3.1.2 复数的几何意义优秀教案

数无形时少直觉，形少数时难入微，数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。

复数的几何意义

（

人教A版

选修1－2第三章

第二课时）

连南瑶族自治县民族高级中学

黄彩林

【教材分析】：本节从复数形的角度，以帮助学生再次认识复数引进的必要性；类比向量的相关知识得到复数的几何意义，为下节复数代数形式的的四则运算埋下铺垫.故本节课的地位在本章书中起着承上启下的作用. 【学情分析】： 教学对象是高二文科班的学生，学生已经学过代数、解析几何的相关知识,所以本节课要求学生通过类比实数、向量的几何意义自己探索复数的几何意义，由于学生已经学过平面向量及其几何表示、坐标表示，得到用平面向量来表示复数就显得水到渠成了. 【学法指导】：

1．认真研读教材52至53页，通过类比的方法，由实数用数轴上的点来表示，类比联想到复数可用平面上的点来表示，进而联想到向量也可用平面上的点来表示；由一维上升到到二维，同时实现“数”到“形”的转化，得到复数的几何意义. 2.把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，便于复习记忆. 【教学目标】： （1）知识与技能：了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；

（2）过程与方法：通过类比的方法，由实数用数轴上的点来表示，类比联想到复数可用平面上的点来表示，进而联想到向量也可用平面上的点来表示；由一维上升到到二维，同时实现“数”到“形”的转化，得到复数的几何意义. （3）情感态度与价值观：培养学生用联系的观点分析、解决问题的能力.

【教学重点】：复数的代数形式和复数的向量表示. 【教学难点】：复数的向量表示.

【教学过程设计】：

教学环节

一、问题引入

教学活动

在几何上，我们用什么来表示实数？实数可以用数轴上的点来表示。实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可用数轴上的点来表示；类比实数的表示，可以用什么来表示复数呢？

二、学生活动，问题导学.

问题1 复数相等的充要条件表明，任何一个复数abi都可以由一个有序实数对（a，b）惟一确定，而有序实数对（a，b）与平面直角坐标系中的点是一

一对应的，那么，我们怎样用平面内的点来表示复数呢？

设计意图

提出问题,激发学生学习兴趣,促学生从熟悉过渡到未知. 从实数的集合一一（用数轴上的点来表示）类比联想提出复数几何意义的问题后，让学生尝

数无形时少直觉，形少数时难入微，数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。

问题2 我们知道平面直角坐标系中的点A与以原点O为起点、

A为终点的向量OA是一

一

对应的，那么复数能用平面向量来表示吗？

问题3 复数还可以类比向量的哪些内容？

三、师生互动，建构数学

师生共同活动：

师生共同讨论,有助于学生对复数的1．在平面直角坐标系xOy中，以复数zabi的实部a为横坐标、虚几何意义的理解

部b为纵坐标就确定了点Z(a,b)，我们可以用点Z(a,b)来表示复数

zabi，这就是复数的几何意义。

2．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴

叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

Z3．因为复平面内的点Z(a,b)与以原点0为起点、为终点的向量OZ一

一对应（实数0与零向量对应），所以我们也可以用向量OZ来表示复数

zabi，这也是复数的几何意义。

4．

根据上面的讨论，我们可以得到复数zabi、复平面内的点

Z(a,b)和平面向量OZ之间的关系（见下图）。今后，常把复数zabi

说成点Z或向量OZ（并且规定相等的向量表示同一个复数）。

复数z=a+bi

一一对应一一对应用图形表示三者之间的关系,使学生一一对应复平面上的点加深印象. 试、探索用直角坐标系中的点来表示复数。

ybz=a+bixOa（a,b）平面向量OZ

数无形时少直觉，形少数时难入微，数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。

5．相对于复数的代数形式zabi，我们把点Z(a,b)称为复数z的几何形式，向量OZ称为复数z的向量形式。复数的模长，可类比向量的模长计算.复数的加减运算可类比向量的加减运算等. 四、数学运用,探究发现

运用1 6.例1 在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：

4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i. [解后思考]理解复平面上的点的坐标与复数一一对应关系. 7.口答

1．设复数z＝a＋bi对应的点在虚轴的左侧，则(

) A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b∈R D．a＞0，b∈R

2．“a＝0”是“复数a＋bi

(a

, b∈R)所对应的点在虚轴上”的（ ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．不充分不必要条件

3（.2014重庆）实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的（）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

通过例题的讲解和分析，提高学生分析问题和解决问题的能力。

例2已知复数zlog2(1m)ilog2(3m)(mR)在复平面内对应的

点位于第二象限，求实数m的取值范围.

[解后思考]表示复数的点的坐标（几何问题）转化为复数的实部与虚部所

满足不等式组的问题（代数问题）.

变式训练: 已知复数z(m2m6)(m2m2)i在复平面内对应的

点位于在直线x2y40上，求实数m的值.

9.问题4 我们知道任何一个实数都有绝对值，它表示数轴上与这个实数

对应的点到原点的距离.任何一个向量都有模(或绝对值),它表示向量的

长度.相应地,我们可以给出复数的模(或绝对值）的概念吗？它又有什么

几何意义呢？

向量OZ的模叫做复数zabi的模（或绝对值），记作︱z︱或

︱abi︱。由模的定义可知|z|＝︱abi︱＝a2b2。复数的模

表示复平面内该点到原点的距离。

运用2

例3求下列复数的模：

(1)z15i(2)z234i(3)z355i

(4)z41mi(mR)(5)z54a3ai(a0)培养学生思维的灵活性和深刻性。

探究与发现：(1)z1与z2可否比较大小，为什么？

｜z｜与｜z｜12可否

数无形时少直觉，形少数时难入微，数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。

比较大小，为什么？

(2)满足|z|＝5(z∈C)的z值有几个？这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？

特别要注意的是，两个复数的模是非负数，它们之间可以比较大小。但是，任意两个复数，只要其中有一个不是实数，它们就不能比较大小。

五、课堂小结，建构体系. 知识：（1）复数的几何意义是什么？

思想：（2）采用了哪些数学思想方法？

能力：（3）猜想：你认为复数的哪些特征还可以与向量作类比？

一、选择题

1.设i为虚数单位，若zcosisin对应的点位于复平面的第四象限，则为（

）

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

2．下列命题中：①任意两个确定的复数都不能比较大小；②若|z|≤2，22则－2≤z≤2；③若z1＋z2＝0，则z1＝z2＝0.其中正确命题的个数为(

) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】A

【解析】当虚部为0时，两个复数是可以比较大小的，故①错；当z为虚数时，不能与实数比较大小，故②错；当两复数平方和是0时，两复数不一定为0，可能为虚数，故③错．

二、填空题(每小题5分，共10分) 3．已知复数3＋i,1－i在复平面内对应的点为A，B，则直线AB的倾斜角为________．

【答案】45

【解析】∵A(3,1)，B(1，－1)，∴kAB＝oo

回顾反思

六、巩固

练习,提升技能.

巩固知识，培养技能.

11＝1.故则直线AB的13倾斜角为45. 4．复数z＝x＋1＋(y－1)i(x，y∈R)且|z|＝1，则点(x，y)的轨迹方程是____________________．

22【答案】(x＋1)＋(y－1)＝1

22【解析】∵|z|＝1，∴(x＋1)＋(y－1)＝1. 22故点(x，y)的轨迹方程为：(x＋1)＋(y－1)＝1. 结束语：

数无形时少直觉，形少数时难入微，

数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。

－－华罗庚