阅读与思考 错在哪儿获奖说课稿

课时2

不等式的证明

1.不等式证明的方法

(1)比较法：

①作差比较法：

知道a>b⇔a－b>0，ab只要证明a－b>0即可，这种方法称为作差比较法. ②作商比较法：

aa由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证明>1即可，这种方bb法称为作商比较法. (2)综合法：

从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法.即“由因导果”的方法. (3)分析法：

从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法.即“执果索因”的方法. (4)反证法和放缩法：

①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法. ②在证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法. (5)数学归纳法：

一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：

①证明当n＝n0时命题成立；

②假设当n＝k (k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立. 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称

为数学归纳法. 2.几个常用基本不等式

(1)柯西不等式：

①柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(当且仅当ad＝bc时，等号成立). ②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立. ③柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则x1－x22＋y1－y22＋x2－x32＋y2－y32≥x1－x32＋y1－y32. 2④柯西不等式的一般形式：设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋a2＋…2222＋a2n)(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)，当且仅当bi＝0 (i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi (i＝1,2，…，n)时，等号成立. (2)算术—几何平均不等式

a1＋a2＋…＋ann若a1，a2，…，an为正数，则≥a1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等n号成立.

1.设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，求m2＋n2的最小值. 解

根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，m2＋n2的最小值为5. 2.若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最大值. 解

(a＋b＋c)2＝(1×a＋1×b＋1×c)2

≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3. 1当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立. 3∴(a＋b＋c)2≤3. 故a＋b＋c的最大值为3. 11λ3.设x>0，y>0，若不等式＋＋≥0恒成立，求实数λ的最小值. xyx＋y解

∵x>0，y>0，

11yx∴原不等式可化为－λ≤(＋)(x＋y)＝2＋＋. xyxyyx∵2＋＋≥2＋2xyyx·＝4，当且仅当x＝y时等号成立. xy

11＋x＋ymin＝4，即－λ≤4，λ≥－4. ∴xy

题型一

用综合法与分析法证明不等式

例1

(1)已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋1≥2y＋3；

x－2xy＋y22(2)设a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥3. 证明

(1)因为x>0，y>0，x－y>0，

112x＋2

2－2y＝2(x－y)＋x－2xy＋yx－y21＝(x－y)＋(x－y)＋

x－y2≥33x－y21＝3，

x－y21所以2x＋2≥2y＋3. x－2xy＋y2(2)因为a，b，c>0，所以要证a＋b＋c≥3，

只需证明(a＋b＋c)2≥3. 即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，

而ab＋bc＋ca＝1，

故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca). 即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. a2＋b2b2＋c2c2＋a2222而ab＋bc＋ca≤＋＋＝a＋b＋c(当且仅当a＝b＝c时等号成立)成立. 222所以原不等式成立. 思维升华

用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.

设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：

1a2b2c2(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1. 3bca证明

(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得

a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.

由题设得(a＋b＋c)2＝1，

即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1. 1所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤. 3a2b2c2(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，

bcaa2b2c2故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，

bcaa2b2c2即＋＋≥a＋b＋c. bcaa2b2c2所以＋＋≥1. bca题型二

放缩法证明不等式

例2

若a，b∈R，求证：|a＋b||a||b|≤＋. 1＋|a＋b|1＋|a|1＋|b|证明

当|a＋b|＝0时，不等式显然成立. 当|a＋b|≠0时，

由0<|a＋b|≤|a|＋|b|⇒11≥，

|a＋b||a|＋|b||a＋b||a|＋|b|11所以＝≤＝

111＋|a＋b|1＋|a|＋|b|＋11＋|a＋b||a|＋|b|＝|a||b||a||b|＋≤＋. 1＋|a|＋|b|1＋|a|＋|b|1＋|a|1＋|b|思维升华

(1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧.常见的放缩变换有：

11111212①变换分式的分子和分母，如2<，2>，<，>.上面kkk－1kkk＋1kk＋k－1kk＋k＋1不等式中k∈N*，k>1；

②利用函数的单调性；

aa＋m③真分数性质“若00，则<”.

