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模块5

第三章

不等式

1.图中阴影(包括直线)表示的区域满足的不等式是( A )

A．x－y－1≥0

B．x－y＋1≥0

C．x－y－1≤0

D．x－y＋1≤0 【解析】

直线对应的方程为x－y－1＝0，对应的区域在直线的下方，当x＝0，y＝0时，0－0－1＜0，即原点在不等式x－y－1＜0对应的区域内，则阴影(包括直线)表示的区域满足的不等式是x－y－1≥0，故选A.

2.下列坐标对应的点中，落在不等式x＋y－1＜0表示的平面区域内的是( A ) A．(0，0)

B．(2，4)

C．(－1，4)

D．(1，8)

3.下列说法正确的是( C ) A．a>b⇒ac2>bc2

B．a>b⇒a2>b2

C．a>b⇒a3>b3

D．a2>b2⇒a>b

4.不等式(x＋1)(x＋2)<0的解集是( A ) A.{x|－2

B.{x|x<－2或x>－1}

C.{x|1

D.{x|x<1或x>2}

x≥0，

5.若x，y满足约束条件x＋2y≥3，则z＝x－y的最小值为( C ) 2x＋y≤3，A．3

B．－1

C．－3

D．－4 x2－2x＋4

6.设x>0，则函数y＝的最小值为__2__．

x11

7.不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－，)，则a－b的值等于__－10__．

23

8.(2015·湖南省学考)如图，点(x，y)在阴影部分所表示的平面区域上，则z＝y－x的最大值为__2__．

xy

9.(2017·山东卷)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1，2)，则2a＋b的最小值为__8__．

abxy【解析】

因为直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，

ab12所以＋＝1，

ab

124ab＋＝4＋＋≥4＋2 所以2a＋b＝(2a＋b)abbab4a当且仅当＝，即a＝2，b＝4时，等号成立．

ab4ab·＝8，

ba故2a＋b的最小值为8.

10.某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过a m，房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．

(1)把房屋总造价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域．

(2)若a≥4，当x为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？

【解析】

(1)由题意可得，y＝3(2x×150＋a)．

16(2)y＝900(x＋)＋5800≥900×2xx·16＋5800＝13000，

x1216×400)＋5800＝900(x＋)＋5800(0＜x≤xx16当且仅当x＝即x＝4时取等号．

x若a≥4，当x＝4时，有最小值13000.

16答：房屋总造价y表示成x的函数为900(x＋)＋5800，该函数的定义域为(0＜x≤a)．

x若a≥4，当房子侧面的长度为4 m时总造价最低为13000元．

11.(2017春·蓟县期中)(1)解不等式－x2＋4x＋5＜0；

2x－1(2)解不等式＞1. 3x＋1【解析】

(1)－x2＋4x＋5＜0，即为x2－4x－5＞0，

即(x＋1)(x－5)＞0，解得x＜－1或x＞5，

故原不等式的解集为(－∞，－1)∪(5，＋∞)，

(2)由2x－12x－1－x－2＞1，即为－1＞0，即为＞0，

3x＋13x＋13x＋11即(x＋2)(3x＋1)＜0，解得－2＜x＜－.

31故原不等式的解集为(－2，－)．

3

12.(2017春·南昌期末)已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16. (1)求不等式g(x)＜0的解集；

(2)若对一切x＞2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围．

【解析】

(1)由g(x)＝2x2－4x－16＜0，得x2－2x－8＜0，

即(x＋2)(x－4)＜0，解得－2＜x＜4.

所以不等式g(x)＜0的解集为{x|－2＜x＜4}．

(2)因为f(x)＝x2－2x－8，当x＞2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，

则x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15成立，即x2－4x＋7≥m(x－1)．

x2－4x＋7所以对一切x＞2，均有不等式≥m成立．

x－1

x2－4x＋74而＝(x－1)＋－2≥2x－1x－14（x－1）×－2＝2(当x＝3时等号成立)．

x－1所以实数m的取值范围是(－∞，2]．