阅读与思考 海伦和秦九韶教学设计

§1．2应用举例（测量距离问题）

●教学目标

知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语

过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正

情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力

●教学重点

实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解

●教学难点

根据题意建立数学模型，画出示意图

●教学过程

Ⅰ.课题导入

1、[复习旧知] 复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？

2、[设置情境]

请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。

Ⅱ.讲授新课

解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解

[例题讲解]

例1、如图，图中的河为长江，假设A点代表北山坪下的一处农家乐，B点代表图书馆，测量者在B的同侧，在不能过河的情况下，如何测量两点之间的距离？（测量工具：经纬仪、钢卷尺）

A

B

启发提问1：在前面我们回忆过，测量距离我们常常借助于三角形，此时我们应如何构造三角形呢？（学生讨论后，请学生回答。）

启发提问2：构造出三角形后，我们能够测得哪些量？又如何求A、B两点间的距离？

A

β

B

α

C

在B侧任意选一点C，构造ABC。在ABC中，若测得α=45°，β=60°，BC之间的距离

为 2km。

分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。

解：由正弦定理得

即

又因为

sin75sin(4530)

所以

ABBCsinsinAAB2sin60sin75sin45cos30cos45sin306242sin60AB33sin75变式练习（1）

如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°, ∠CAB=105°,那可以计算A、B两点的距离为（

）

A、502m

B、503m

C、252m252D、m2

变式练习（2）两座灯塔A

和B 与海洋观察站C

的距离都等于a千米,灯塔A

在观察站C

的北偏东20°，灯塔B在观察站C

的南偏东40°，则灯塔A

与灯塔B

的距离为（

）

A、akm

C、2akm

B、3akm

D、2akm

例2、如图，在例1的B点对面有一点D，测量者在B的同侧，在不能过河的情况下，如何测量A、D两点之间的距离？

启发提问1：要测量AD，就需要构造三角形，在构造的三角形中可以测得哪些量？

启发提问2：能否根据测得的量求出AD？如果不能，那还差哪些量？我们又如何去测得这些量？

学生讨论后，请学生回答。

分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AB和BD，再利用余弦定理可以计算出AD的距离。

若测得若测得B、C之间的距离为

2km

, α=45°，β=60°，θ=60°，γ=30°.求A、D之间的距离. 解：

①

在△ABC中，由正弦定理得

ABBCAB2



即

sinsinAsin60sin75

又因为

sin75sin(4530)

sin45cos30cos45sin30

62



42sin60所以

AB33sin75

②

在△BCD中，由正弦定理得

即

所以

BDBCsinsinBDCBD2sin30sin452sin30BD1sin45③

在△ABD中，由余弦定理得

AD2AB2BD22ABBDcos

(33)2122(33)1cos60

1053

所以

AD1053Ⅲ.课时小结

Ⅳ.课后作业

课时作业（五）5、6、7、8、10、12、13