2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率教案和学案内容

直线与方程教学设计

（一）、教材分析

本章我们在直角坐标系中，建立直线的方程，并通过方程研究直线的有关性质，如平行、垂直、两条直线的交点、点到直线的距离等。通过本章学习，为后面学习直线与圆的位置关系，直线与圆锥曲线的位置关系打下了基础。

（二）教学目标

知识与技能目标：

1．掌握倾斜角，斜率，截距的概念；

2.了解直线的方程的3种表达式；

3. 掌握当两直线平行或垂直时，斜率的关系。

2．过程与方法目标：

通过问题的形式，使学生逐步回忆其所学的知识，并通过小组合作，学生讨论培养学生全面、系统、周密地分析、讨论问题的能力。

3．情感态度与价值观目标：

通过解决问题，使学生体验到成功的喜悦，激发学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心；

（三）教学重点、难点

重点：掌握两直线平行或垂直时，斜率的关系；掌握点到直线的距离公式；

难点：根据已知条件求直线的方程。

（四）学生情况分析

本节课虽然是复习课，但由于我们面对的学生基础比较差，因此本节课的的教学过程应遵循由易到难，逐渐深入的原则，通过学生合作，讨论，教师作适当的引导去探索获得知识。

（五）教学过程

一、小组合作，解决问题

问题1、什么是直线的倾斜角、斜率、截距？倾斜角与斜率有什么关系？

【教学活动】学生口答，教师展示答案。

1.直线向上的方向与x轴正方向之间所成的角，叫做这条直线的倾斜角. 倾斜角的取值范围是［0，π) 2.若直线的倾斜角为α(α≠90°)，则k＝tanα，叫做这条直线的斜率.经过两点

yy1P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率

k2x2x1

3、直线的横截距是直线与x轴交点的横坐标，直线的纵截距是直线与

y 轴交点的纵坐标。

【设计意图】通过学生回忆倾斜角，斜率，截距等概念，加深学生对直线的方程的理解，为下面求直线的方程做铺垫。

问题2、过点(x0,y0)的直线l垂直x轴，倾斜角等于___________ ，斜率呢？

直线l的方程？

【教学活动】通过学生的合作、讨论，教师提示，得到在直角坐标系中画出经过点(x0,y0)的直线l，并通过观察图像可得到正确答案。

倾斜角等于90°，斜率不存在，直线l的方程为

x

0

。



x

【设计题图】通过具体的例子，加深学生对倾斜角与斜率的关系的理解，并让学生深刻体会到当直线垂直x轴时，斜率不存在，为后面求解含参数的直线方程打下基础。

问题3、设两条直线

l1，l2

的斜率分别为k1,k2, 当l1//l2

时，k1,k2满足什么关系？当l1l2时，k1,k2满足什么关系？

【教学活动】学生思考后，请一名学生回答，并展示答案。

当l1//l2

时，k1k2；当l1l2时，k1.k21。

【设计题图】为后面根据两直线的位置关系求直线的方程做铺垫。

问题4；点到直线的距离公式是什么?

【教学活动】点到直线的距离公式为：d

问题5：直线方程的三种形式

名称

已知条件

点斜式

斜截式

Ax0By0CAB22

标准方程

k点P1(x1,y1)和斜率

斜率k和y轴上的截距

两个独立的条件

适用范围

不垂直x轴的直线

不垂直x轴的直线

一般式

A、B不同时为零

【教学活动】通过学生思考完成上述表格后，引导学生去探究如何根据各种形式的结构，获得求直线方程的方法。

【设计题图】虽然新课改要求学生了解并掌握直线方程的五种形式，但考虑到我们所面对的学生的基础比较差，以及直线方程的各种表达式能相互转换的情况，在这里我们只要求学生掌握点斜式，斜截式和一般式。

二、、课堂检测，反馈调控

（一）基础练习

1.直线的倾斜角是60°,则它的斜率是_____________

2,已知两点A(2,3),B(15),则过A,B两点的直线的斜率是______________

3.已知直线l :3xy20,若直线l1与直线l平行，则直线l1的斜率k1等于_______________，若直线l2与直线l垂直。则直线l2的斜率k2等于________________，

4..点(-1,2)到直线2xy100的距离是__________________________ 【教学活动】

1、根据倾斜角与斜率的关系，学生可以得到斜率为3。



y2、由于已知两点A(2,3),B(15)，根据斜率

k



y

1



5



3





2

2

x2x112

3、通过学生分析题目得到：因为直线l1与直线l平行，所以直线l1的斜率与直线l的斜率相等，接着引导学生把直线l的方程转化为截距式得到直线l的斜率为3，所以直线l1的斜率k1为3；又因为直线l2与直线l垂直，所以根据k.k21得到k2

1。

34、根据点到直线的距离公式d距离是25。

Ax0By0CA2B2，得到点(-1,2)到直线2xy100的【设计题图】题目1到4都是比较基础的题目，通过学生解决这些简单易懂的题目，加深学生对该知识的理解，同时因为学生的基础比较差，很多学生对数学失去信心，通过学生独立去解决问题，并成功解决问题，增强了学生对数学的信心。