bb＋m(2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度. 1111

设n是正整数，求证：≤＋＋…＋<1. 2n＋1n＋22n证明

由2n≥n＋k>n(k＝1,2，…，n)，得

111≤<. 2nn＋kn111当k＝1时，≤<；

2nn＋1n

111当k＝2时，≤<；

2nn＋2n…

111当k＝n时，≤<，

2nn＋nn1n111n∴＝≤＋＋…＋<＝1. 22nn＋1n＋22nn∴原不等式成立. 题型三

柯西不等式的应用

例3

已知x，y，z均为实数. (1)若x＋y＋z＝1，求证：3x＋1＋3y＋2＋3z＋3≤33；

(2)若x＋2y＋3z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值. (1)证明

因为(3x＋1＋3y＋2＋3z＋3)2≤(12＋12＋12)(3x＋1＋3y＋2＋3z＋3)＝27. 所以3x＋1＋3y＋2＋3z＋3≤33. 21当且仅当x＝，y＝，z＝0时取等号. 33(2)解

因为6＝x＋2y＋3z≤x2＋y2＋z2·1＋4＋9，

18yz36918所以x2＋y2＋z2≥，当且仅当x＝＝即x＝，y＝，z＝时，x2＋y2＋z2有最小值. 7237777思维升华

(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明.(2)利用柯西不等1122122式求最值的一般结构为：(a1＋a22＋…＋an)(2＋2＋…＋2)≥(1＋1＋…＋1)＝n.在使用柯西a1a2an不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件. x2y2

已知大于1的正数x，y，z满足x＋y＋z＝33.求证：＋＋x＋2y＋3zy＋2z＋3xz23≥. z＋2x＋3y2证明

由柯西不等式及题意得，

x2y2z2(＋＋) x＋2y＋3zy＋2z＋3xz＋2x＋3y·[(x＋2y＋3z)＋(y＋2z＋3x)＋(z＋2x＋3y)]≥(x＋y＋z)2＝27. 又(x＋2y＋3z)＋(y＋2z＋3x)＋(z＋2x＋3y)＝6(x＋y＋z)＝183，

x2y2z2273∴＋＋≥＝，

x＋2y＋3zy＋2z＋3xz＋2x＋3y1832当且仅当x＝y＝z＝3时，等号成立.

证明不等式的方法和技巧：

(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等. (2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明.尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解.多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据. (3)在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要求分析每次使用时等号是否成立. (4)柯西不等式使用的关键是出现其结构形式，也要注意等号成立的条件.

A组

专项基础训练

(时间：50分钟) 1.已知x＋y＝1，求2x2＋3y2的最小值. 

解

由柯西不等式(2x2＋3y2)·1212＋

2311≥2x·＋3y·2＝(x＋y)2＝1，

236326∴2x2＋3y2≥，当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝时，等号成立.所以2x2＋3y2的最小值为. 55552.设a＋b＝2，b>0，当1|a|＋取得最小值时，求a的值. 2|a|b1|a|a＋b|a|ab|a|b|a|＋＝＋＝＋＋，由于b>0，|a|>0，所以＋2|a|b4|a|b4|a|4|a|b4|a|b解

由于a＋b＝2，所以≥2b|a|1|a|151|a|·＝1，因此当a>0时，＋的最小值是＋1＝；当a<0时，＋的最小值4|a|b2|a|b442|a|bb|a|4|a|＝b，131|a|3是－＋1＝.故＋的最小值为，此时442|a|b4a<0，即a＝－2.

