1.2.2 空间中的平行关系优质课一等奖

第四讲

空间中的平行关系

【学习目标】

知识点一

平行定理和性质的定理认识

知识点二

直线与平面平行的判定

知识点三

线面平行的性质运用

知识点四

线面平行的性质运用

知识点五 平面与平面平行的判定与性质

知识点六

线面平行中的探索性问题

【知识区】

1．直线与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判平面外一条直线与这个平面内定的一条直线平行，则该直线与定理

此平面平行(线线平行⇒线面平行)

∵l∥a，a⊂α

l⊄α，∴l∥α

性一条直线与一个平面平行，则质过这条直线的任一平面与此平定面的交线与该直线平行(简记

∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b

理

为“线面平行⇒线线平行”)

2.平面与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言

一个平面内的两条相交直线与另一个判定定理

平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)

如果两个平行平面性质定理

同时和第三个平面相交，那么它们的交

∵α∥β，

α∩γ＝a β∩γ＝b，

∵a∥β，b∥β，

a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β

图形语言

符号语言

线平行

∴a∥b

【知识详解】

知识点一

平行定理和性质的定理认识

【例1】．(2015·嘉兴月考)对于空间的两条直线m，n和一个平面α，下列命题中的真命题是(

) A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m∥α，n⊂α，则m∥n

C．若m∥α，n⊥α，则m∥n

D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

【实践区】

1．(2015·潍坊模拟)已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面．若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是(

) A．m∥β且l1∥α

B．m∥β且n∥β

C．m∥β且n∥l2

D．m∥l1且n∥l2

2.已知平面α，β和直线a，b，a⊂α，b⊂β，且a∥b，则α与β的关系是(

) A.平行

B.相交

D.垂直

C.平行或相交

3.若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则(

) A.α内的所有直线与l异面

B.α内不存在与l平行的直线

C.α内存在唯一的直线与l平行

D.α内的直线与l都相交

4.α，β，γ为三个平面，a，b，c为三条直线，且α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，若a∥b，则c和a，b的位置关系是(

) A.c和a，b都异面

B.c与a，b都相交

C.c与a，b都平行

D.c至少与a，b中的一条相交

知识点二

直线与平面平行的判定

【例2】(1)►如图，

在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点．求证：PB∥平面ACM.

【思维导向】

关键是找平面内与已知直线平行的直线-------中位线

一移：用尺子将PB平移到平面平面ACM，可以初步找出与PB 平行的直线OM 二连/作：将OM、BD连起来，

三选：根据OM与PB长度相差较大或者O/M是两个中点，选择中位线的方法

(2) 如图，若

在四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF∥平面PCE.

【思维导向】关键是找平面内与已知直线平行的直线-------构造平行四边形

一移：用尺子将AF平移到平面PCE，可以初步找出AF与平行的直线

二连/作：取PC得中点，链接其他线

三选：根据两线长度接近大或者E是端点，另一个是中点，选择构造平行四边形的方法

(3)已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ(如图)．求证：PQ∥平面CBE. ，

【思维导图】利用相似比证明线线平行---线面平行

【方法总结】

线面平行→→线线平行→键词：两个中点，两线长度差一半1..三角形中位线（提示关

关键词：一个端点一个中点，长度一样）2.构造平行四边形（提示3.三角形中的相似比（提示关键词：线段的比例）注意：可以用尺子把线平移到平面内，找出平行线，在按上面方法证明

【实践区】

1. (2015·浙江六市六校联盟模拟)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1＝AB＝2.

①求证：AB1∥平面BC1D；

②若BC＝3，求三棱锥D-BC1C的体积．

知识点四

线面平行的性质运用

【例3】(2015·秦皇岛模拟)如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH. 求证：AP∥GH.

