取时，注意取值范围区间的开闭；

4、当可行域只取整数点时，要在整数网格上取最优解。

5、补充练习

x21、若x、y满足约束条件y2，则z=x+2y的取值范围是

（

）

xy2A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] x4y32、设z2xy，式中变量x、y满足下列条件3x5y25，则z的取值范围

x1是 x2y213、设实数x、y满足，求z3x4y的最大值和最小值。

xy10

xy44、已知x、y满足x2y20，

x2y8（1）若x，y为整数，求x+y的取值范围； （2）若在不等式组表示的平面区域上有无穷多个点（x,y）可使目标函数zmxy取得最小值，求m。