2.3.2 圆的一般方程优质课教案推荐

《圆的一般方程》教学设计

一、教材分析

圆的方程这节内容是学习圆锥曲线的基础，由于圆的方程应用及其广泛，所以对圆的一般方程的要求层次是“掌握”，又由于圆的一般方程中含有三个参变数D、E、F,对它的理解带来一定的困难。因而本节的难点是对圆的一般方程的认识，掌握和应用。突破难点的关键是抓住一般方程的特点。

二、学情分析

圆的一般方程是学生在学习了圆的标准方程后，又掌握了利用待定系数法求圆的标准方程的基础上进行研究的。

但由于学生基础差、学习程度较浅，且对圆的标准方程运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强。

三、教法分析

为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“合作探究与启发式教学法”，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，教师组织学生分析讨论、合作探究。

四、学法分析

通过展开圆的标准方程，归纳总结得出圆的一般方程，通过求圆的方程，加深对数形结合思想和待定系数法的理解，通过应用圆的一般方程，熟悉用待定系数法求解的过程。

五、设计思想

本节课的设计思想是：以多媒体网络教学平台为依托，为学生营造一个探究学习的环境，让他们参与到多媒体教学中来，探究新知，发现规律，解决问题。

六、教学策略

结合本节内容的特点，可以向学生渗透多种数学思想方法：:配方法、待定系数法、数形结合的思想、转化的思想、

分类讨论的思想、方程的思想，同时对学生的观察类比，创新等多种能力的培养有利，通过求圆的一般方程使学生又进一步熟悉待定系数法的应用。

七、教学目标

（一）知识与技能

使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程。

（二）过程与方法

通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探讨，让学生经历知识形成的过程，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力，并使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程的方法。

（三）情感态度价值观

渗透数形结合、转化、分类讨论与方程等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。

八、教学重点、难点

1．重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程。

(解决办法：(1)要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；(2)加强这方面题型训练。) 2．难点：圆的一般方程的探讨过程。

(解决办法：通过对方程配方分三种讨论得限制条件。) 九、教具：多媒体、黑板、圆规、三角板

十、【教学过程与设计】(课堂实录) 环

节

教学内容

一、复习引入：

教师活动

师：同学们！上节课我们研究了圆学生活动

学生活动：回答问题，并填写学案：

学生活动：动笔展开方程(x-a)2+(y-b)2=r2.