【方法总结】

线面平行→→线线平行→

键词：两个中点，两线长度差一半1..三角形中位线（提示关关键词：一个端点一个中点，长度一样）2.构造平行四边形（提示

示关键词：线段的比例）3.三角形中的相似比（提4.线面平行的性质注意：可以用尺子把线平移到平面内，找出平行线，在按上面方法证明

【实践区】

1.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD1A1.

2.如图所示，三棱锥A—BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH．

求证：CD∥平面EFGH．

【强化区】----线面平行的判定与性质

1.

如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，M为OA的中点，N为BC的中点．证明：直线MN∥平面OCD.

2.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA1⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝2AB＝1，M是PB的中点．

(1)求证：AM＝CM；

(2)若N是PC的中点，求证：DN∥平面AMC.

3.(2013·盐城模拟)如图，P为▱ABCD所在平面外一点，M，N分别为AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l. (1)判断BC与l的位置关系，并证明你的结论；

(2)判断MN与平面PAD的位置关系，并证明你的结论．

知识点五 平面与平面平行的判定定理

文字语言

一个平面内的两条相交直线与另一个判定定理

平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)

如果两个平行平面性质定理

同时和第三个平面相交，那么它们的交

∵α∥β，

α∩γ＝a β∩γ＝b，

∵a∥β，b∥β，

a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β

图形语言

符号语言

线平行

【例5】►如图，

∴a∥b

在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点．求证：平面MNP∥平面A1C1B；

【方法总结】

证明面面平行的方法有：

(1)面面平行的定义；

(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；

(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；

(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；

(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．

【实践区】

1. 如图，

在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

(1)B，C，H，G四点共面；

(2)平面EFA1∥平面BCHG.

2.(2013·高考陕西卷) 如图，

四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝2.

(1)证明：底面A1BD∥平面CD1B1；

(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.

3.

如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．

求证：(1)E、F、B、D四点共面；

(2)平面MAN∥平面EFDB.

．

4.。.如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.

知识点六

线面平行中的探索性问题

[例6]

(2015·徐州模拟)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面

ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

【实践区】

1.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由．

2.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存

在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

【方法总结】

线面平行→→线线平行→键词：两个中点，两线长度差一半1..三角形中位线（提示关关键词：一个端点一个中点，长度一样）2.构造平行四边形（提示

示关键词：线段的比例）3.三角形中的相似比（提4.线面平行的性质--线线平行5.面面平行的性质--线线平行注意：可以用尺子把线平移到平面内，找出平行线，在按上面方法证明

【强化训练】

1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：

(1)直线EG∥平面BDD1B1；

(2)平面EFG∥平面BDD1B1.

2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点．

求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；

(2)平面EFG∥平面BDD1B1.

3.(2015·河南洛阳月考)如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．

(1)求证：BE∥平面DMF；

(2)求证：平面BDE∥平面MNG.

4.. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：

(1)直线EG∥平面BDD1B1；

(2)平面EFG∥平面BDD1B1.

5.. 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA

1⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝2AB＝1，M是PB的中点．

(1)求证：AM＝CM；

(2)若N是PC的中点，求证：DN∥平面AMC.

6.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1C的中点．

(1)求证：DE∥平面ABC；

(2)求三棱锥E－BCD的体积．

7.．如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点．求证：

(1)EG∥平面BB1D1D；

(2)平面BDF∥平面B1D1H.

8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如图．

(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；

(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明A1E＝EF＝FC.

9.如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.

(1)求证：BE＝DE；

(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.

10.(2014·南昌模拟)如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，AD上，AE＝AF＝4，现将△AEF沿线段EF折起到△A′EF位置，使得A′C＝26. (1)求五棱锥A′－BCDFE的体积；

(2)在线段A′C上是否存在一点M，使得BM∥平面A′EF？若存在，求A′M；若不存在，请说明理由．

12.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥

CD，E，E1分别是棱AD，AA1的中点，设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.

13.已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.

14.如图所示，P为▱ABCD所在平面外一点，点M，N分别为AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l. (1)求证：BC∥l；

(2)MN与平面PAD是否平行？证明你的结论．