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高一基本不等式导学案

课题：3.4.1 基本不等式【学习目标】

1.创设用代数与几何两方面背景，用数形结合的思想理解基本不等式；

2.尝试让学生从不同角度探索基本不等式的证明过程；

3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路，即由条件到结论，或由结论到条件.

abab的证明2

教师复备或学生笔记

【重难点预测】

重点：1.创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式；

2.从不同角度探索基本不等式的证明过程；

难点：1.对基本不等式从不同角度的探索证明；

2.通过基本不等式的证明过程体会分析法的证明思路.

【自主探究】

下图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、数形结合的思想。将代数与几何紧密的结合在了一起。

问题1：请同学们动手画出该图案抽象出来的几何图形。

问题2：设直角三角形的两直角边的长分别为a、b，那么，四个直角三角形的面积之和与正方形的面积有什么关系呢？

答：_________________________________________________ _________________________________________________

1

问题3：同学们能用代数的方法证明此不等式吗？即证a+b≥2ab证明:________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ 22

思考1：当a＞0,b＞0时，是否可以用√a、√b代替此不等式中的a、b答：______

这个不等式就是我们这节课

要推导的基本不等式. 代数解释：我们常把板书：

ab叫做_________________________________，

2把ab叫做 _______________________________________，

数列角度看：我们把ab看做_________________________________，

2把ab看做________________________________________。

请同学们尝试一下，能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢？要证：_______________________，

只要证________________________________，要证②，只要证：____________________________，要证③，只要证：____________________________________，显然④

是成立的，当且仅当_______时，④

中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式. 【合作探究】如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？ 证明：

当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时可取等号，所以也可得出基本不等式ab

ab (a＞0,b＞2

2

问题：那ab与ab分别又有什么几何意义呢？

2ab答:ab表示___________,表示___________2

几何解释：_________________________________. 练一练：判断对错 1）由a,bR,则ab2ab

（ ）

2）若x0,

则x112 （ ） 3）函数yx的最小值为2.（ ） xx基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具，看下面的问题。

问题一：用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短．最短的篱笆是多少？

问题二：一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大．最大的面积是多少？

思考1：在问题一中，用基本不等式解决此问题时，你有什么发现？

答：_________________________________________________

那总结个规律该怎么说呢？

结论1：_____________________________________________

思考2：在问题二中，用基本不等式解决此问题时，你有什么发现？

答：__________________________________________________

结论2：_______________________________________________

问题三：某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800立方米，深为3米.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，3

怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？

思考3：由上面例题，同学们，能总结一下运用基本不等式解题需要满足的条件吗？（根据前面学习说出至少两点）

答：1、__________________________________________________ 2、__________________________________________________

例题中运用公式取到最值的前提必须有什么？

答：__________________________________________________

那我们给运用基本不等式满足的条件一个口诀吧？（同学们大胆尝试去说，不一定简便，但用自己的思维方式说印象会更深）

总结：________________________________________

练一练：1、x＞0,当x取什么值，yx1的值最小？最小值是多少？

x2、用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？

那我们如何运用基本不等式都能求哪些最值的题型呢？下节课我们再研究。

课堂小结

1、

本节课我们研究了哪些问题？

2、有什么收获？

【课后作业】：

4

aba2b2活动与探究：已知a、b都是正数，试探索,ab ,,的大1122ab2小关系，并证明你的结论

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