设计问题1：圆的标准方程的形式是怎的标准方程，请同学们回忆

一下圆样的？其中圆心的坐标和半径各的标准方程，并填写学案，

是什么？

旧

知

半径为r的圆回

若圆心在坐标原点，的方程怎么表示？

顾

、

新

知

教师活动：让学生先独立思考，自主探究，

引导学生得出方程形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0，提出课题

教师：提出问题，并对学生的回答加以肯定。

意图

复习巩固圆的标准方程，进一步明确其结构特征，为新知识作铺垫。

学生带着疑问，亲自动笔实践，发现新问题，引铺

问题2：若把标准方程222(x-a)+(y-b)=r展开后，会得出垫

怎样的形式？

入课题。

引

二、新课讲解

入

新

课

、

课题：圆的一般方程

提

出

课

题

问题3：是不是每个形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线都是圆呢？ 合

作

探

讨

师：这就是我们今天要学习的内容：圆的一般方程．

教师板书：圆的一般方程

使学生明确本节课的学习内容。

先独立思考，教师活动：提出问题. 引导学生思考学生活动：自主探究后，再与前后圆的方程的要求，想到利用配方法同学合作交流。

将展开式化成圆的标准方程的形式，并引导学生总结在什么情况下，生生互动：在教师引导下，合作交流，共同探它的轨迹是圆、点或无轨迹。

讨方程x2+y2+Dx+Ey+F=0组织学生分析讨论，给学生充表示的图形。

足的时间讨论，并作适当的引导。

共同探讨后，达成共识：【师生互动】：教师巡视指导，参先将方程配方，再与圆与学生的讨论。

的标准方程比较。

让学生经历知识形成的过程，体会数形结合思想，加深对知识的理解。

1、探讨形成：将方程、

x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方

合

作

交

流

教师预设：先将方程配方，再与圆学生活动：在教师的引让学生的标准方程比较。教师板书：

DEDE4F(x)2(y)2

224①

22导下通过观察、分析后积极主发现：

当D+E-4F＞0时

22动地参与到讨论中来，成为学习的主人，

让学生(1)当D2+E2-4F＞0时，方程①表示

一个圆；

师：请同学们观察方程①，可以看出什么？

教师提示学生：先把方程①与标准方程比较，再分类讨论。

当D2+E2-4F＞0时，方程①表示什么？

方程①表示一个以(DE,)为圆心，经历知22识形成的过程，1D2E24F为半2体会知识的来径的圆；

龙去脉，加深对

（2）当D2+E2-4F = 0时，方程①教师继续引导：当D2+E2-4F = 0时，

22学生回答：当D+E-4F 知识的

表示一个点；

又表示什么？

理解。

= 0时，方程①表示一个

教师预设：当学生回答不明确时，

教师作适当的提示：当D2+E2-4F = 0点

时，方程①

DE

(,)

22

DE

只有实数解x,y

22

教师设问：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0

(3)当D2+E2-4F＜0时，方程①不学生回答：没有，因而有没有实数解？．

它不表示任何图形

表示任何图形。

使学生

教师活动：教师在学生基础上梳理学会归

思路，板书：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0学生活动：归纳总结：纳总结

2.归纳总结：

方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表表示的图形分别是圆、点或不表示22示的图形分别是圆、点

方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的图形任何图形。

或不表示任何图形。

分别是圆、点或不表示任何图形．

师：根据以上结论，请同学们给出

圆的一般方程的定义。

使学生.归学生口答：

【教师活动】板书：

明确圆

纳

22当D+E-4F＞0时，方程的一般圆的一般方程的定义

总

3.提出概念：（圆的一般方程

结

的定义）

、

获

得

新

知

1、下列方程各表示什么图形？

4.巩固练习：

当D+E-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程。

22DE圆心坐标为：(,)，半径为：22122DE4F

2x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．圆心坐标DE为：(,)，半径为：22122DE4F

2

方程的定义。

加强巩固会通过配方法判断方程所表示的图形和求圆的半径及圆心坐标。

教师强调：不要死记结果，要熟记通过配方求圆心和半径的方法。

教师活动：巡视学生完成情况，对学生的回答作点评，给出正确答案，学生活动：独立完成，同时强调：方程中隐含条件以及分并回答问题。

类讨论的情况。

教师设问：圆的一般方程有什么特点？

学生活动：归纳结论：

(1)x2y20

(2)x2y22x4y60

(3)x2y22axb20

2、求下列各圆的圆心和半径

22(1)xy6x0

直

接

(2)xy2by0

222(3)xy2ax23y3a0

应

用

、

问题4：圆的一般方程有什么特内

点？

化

新

知

深

入

22让学生教师活动：引导学生比较二元二次(1)x2和y2的系数相同，通过归方程的一般形式不等于零，即A=C≠0；

纳得出Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，与圆的一圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F(2)没有xy项，即B=0；

