3.2.2 复数代数形式的乘除运算优质课一等奖

3.2.2 复数代数形式的乘除运算

三维目标

1．知识与技能

理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，了解共轭复数的概念．

2．过程与方法

理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化问题，通过运算过程体会这一变形本质意图．

3．情感、态度与价值观

利用多项式除法和复数除法类比，知道事物之间是普遍联系的．通过复数除法运算，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力．

重点难点

重点：复数代数形式的乘除法运算．

难点：复数除法法则的运用．

教学建议

建议本节教学采用自学指导法，在学生自主学习的基础上可利用一下教学方法及手段完成本节教学：(1)类比分析法，通过对比多项式的乘法法则推出复数乘法法则．(2)归纳推理法，运用已有的多项式乘法法则和分母有理化及复数加减法的知识，通过归纳类比，推导复数除法法则．(3)合理、恰当地运用多媒体教学手段，将静态事物动态化，将抽象事物直观化，以突破教学难点．

教学流程

创设问题情境，引出问题，引导学生思考两个复数如何进行代数形式的乘法与除法运算．让学生自主完成填一填，使学生进一步熟悉复数代数形式的乘法、除法运算的法则，及其满足的运算律．引导学生分析例题1的运算方法并求解，教师只需指导完善，解答疑惑并要求学生独立完成变式训练．由学生分组探究例题2解法，引导学生去发现in运算的周期性，及其应用方法．完成互动探究．

完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3变式训练，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．通过易错

辨析纠正运算中出现的错误．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律．

1.掌握复数代数形式的乘、除运算．(重点) 课标解读

2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．

(难点) 3．理解共轭复数的概念．(易错点)

复数的乘法

【问题导思】

1．如何规定两个复数相乘？

【提示】

两个复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．

2．复数乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律吗？

【提示】

满足．

(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. (2)对于任意z1，z2，z3∈C，有

交换律

结合律

乘法对加法的分配律

复数的除法与共轭复数

【问题导思】

如何规定两个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)相除？

z1a＋bia＋bic－diac＋bd＋bc－adi【提示】

z＝＝＝. c＋dic＋dic－dic2＋d22

(1)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d为实数，c＋di≠0)，z1，z2进行除法

z1·z2＝z2·z1

(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3

a＋bi运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式再把分子与分母都乘以c－dic＋diac＋bdbc－ad化简后可得结果：2＋i. c＋d2c2＋d2(2)共轭复数

如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用z表示．即z＝a＋bi，则z＝a－bi.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.

复数代数形式的乘除法运算

例1

(1)(2013·课标全国卷Ⅱ)设复数z满足(1－i)·z＝2i，则z＝(

) A．－1＋i

B．－1－i

C．1＋i

D．1－i (2)(2013·大纲全国卷)(1＋3i)3＝(

) A．－8

(3)计算(1＋i62＋3i)＋＝________. 1－i3－2iB．8

C．－8i D．8i 【思路探究】

(1)先设出复数z＝a＋bi，然后运用复数相等的充要条件求出a，b的值．

(2)直接利用复数的乘法运算法则计算．

(3)先计算1＋i2＋3i再乘方，且将的分母实数化后再合并．

1－i3－2i【自主解答】

(1)设z＝a＋bi，则(1－i)(a＋bi)＝2i，即(a＋b)＋(b－a)i＝2i. a＋b＝0，a＝－1，根据复数相等的充要条件得解得

b－a＝2，b＝1，∴z＝－1＋i.故选A. (2)原式＝(1＋3i)(1＋3i)2＝(1＋3i)(－2＋23i)＝－2＋6i2＝－8. 21＋i62＋3i3＋2i＋(3)法一

原式＝

52

6＋2i＋3i－6＝i＋＝－1＋i. 5621＋i62＋3ii＋法二

原式＝

23－2ii2＋3ii＝i＋

2＋3i6＝－1＋i. 【答案】

(1)A

(2)A

(3)－1＋i

规律与方法

1．复数的乘法类比多项式相乘进行运算，复数除法要先写成分式形式后，再将分母实数化，注意最后结果要写成a＋bi(a，b∈R)的形式．

2．记住以下结论可以提高运算速度

(1)(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；

(2)1－i1＋i＝－i，＝i；

1＋i1－i1(3)i＝－i. 变式训练

计算：

(1)(1－i)2；

1331(2)(－2＋2i)(2＋2i)(1＋i)；

(3)2i. 2＋i【解】

(1)(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i. 1331(2)(－2＋2i)(2＋2i)(1＋i) 3133＝(－4－4i＋4i＋4i2)(1＋i) 313＝(－4＋2i－4)(1＋i)

31＝(－2＋2i)(1＋i) 3311＝－2－2i＋2i－2

1＋31－3＝－2＋2i. (3)2i2－i2＋4i242i＝＝5＝5＋5i. 2＋i2＋i2－i共轭复数的应用

例2

设z1，z2∈C，A＝z1·z2＋z2·z1，B＝z1·z1＋z2·z2，问A与B是否可以比较大小？为什么？

【思路探究】

设出z1，z2的代数形式→化简A，B→判断A，B是否同为实数→结论

【自主解答】

设z1＝a＋bi，

z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，

则z1＝a－bi，z2＝c－di，

∴A＝z1·z2＋z2·z1

＝(a＋bi)(c－di)＋(c＋di)(a－bi) ＝ac－adi＋bci－bdi2＋ac－bci＋adi－bdi2

＝2ac＋2bd∈R，

B＝z1·z1＋z2·z2

＝|z1|2＋|z2|2

＝a2＋b2＋c2＋d2∈R，

∴A与B可以比较大小．

规律与方法

1．z·z＝|z|2＝|z|2是共轭复数的常用性质．

2．实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔z＝z，利用此性质可以证明一个复数是实数．

3．若z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．

变式训练

已知z∈C，z为z的共轭复数，若z·z－3iz＝1＋3i，求z. 【解】

设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi(a，b∈R)，

由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，

即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，

22a＋b－3b＝1则有，

－3a＝3

a＝－1a＝－1解得或，

b＝0b＝3所以z＝－1或z＝－1＋3i. 记错i2值而致误

1＋2i典例

设复数z满足＝i，则z＝(

) zA．－2＋i

B．－2－i C．2－i

1＋2i【错解】

设复数z＝a＋bi(a，b∈R)满足z＝i，

所以1＋2i＝ai＋b. a＝2，解得

b＝1，所以z＝2＋i，故选D项．

【答案】

D 【错因分析】

将i2＝－1当成i2＝1来运算漏掉负号．

【防范措施】

在进行乘除法运算时，灵活运用i的性质，并注意一些重要结论的灵活应用．

1＋2i【正解】

设复数z＝a＋bi(a，b∈R)满足z＝i，

D．2＋i

所以1＋2i＝ai－b. a＝2，解得

b＝－1，所以z＝2－i，故选C项．

【答案】

C

1．复数代数形式的乘除运算

(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．

(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．

2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．

3．复数问题实数化思想．

复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.