2.3.2 圆的一般方程教学设计模板

4.1.2圆的一般方程

三维目标：

知识与技能

：(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2y2DxEyF0表示圆的条件．

(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程。

(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

过程与方法：通过对方程x2y2DxEyF0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。

教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数D、E、F 教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用

王新敞教

具：多媒体（PPT）

王新敞教学过程：

课题引入：

问题：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程。

利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。

探索研究：

2（a,b）请同学们写出圆的标准方程：，半径r．

（xa）(yb)2r2;，圆心把圆的标准方程展开，并整理：x2y22ax2bya2b2r20

取D2a,E2b,Fabr得xyDxEyF0

①

22222

这个方程是圆的方程．反过来给出一个形如x2y2DxEyF0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？

把x2y2DxEyF0配方得

D2E2D2E24F(x)(y)

②

(配方过程由学生去完成)这个方程是不224是表示圆？

(1)

当D＋E－4F＞0时，方程②表示（1）当DE4F0时，表示以（-为圆心,1D2E24F为半径的圆；

22222ED，-）2222(2)

（2）当DE4F0时，方程只有实数解xDE，y，即只表示一个22点（-ED，-）; 2222（3）当DE4F0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形

王新敞综上所述，方程x2y2DxEyF0表示的曲线不一定是圆 王新敞只有当DE4F0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如22x2y2DxEyF0的表示圆的方程称为圆的一般方程

王新敞我们来看圆的一般方程与标准方程间的关系或特点：(启发学生归纳) DED2E24F(1)

a,b,r

222(2)

圆的标准方程方程易于看出圆心坐标和半径的长度

(3)

一般方程突出形式上的特点; ①x2和y2的系数相同，不等于0; ②没有xy这样的二次项; 例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。

（1）x2y22x4y40 （2）2x22y212x4y0

（3）x22y26x4y10 （4）x2y212x6y500

（5）x2y23xy5x2y

学生自己分析探求解决途径：①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般方程的判断方法求解。. 答案：（1）是圆的方程，圆心（1，-2）半径3 （2）是圆的方程，圆心（0，-1）半径10

（3）不是圆的方程，

（4）不是圆的方程，

（5）不是圆的方程

例2：已知A（2，2），B（5，3），C（3，-1），求ABC的外接圆的方程

分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程 王新敞解：设所求的圆的方程为：x2y2DxEyF0

∵A(0,0),B(11，）,C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D,E,F的三元一次方程组，

2D2EF80即5D3EF340

3DEF100解此方程组，可得：D8,E2,F12

王新敞∴所求圆的方程为：x2y28x2y120

王新敞r1DFD2E24F5；4,3

222王新敞

课堂练习：

(1) 求过点C(1,1)和D(1,3)且圆心在直线yx上的圆的一般是方程；

（2）圆C的圆心在x轴上，并且过点A(1,1)和B(1,3),求圆C的方程：

（3）两圆的方程为x2y24x6y0和x2y26x0，求两圆的圆心连线方程；

课堂小结

：

1．本节课的主要内容是圆的一般方程，其表达式为xyDxEyF0

22（D2E24F0）

2.圆的一般方程与标准方程的联系或转化

3.用待定系数法求圆的方程

课后作业：

练习1. 2. 3 王新敞