般方程＞0)。

的形式

特点，体教师强调：1.条件(1)、(2)是二元会圆的二次方程(2)表示圆的必要条件，但

标准方不是充分条件；

程和圆

的一般2.只要确定了D、E、F即可写出圆方程各

的一般方程。

自的优

点。

探

究

、

自

主

学

三、例题精讲

习

例1

求过点A(5，-1)，圆心在点C(8，-3)的圆的一般方程，并化为一般方程

题型一：利用圆的标准方程求圆的方程，并化为一般方程。

教师活动：巡视学生完成情况，并请一位学生上黑板展示，教师点评学生的回答。

教师预设：

解：（利用待定系数法）

设圆的方程为：

【学生活动】：

独立完成，认真作答，学生自愿到黑板上展示各自解法：

进一步巩固学生能够利用圆的标准方程求解圆的方程，并加强圆的标准方程与一般方程的转化。

通过利用圆的方程的两种形式求解圆的方程，进一步体会各自的优点，并掌握待定系数法求解圆的方程的方法。

(x8)(y3)r

∵圆经过点A（5，-1）

∴(58)2(13)2r2

r213

222∴(x8)2(y3)213

学生活动：在老师的引

教师活动：引导学生尝试利用圆的导下，认真完成，并体方程的两种形式求解圆的方程，并会如何根据题目条件,

引导学生小结例1、例2：一般说来，恰当选择圆方程形式。

如果由已知条件容易求圆心的坐举

标、半径或需要用圆心的坐标、半

径列方程的问题，往往设圆的标准例题型二:求利用圆的一般方程求圆

方程；如果已知条件和圆心坐标或分的方程：

半径都无直接关系，往往设圆的一

析

般方程。

例2

求过三点O(0，0)、M1(1，

、

1)、M(4，2)的圆的方程。

2

教师预设：

应

解：（利用待定系数法）

用设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，

新

由题意得，

知

F=0

D+E+F+2=0

4D+2E+F+20=0

解之得，D=-8，E=6

∴圆的方程为：x2+y2-8x+6y=0，

教师活动：让学生先独立思考，自

主完成，教师纠错，并给予适当的

点评，出示正确答案.

学生活动：独立完成.

反

馈

训

练

、

形

成

方

法

5)、B(-2，-2)、C(5，5)的圆的方程。

四、反馈练习：求过三点A(-1，

让学生进一步体会如何根据题目条件,恰当选择圆方程形式，并加强待定系数法求解圆的方程的方法.

课

堂

小

结

、

升

华

课

题

教师活动：引导学生回顾本节课所学生活动：回顾本节课通过学生的小学知识要点，点评学生小结，并加的知识要点与方法，认结，加深问题5：通过这节课的学习你以归纳补充：

真总结，并认真听取老对新知获得了哪些知识？

识的记师的补充。

1.本节课的主要知识点：

忆，通过

老师的（1）圆的一般方程及其形式特点；

补充升华本节（2）圆的一般方程与圆的标准方程

课的课的转化；

题。

（3）用待定系数法求圆的方程。

（2）方法性小结：

2.本节课用的数学方法和数学思简洁明问题6：通过这节课的学习你想: 了概括掌握了哪些数学思想和方法？

本节课⑴数学方法: 配方法、待定系数法。

的重要

⑵数学思想:

知识，学（1）知识性小结：

①

数形结合的思想；

②

转化的思想； ③

分类讨论的思想；

④

方程的思想。

1、分层作业

○1巩固型作业：（必做题）

针对学生实际，对课后书面作业实分两个层次留作业，第施分层设置。

巩固所学新知一层次要求所有学生都识，加深要完成，第二层次要求对新知学有余力的同学完成。

识的理解。能在作业中发现和弥补教学中的不足。

生易于理解记忆。

课

P90 习题7.6 5，6 后

2思维拓展型作业：（选作题）

作

○业

十一、板书设计

一、复习引入：把圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2展开：

二、新课讲解

课题：圆的一般方程

22提出概念：圆的一般方程的定义

三、例题精讲

例1、

例2

四、反馈练习

五、课堂小结

（1）知识性小结

（2）方法性小结

六、课后作业

x+y+Dx+Ey+F=0左边配方：D2E2D2E24F(x)(y)

224归纳总结：当D2+E2-4F＞0时，

当D2+E2-4F = 0时，

当D2+E2-4F＜0时，