2223.设a、b、c是正实数，且a＋b＋c＝9，求＋＋的最小值. abc

222解

∵(a＋b＋c)a＋b＋c

＝[(a)2＋(b)2＋(c)2]·

22＋a22＋b22

c≥a·2222＝18. ＋b·＋c·abc222222∴＋＋≥2.∴＋＋的最小值为2. abcabc4.设x，y，z∈R，且满足：x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝14，求x＋y＋z. 解

由柯西不等式可得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2，即(x＋2y＋3z)2≤14，因此xyz1414314＋2y＋3z≤14.因为x＋2y＋3z＝14，所以x＝＝，解得x＝，y＝，z＝，于2314714314是x＋y＋z＝. 7a2b2c25.已知△ABC的三边长分别为a，b，c.求证：＋＋≥a＋b＋c. b＋c－ac＋a－ba＋b－cabc证明

因为b＋c－a＋c＋a－b＋a＋b－c[(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋(a＋b－c)]≥(a＋b＋c)2，

又a＋b＋c>0，

b＋c－ac＋a－ba＋b－ca2b2c2所以＋＋≥a＋b＋c(当且仅当＝＝时取等abcb＋c－ac＋a－ba＋b－c号). 6.已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，求(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值. 解

由柯西不等式得

(4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2，

∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥(2a＋2b＋c－1)2. ∵2a＋2b＋c＝8，

49∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2≥，

9a－1b＋2当且仅当＝＝c－3时等号成立，

2249∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是. 9B组

专项能力提升

(时间：40分钟) 117.(2015·湖南)设a＞0，b＞0，且a＋b＝＋. ab证明：(1)a＋b≥2；

222

(2)a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立. 11a＋b证明

由a＋b＝＋＝，a＞0，b＞0，得ab＝1. abab(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2ab＝2，即a＋b≥2. (2)假设a2＋a＜2与b2＋b＜2同时成立，

则由a2＋a＜2及a＞0得0＜a＜1；

同理，0＜b＜1，从而ab＜1，这与ab＝1矛盾. 故a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立. nn＋18.(2015·南阳质检)已知：an＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋nn＋1(n∈N*)，求证：2nn＋2

∵nn＋1＝n2＋n，n∈N*，

∴nn＋1>n，

nn＋1∴an＝1×2＋2×3＋…＋nn＋1>1＋2＋3＋…＋n＝. 2n＋n＋1∵nn＋1<，

21＋22＋33＋4n＋n＋1∴an<＋＋＋…＋

2222n＋1nn＋21＝＋(2＋3＋…＋n)＋＝. 222nn＋1nn＋2综上得

x2y2z2(2)设x，y，z∈R，且＋＋＝1，求x＋y＋z的取值范围. 1654解

(1)∵|x－3|＋|x－4|≥|(x－3)－(x－4)|＝1，

且|x－3|＋|x－4|

∴a>1，即a的取值范围是(1，＋∞). (2)由柯西不等式，得

xyz[42＋(5)2＋22]·[()2＋()2＋()2] 425xyz≥(4×＋5×＋2×)2

425＝(x＋y＋z)2，

即25×1≥(x＋y＋z)2. ∴5≥|x＋y＋z|，∴－5≤x＋y＋z≤5.

∴x＋y＋z的取值范围是[－5,5].

10.已知a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞). x1x22(1)求＋＋的最小值；

abx1x2(2)求证：(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2. (1)解

因为a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，

x1，x2∈(0，＋∞)，

3x1x22x1x22所以＋＋≥3···

abx1x2abx1x2323＝3·≥3·ab23＝3×8＝6，

a＋b22x1x221当且仅当＝＝且a＝b，即a＝b＝

abx1x22x1x22且x1＝x2＝1时，＋＋有最小值6. abx1x2(2)证明

方法一

由a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，

x1，x2∈(0，＋∞)，及柯西不等式可得：

(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)＝[(ax1)2＋(bx2)2]·[(ax2)2＋bx1)2]≥(ax1·ax2＋bx2·bx1)2＝(ax1x2＋bx1x2)2＝x1x2，当且仅当所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2. 方法二

因为a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)，

所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1) 22＝a2x1x2＋abx22＋abx1＋bx1x2

2＝x1x2(a2＋b2)＋ab(x22＋x1) ax1bx2＝，即x1＝x2时取得等号. ax2bx1≥x1x2(a2＋b2)＋ab(2x1x2) ＝x1x2(a2＋b2＋2ab) ＝x1x2(a＋b)2

＝x1x2，

当且仅当x1＝x2时，取得等号. 所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.