三 反证法与放缩法课程导入及其完整教案

反证法与放缩法

教案

一、反证法：

有些不等式无法利用用题设的已知条件直接证明，我们可以间接的方法――反证法去证明，

即通过否定原结论―――导出矛盾―――从而达到肯定原结论的目的。

例1、

若x, y > 0，且x + y >2，则1y1x和中至少有一个小于2。

xy反设1x1y≥2，≥2

∵x, y > 0，可得x + y ≤2

与x + y >2矛盾，∴原式成立

xy例2、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0

证：（1）设a < 0,

∵abc > 0,

∴bc < 0

又由a + b + c > 0,

则b + c = a > 0

∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0

与题设矛盾

（2）若a = 0，则与abc > 0矛盾，

∴必有a > 0

同理可证：b > 0,

c > 0 例3、设0 < a, b, c < 1，求证：(1

证：设(1

a)b >

a)b, (1

b)c, (1

c)a >

c)a,不可能同时大于1

41,

(1 4

b)c >1,

(1 4

b)c•(1 则三式相乘：

(1

a)b•(1 1, 41

c)a >

①

6421(1a)a又∵0 < a, b, c < 1

∴0(1a)a

24同理：(1b)b11,

(1c)c

44

a)a•(1 以上三式相乘：

(1 ∴(1 二、放缩法：

a)b, (1

b)c, (1 1

与①矛盾. 641

c)a,不可能同时大于

4

b)b•(1

c)c≤在证明不等式的时候，在直接证明遇到困难的时候,可以利用不等式的传递性，把要证明的不等式加强为一个易证的不等式，即欲证A>B，我们可以适当的找一个中间量C作为媒介，证明A>C且C>B,从而得到A>B.我们把这种把B放大到C(或把A缩小到C)的方法称为放缩法.放缩是一种重要的变形手段,但是放缩的对象以及放缩的尺度不易掌握,技巧性较

- 1 -

强,这关系到证明的成败,往往需要根据具体的题目经过多次的探索和试验才能成功,因此必须多练. 比较常用的方法时把分母或分子适当放大或缩小（减去或加上一个正数）使不等式简化易证。

例4、若a, b, c, dabcd2

abdbcacdbdacabcd证：记m =

abdbcacdbdacR+，求证：1∵a, b, c, d∴mR+

abcd1

abcdabcacdabdabcabcdm2

ababcddc

∴1 < m < 2

即原式成立

例5、当

n > 2 时，求证：logn(n1)logn(n1)1

证：∵n > 2

∴logn(n1)0,logn(n1)0

222logn(n21)lognn2logn(n1)logn(n1)logn(n1)logn(n1)1222，∴

n > 2时,

logn(n1)logn(n1)1

例6、求证：11112

122232n2

证：∵1111

2n(n1)n1nn111111111＋＋＋＋122232n2122334(n-1)n∴

111111 1（1）（）（）22223n1nn思考：若把不等式的右边改成761

或，你可以证明吗？

4

36b|ab||a|例7、

求证：

1|ab|1|a|1b证：∵|a+b|≤|a|+|b||a|+|b|-|a+b|≥0,

- 2 -

ab1abab1abab(abab)1ab(abab)a1abb1ab(课本P22“溶液”例结论）a

（把分母减小，使分式放大）.1bb1a即:abab.1ab1a1b作业补充题

1、设0 < a, b, c < 2，求证：(2 2

a)c, (2

b)a, (2

c)b,不可能同时大于1 2、设f(x)axbxc,其中a、b、cZ，并且a1.试证明:b24ac0

13、设f(x)x2pxq,求证：f(1) 、

f(2)

、

f(3)中至少有一个不小于

2

4、设x > 0, y > 0,axyxy, b，求证：a < b 1xy1x1y5、证明：111121(nR,n2)

nn1n2n1140

abbcca

6、

证明：lg9•lg11 < 1 7、

证明：若a > b > c,

则教后反思：

- 3 -