（二）能力提高

例1. 求下列直线的方程

（1）

过点（1，2）且垂直x轴的方程l1；过点（1，2）且平行x轴的方程l2；

（2）

已知直线l过点（1，2），且它的倾斜角是45°，求直线l的方程；

（3）

已知直线l过两点（0，2）和（3，0），求直线l的方程；

（4）

（水平测例2）求过点A（1，-4）且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程。

（5）（水平测例5）：求过点A(1,2)，且到原点的距离等于1的直线方程.。

【教学活动】

（1）

根据问题2，过点（1，2）且垂直x轴的方程是否存在斜率？

学生回答：不存在。

那直线l1的方程如何表示？

学生回答：x=1; 对于直线l2的方程，通过学生独立去探究，合作讨论得到直线l2的方程为：y=2. （2）要求直线的方程，需要知道哪些条件？

学生回答：斜率和y轴上的截距或斜率和直线上的一点，

那现在题目给出一点和倾斜角如何求直线方程？

由倾斜角为45°得到斜率k=1,再根据点斜式可求直线的方程。

请一个学生起来回答，老师点评。

（3）已知直线l过两点（0，2）和（3，0），如何直线l的方程？

在学生回答“求斜率k和l在y轴上的截距”后，让学生独立完成，并请一个同学起来讲述解题思路。

（4）请一个学生在黑板上书写过程，其余学生写在学案上，并请一个同学上黑板点评，老师最后总结。

（5）首先先让学生合作讨论，独立去解决，而学生在这里可能未能考虑到直线的斜率不存在的情况，而是直接设所求的直线方程为y+2=k(x+1),即kx-y+k-2=0. 因为原点到此直线的距离等于1,所以=1,解之得k=.故所求的直线方程为y+2=(x+1),即3x-4y-5=0.在这种情况下，老师要适时提醒学生考虑斜率不存在的情况。在老师的引导下学生最终获得正确的答案（在老师点评的过程中要再次强调在求直线的方程时一定要考虑直线的斜率不存在的情况）：

解:(1)当过点A的直线斜率不存在即垂直于x轴时,它到原点的距离为1,所以满足题设条件,其方程为x=-1. (2)当过点A的直线不与x轴垂直时, 设所求的直线方程为y+2=k(x+1),

即kx-y+k-2=0. 因为原点到此直线的距离等于1,所以=1,

解之得k=. 故所求的直线方程为y+2=(x+1),

即3x-4y-5=0. 即当过点A的直线斜率存在时,由前述解法可知方程为3x-4y-5=0. 故所求的直线方程为x=-1或3x-4y-5=0. 【设计意图】本题是根据各种已知条件求直线的方程，由浅入深；通过本例的教学，进一步加深学生对直线的方程的理解。

例2：

(1)

已知直线l1:2x(m1)y40与直线l2:y2x3平行，求m的值；

(2)

当a为何值时，直线l1:(a2)x(1a)y10与直线l2:(a1x)(a2互相垂直？y3)2

0

【教学活动】

（1）由直线l1与直线l2平行我们可以得到什么信息？

在学生回答“直线l1的斜率与直线l2的斜率相等”，让学生独立完成，之后请一个学生向同学们讲述解题思路，老师复述。

（2）

由直线l1与直线l2垂直我们可以得到什么结论？

在学生回答“直线l1的斜率与直线l2的斜率相乘等于-1”后，适时提醒学生斜率不存在时的情况，接着让学生尝试着去解答，最后老师板书解题步骤并讲评。

同时在这里跟学生介绍另一种方法，若直线l1:A1xB1yC10与直线l2:A2xB2yC20垂直，则A1A2.1,即A1.A2B1.B20，所以B1B2(a2)(a1)(1a)(2a3)0，解得a1

【设计意图】因为学生的基础比较差，很多时候他们未能考虑到斜率不存在的情况，通过向学生讲述方法二，根据A1.A2B1.B20来求解，学生既容易理解，又避免了因考虑不周全失分。

四、知识梳理，小结提高

yy1.求斜率一般有两种方法，法一，已知直线上两点，根据

k



2

1x2x1

求斜率；法二，已知倾斜角α或α的三角函数值，根据k=tanα求斜率。

法三：根据平行，垂直等位置关系求斜率，平行：k1k2，垂直：k1.k21。

3.求点到直线的距离问题时，直线方程要化成一般式；利用两平行线间的距离公式时，要注意x，y项的对应系数必须相同. 4.判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中一条或两条直线均无斜率的情况. 5.注意截距不是距离，是一个数值，它可取正数，负数或零.

五、课外作业，自我评价

1.完成水平测P39

1，3，9，11

P41

1，

2 ，3 ，4

2.

1,.直线x2ay10与(a1)xay10平行，则a的值为（

）

（A）33

（B）或0 22

（C）0

(D)-2或0

2.已知点A（2，2）和直线l:3x4y200，求：

（1）过点A和直线l平行的直线方程；

（2）过点A和直线l垂直的直线方程。