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数列复习小结

教学目的：

1．系统掌握数列的有关概念和公式。

2．了解数列的通项公式an与前n项和公式Sn的关系。

3．能通过前n项和公式Sn求出数列的通项公式an。

授课类型：复习课

课时安排：2课时

教学过程：

一、本章知识结构

二、知识纲要

(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．

(2)等差、等比数列的定义．

(3)等差、等比数列的通项公式．

(4)等差中项、等比中项．

(5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法．

三、方法总结

1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．

2．等差、等比数列中，a1、an、n、d(q)、Sn

“知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．

3．求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．

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4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．

四、知识精要：

1、数列

[数列的通项公式] an

2、等差数列

[等差数列的概念] [定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

[等差数列的判定方法]

1．

定义法：对于数列an，若an1and(常数)，则数列an是等差数列。 2．等差中项：对于数列an，若2an1anan2，则数列an是等差数列。

[等差数列的通项公式]

如果等差数列an的首项是a1，公差是d，则等差数列的通项为ana1(n1)d。

[说明]该公式整理后是关于n的一次函数。

[等差数列的前n项和] 1．Snn(a1an)n(n1) 2. Snna1d

22a1S1(n1) [数列的前n项和]

Sna1a2a3an

SS(n2)nn1[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。

[等差中项] 如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即：Aab或2Aab

2[说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。

[等差数列的性质]

1．等差数列任意两项间的关系：如果an是等差数列的第n项，am是等差数列的第m项，且mn，公差为d，则有anam(nm)d

2．

对于等差数列an，若nmpq，则anamapaq。

a1ana,a2,a3,,an2,an1,an

，如图所示：1a2an1也就是：a1ana2an1a3an2

2

3．若数列an是等差数列，Sn是其前n项的和，kN，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等差数列。*如下图所示：

S3ka1a2a3akak1a2ka2k1a3k

SkS2kSkS3kS2k

3、等比数列

[等比数列的概念] [定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q0）。

[等比中项] 如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

也就是，如果是的等比中项，那么[等比数列的判定方法] 1．

定义法：对于数列an，若an1q(q0)，则数列anGb2，即Gab。

aGan是等比数列。 22．等比中项：对于数列an，若anan2anan是等比数列。

1，则数列[等比数列的通项公式] 如果等比数列an的首项是a1，公比是q，则等比数列的通项为ana1qn1。

[等比数列的前n项和] aanqa1(1qn)(q1) ○(q1) ○1Sn2Sn13当q○1q1q1时，Snna1

[等比数列的性质] 1．等比数列任意两项间的关系：如果an是等比数列的第n项，am是等差数列的第m项，且mn，公比为q，则有anamqnm

3．

对于等比数列an，若nmuv，则anamauav

a1ana,a2,a3,,an2,an1,an

a2an1a3an2。如图所示：1a2an1也就是：a1an4．若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列。如下图所示：

3

S3ka1a2a3akak1a2ka2k1a3k

SkS2kSkS3kS2k

4、数列前n项和

（1）重要公式：

123nn(n1)2；

122232n2n(n1)(2n1)6；

1323n3[12n(n1)]2

（2）等差数列中，SmnSmSnmnd

（3）等比数列中，SnmnSnqSmmSmqSn

（4）裂项求和：111n(n1)nn1；（nn!(n1)!n!）

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