阅读与思考 海伦和秦九韶优秀说课稿

§1.1.2余弦定理

余清平

目标

1..掌握余弦定理及推论证明，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题

3.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

重点

余弦定理及其推论的发现和证明过程并应用它们解三角形；

难点

余弦定理的发现和证明,余弦定理应用。

●教学过程

Ⅰ.复习。正弦定理

Ⅰ.课题导入

东城中学为修建艺术楼，要测算BC的长度，工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到B、C的距离，再利用经纬仪测出A对BC（即线段BC）的张角，最后通过计算求出BC长度。 (图1) Ⅱ.讲授新课

[探索研究]

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？

用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A 如图1．1-5，设CBa，CAb，ABc，那么cab，则 b c

cccabab aabb2ab C a B 22 ab2ab从而 c2a2b22abcosC (图2)

2同理可证 a2b2c22bccosA

b2a2c22accosB

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 a2b2c22bccosA

b2a2c22accosB

c2a2b22abcosC

思考：1.余弦定理还有其他证明方法吗？

2.问题：东城中学为修艺术楼，要CB的长度，工程

技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到

B、C的距离，再利用经纬仪测出A对BC（即

线段BC的张角），最后通过计算求出BC的长度。

302已测的：ＡＢ＝１百米，AＣ＝

百米 角Ａ＝６０

求ＢＣ的长度．

2.这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？

（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

b2c2a2

cosA2bca2c2b2

cosB2acb2a2c2

cosC2ba[理解定理]

从而知余弦定理及其推论的基本作用为：

1.已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；

2. 已知三角形的三条边就可以求出其它角。

[例题分析]

例1.

0ABC2343（1）在中，已知b=，c=，A=120，求a. （2）在ABC中，已知a=，b=22，c=62，求A、B、C的值。

例2. 中，

所对边分别为 满足

且

求

Ⅲ.课堂练习

练习

1，在△ABC中,符合余弦定理的是(

)

(A)

c2=a2+b2-2abcos C

(B)

c2=a2-b2-2bccos A

(C)

b2=a2-c2-2bccos A

222(D)

cos C=

abc

2ab

在-

2.在△ABC中,已知a=4,b=6,C=120°,则边c的值是( )

(A)8 (B)217

(C)62 (D)219

3.在△ABC中,若a=10,b=24,c=26,则最大角的余弦值是 ( )

(A)12 (B)1335

13

(C)0 (D)2

4.

在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,b=2,cos(A+B)= 1,则c等3于(

)

(A)4 (B)15

(C)3 (D)17

Ⅳ.课时小结

1.余弦定理及推论证明

2余弦定理的应用：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。

Ⅴ.课后作业

1课后阅读：课本第8页[探究与发现] 2课时作业： 1.3.5.6.7