3.1.2 复数的几何意义优质课教案推荐

第三章 数系的扩充与复数的引入

【课题】3.数系的扩充和复数的概念以及复数的几何意义

【教学目标】

（1）知识目标：

理解复数产生的必然性、合理性；掌握复数的代数表示形式;掌握复数系下的数的分类;理解复数的几何意义。

（2）过程与方法目标：

从为了解决x210这样的方程在实数系中无解的问题出发,设想引入一个新数i,使i是方程x210的根.到将i添加到实数集中去,使新引入的数i和实数之间能象实数系那样进行加、乘运算；掌握类比的方法，转化的方法。掌握复数三种表示方法：代数形式、点和向量表示，并能理解它们之间的相互转化。能将复数问题转化为平面几何和解析几何问题来灵活求解。

（3）情感与能力目标：

通过介绍数系扩充的简要进程，使同学们感受人类理性思维对数学的发展所起的重要作用，体会数与现实世界的联系。学生通过阅读教材，自主学习、质疑、交流等探究活动，逐步理解复数能用点和向量来表示的道理，并能准确表示。

【教学重点】

复数的概念及其分类。复数的几何意义。

【教学难点】

虚数单位

i

的引入。对复数的三种表示方法及其相互转化的理解。

【教学过程设计】

一：回顾历史

1．对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简明扼要的概括和总结）. 自然数

整数

有理数

无理数

实数

二：引入新知

2．提出问题. 2x我们知道，对于实系数一元二次方程10，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？

3．组织讨论，研究问题. 组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题是要解决－1的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于－1．

三：讲授新课

4．引入新数i，并给出它的两条性质.

根据前面讨论结果，我们引入一个新数i，i叫做虚数单位，并规定：

（1）i1；

（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．有了前面的讨论，引入新数i，可以说是水到渠成的事．这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是i）．

5．提出复数的概念. 根据虚数单位i的第（2）条性质，i可以与实数b相乘，再与实数a相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成abi这样，数的范围又扩充了，出现了形如

abi(a,bR)的数，我们把它们叫做复数．

6.

复数的分类

复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以分类如下：

实数b＝0，纯虚数a＝0，复数a＋bi(a，b∈R)虚数b≠0非纯虚数a≠0.2

例.实数m分别取什么值时，复数z＝m+1＋(m-1)i是

(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 7. 提出两个复数相等的定义.

acabicdibd

a,bR例. 已知(2x1)iy(3y)i,其中，x,yR，求x与y．

例．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)＞1，则实数x＝________.

8.复数的几何意义

复数能用点来表示：复数Z = a + bi（a、b∈R）b）

复数能用向量来表示：复数Z = a + bi（a、b∈R）为原点，Z为复数对应点）

例．在复平面内，O为原点，向量→OA对应的复数为－1－2i，若点A关于直线y＝x对称的点为B，则向量→OB对应的复数为(

) A．－1＋2i B．2＋i

C．1＋2i D．－2－i ∣= a2b2

例.满|z|=5(z∈C的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？

复数的模及其计算公式：复数Z = a + bi（a、b∈R）的模r =∣平面向量（O

复平面内的点Z（a ，四：知识回顾

五：综合练习

例．设复数z＝2m＋(4－m2)i，当实数m取何值时，复数z对应的点：

(1)位于虚轴上？(2)位于一、三象限？(3)位于以原点为圆心，以4为半径的圆上？

六：作业布置

七：本节反思