1.不等式的基本性质优秀教学实录

§1.1.1不等式的基本性质

一、教学目标

1.理解实数大小与实数运算性质间的关系．

2.理解不等式的性质，能用不等式的性质比较大小和证明简单的不等式．

二、教学重点

理解不等式的性质，能用不等式的性质比较大小和证明简单的不等式．

三、教学难点

理解不等式的性质，能用不等式的性质比较大小和证明简单的不等式．

四、教学过程

（一）导入新课

1.睁眼所看见的所有实物，数量等以及大脑所能够感受到的所有关系，情绪……都无处不在的充斥着不等关系，由此可见不等关系在自然界中的普遍存在性。在日常生产生活中不引起误会和麻烦的前提下，当不等关系非常微弱或者说非常不明显时，我们趋近于认为二者相同或相等，但这并不能掩盖它们之间存在的差异（不等关系）。

2.若1

∵－4

又1< x <3，2< 2x <6，∴－2< x－|y|<6.

答：

(－2,6) （二）讲授新课

知识整理1

两实数的大小比较（比较思想很关键！）

a>b⇔a－b

0；

a＝b⇔a－b＝0；

a

<0. 知识整理2

不等式的基本性质（基本性质需要准确记忆，熟练运用！）

性质①

性质②

性质③

对称性

传递性

可加性

推论

a>b⇔b

如果a>b，b>c，那么

如果a>b，那么a＋c>b＋c[来源:学_

如果a>b，c>d，那么

>b＋d

可乘性

性质④

推论

性质⑤

性质⑥

乘方性质

开方性质

如果a>b，c>0，那么

；

如果a>b，c<0，那么

；

如果a>b>0，c>d>0，那么

；

如果a>b>0，那么an

bn(n∈N，n≥2)

nn如果a>b>0，那么a

b(n∈N，n≥2)

（三）重难点精讲

题型一、比较大小

例1设A＝x3＋3，B＝3x2＋x，且x>3，试比较A与B的大小．

析：

转化为考察“两者之差与0”的大小关系．

答：

A－B＝x3＋3－3x2－x

＝x2(x－3)－(x－3)＝(x－3)(x＋1)(x－1)．

∵x>3，∴(x－3)(x＋1)(x－1)>0，

∴x3＋3>3x2＋x. 故A>B. 规律总结：

1．本题的思维过程：直接判断(无法做到)考查差的符号(难以确定)考查积的符号考查积中各因式的符号．其中变形是关键，定号是目的．

2．在变形中，一般是变形变得越彻底越有利于下一步的判断．变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等．

及时巩固：

1．若例1中改为“A＝y2＋1y，B＝x，其中x＞y＞0”，试比较A与B的大小．

x2＋122222222y＋1xy＋1－yx＋1x－yx－yx＋yy【解】

因为A2－B2＝2－x2＝＝＝，

x＋1x2x2＋1x2x2＋1x2x2＋1且x＞y＞0，所以x－y＞0，x＋y＞0，x2＞0，x2＋1＞1，

x－yx＋y所以22＞0.所以A2＞B2，又A＞0，B＞0，故有A＞B. xx＋1

题型二、利用不等式的性质求范围

α＋βα－βππ例2已知－2

≤

α

＜

β

≤

2，求2，2的范围．

α＋βα－βππαβ析：

由－2

≤

α＜β

≤

2可确定2，2的范围，进而确定2，2的范围．

πππαππβππα＋βπ答：

∵－2

≤

α

＜

β

≤

2，∴－4

≤

2

＜

4，－4＜

2

≤

4，∴－2＜2＜2. α－βα－βπβππβπππ又－4＜

2

≤

4，∴－4

≤

－2

＜

4，∴－2

≤

2

＜

2.又∵α＜β，∴2＜0，

α－βα＋βππα－βππ∴－2

≤

2

＜

0，即2∈－2，2，2∈－2，0. 规律总结：

α－βαβ1．本例中由2，2的范围求其差2的范围，一定不能直接作差，而应转化为同向不等式后作和求解．

2．求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础．

及时巩固：

a2．已知－6

∵－6

111则a－b的取值范围是(－9,6)．又3

< b

< 2，

a(1)当0≤a<8时，0 ≤

b

< 4；

a(2)当－6

题型三、利用性质证明简单不等式

ab例3已知c>a>b>0，求证：>. c－ac－b

析：

构造分母关系→构造分子关系→证明不等式

答：

∵a>b，∴－a<－b. 又c>a>b>0，

11ab∴0>0.又∵a>b>0，∴>. c－ac－bc－ac－b规律总结：

1．在证明本例时，连续用到不等式的三个性质，一是不等式的乘法性质：a>b，则－a<－b；二是不等式的加法性质：c>a>b>0，又－a<－b，则0

2．进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，并仔细分析要证明不等式的结构，灵活运用性质，对不等式进行变换．

及时巩固：

acbd3．已知a＞b＞0，c＞d＞0，求证：＞. a＋cb＋d【证明】

∵a＞b＞0，c＞d＞0，

1111∴b＞a＞0，

①

； d＞c＞0，

②

b＋da＋c111acbd①＋②得b＋d＞a＋＞0，即bd＞ac＞0，∴＞. a＋cb＋d题型四、不等式的基本性质

例4判断下列命题是否正确，并说明理由．

(1)若a>b，则ac2>bc2；

ab(2)若c2>c2，则a>b；

11(3)若a>b，ab≠0，则a

< b；

(4)若a>b，c>d，则ac>bd. 析：

主要是根据不等式的性质判定，其实质就是看是否满足性质所需要的条件．

答：

(1)错误．当c＝0时不等式不成立．

ab(2)正确．∵c≠0且c>0，在

c2>c2

两边同乘以c2，

∴

a > b. 22

11(3)错误．a>b⇒a

成立的条件是ab>0. (4)错误．a>b，c>d⇒ac>bd，当a，b，c，d为正数时成立．

规律总结：

1．在利用不等式的性质判断命题真假时，关键是依据题设条件，正确恰当地选取使用不等式的性质．有时往往举反例，否定命题的结论．但要注意取值一定要遵循两个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．

2．运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭空想象随意捏造性质．

及时巩固：

4．判断下列命题的真假．

11(1)若ab；

(2)若|a|>b，则a2>b2；

(3)若a>b>c，则a|c|>b|c|. 1【解】

(1)∵a0，∴ab>0，

1111∴a·

(2)∵|a|>b，取a＝1，b＝－3，但a2

(3)取a>b，c＝0，有a|c|＝b|c|＝0，∴(3)是假命题．

（四）归纳小结

本次课程我们学习的不等式基本性质有：

①比较法来比较两个对象的大小（作差--变形--定号--结论）

②不等式基本性质（需要准确记忆，并熟练地组合应用）。

③常见的范围（最值）问题，如何有针对性的求解。

④常见不等式以及不等关系的证明。

五、板书设计

1.1.1不等式的性质

教材整理1

两实数的大小比较

教材整理2

不等式的基本性质

例3：

例4：

六、作业布置

1、课后习题1.1的第1、2、3、4题

2、同步练习：1.1.1不等式的性质

七、教学反思

学情定位反思：

内容设计反思：

目标实现情况反思：

其它反思：

例1：

例2：

学生板演练习