复习参考题第一课时导学案

1．3．1二项式定理（两个课时）

广州市第十六中学 高二级理科数学 李慧梅

一、教学内容解析

《1.3.1二项式定理》是选修2-3第一章第三部分第一节的内容，这节课内容上只有一个二项式定理但它却是前面内容的继续，也是后面内容的开始。在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它看做为计数原理的一个应用。另一方面也是为后面学习随机变量及分布做准备。

二项式定理具有较高应用价值和思维训练价值,不仅能解决某些整除性、近似计算问题的一种方法，并能解释集合的子集个数问题；再者，二项式定理不仅仅是初中多项式乘法的拓展，它又是学生进一步学习数学分析中函数级数展开式的一个特例，在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和中有广泛的应用，因此这节课在高中数学中有着十分重要的作用。通过本课的教学，进一步提高学生的归纳演绎能力，让学生感受体验数学的简洁美、和谐美和对称美。

教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，二项式系数的性质等．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成。

二项式定理本身是教学重点，因为它是后面各种应用的基础．通项公式，二项式系数的性质，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点。

二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质。

高考要求：

1、对二项式定理的掌握与应用：以二项展开式（或多项展开式）中某一项（或某一项的系数）的问题为主打试题；

2、对二项展开式的性质的掌握与应用：二项展开式中二项式系数的和与各项系数的和；组合多项式的求和等问题。

二、学情分析

学生已经学习了计数原理、排列组合及合情推理的相关知识，已经具备了一定的归纳演绎和分析事件方法种数的能力。但是学生对数学严谨性的把握还不够，研究问题的方法和能力有待提高，有些学生容易粗心，对细节知识的把握还不够好。本节课二项式定理的推导运用了先猜想后证明，由特殊到一般的研究问题的思想方法。因此本堂课采用小组讨论学习，让学生在相互讨论的过程中直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程，提高学生分析解决问题的能力。

在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习。

三、教学目标

1.知识技能目标

（1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广。

（2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理。

（3）掌握对简单的二项式进行展开，能够对项的系数与二项式系数进行区分，并能求出指定项。

2.过程与方法目标

通过学生经历二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、归纳的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会归纳－猜想－论证的思想方法,发展探究能力。

3.情感、态度、价值观目标

培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简捷和严谨。

四、教学重点、难点，学法指导

1、重点：用两个计数原理分析(ab)3的展开式得到二项式定理；掌握二项展开式的通项公式；熟练掌握二项式定理的正用和逆用；会运用展开式的通项公式求展开式的特定项；能够对项的系数与二项式系数进行区分；能应用二项式定理解决一些简单问题。

2、难点：用两个计数原理分析推导(ab)3的展开式；用两个计数原理证明二项式定理；转化思想的培养

3、学法指导：在例题中培养解题常规方法及思想，通过课堂，即时练习，强化巩固。

五、教学过程：

（一）创设问题情境，引入新课

1、引出问题：今天是星期三，14天后的这一天是星期几呢？23天后的这一天呢？

师生归纳：比如23=7×3+2，所以23天后是星期五。

算法：用各个数除以7，看余数是多少，再用五加余数来推算

师：再过82018天后是星期几，你知道吗？

除以的余数，可以利用8=7+1，得到82018不方便求出82018=(7+1)2018=? 师：师：再过8（n为任意正整数）天后是星期几，你知道吗？

如果不用计算器的话,此时就需要研究(ab)?(nN)

设计意图：提出问题激发学生探索欲望，并引出课题。

2、从特殊开始

由(a+b)=a+b

(a+b)=(a+b)×(a+b)=a+2ab+b; (a+b)=(a+b)×(a+b)=? 结果：(ab)a3ab3abb

设计意图：体会多项式乘法计算过程,加深对因式展开原理的理解。

33223322221nn*

3、探究一：通过组合思想来分析(a+b)的展开式(ab)3(ab)(ab)(ab)

展开后

3①项的形式为：a3,a2b,ab2,b3（提醒可以按a的降幂形式进行排列）

②项的系数，考虑b，

00a3：每个都不取b的情况有1种，即C3 ,则a3前的系数为C3

a2b：恰有1个取b的情况有C3种，则a2b前的系数为C3

22ab2：恰有2个取b的情况有C3

种，则b2前的系数为C3

11b3：恰有3个取b的情况有C3

种，则b3前的系数为C3所以

303122233(ab)CaCabCabC3333b

33设计意图：考察学生对因式展开的各项形式及系数的理解。学生说出自己的思路，老师做分析与讲解为后面猜想做铺垫。

4、探究二：观察展开式中的项数、指数变化以及系数变化，你发现了什么？

n4由此猜想（a+b） ,(a+b)的展开式中项数，指数变化及系数变化又如何呢？并试着写出他们的展开式。

回答：

0413222344

(ab)4C4aC4abC4abC4ab3C4b0n1n1(ab)nCnaCnabrnrrCnabnn

Cnb(nN*)

学生先观察总结特点：

（1）项数是指数加1；

（2）字母a按降幂排列，字母b按照升幂排列，二者指数之和是二项式指数；

（3）每一项的系数有上面的问题2给出，这很好的突破了本节的难点。

0n1n15、探究三：对于猜想(ab)nCnaCnabrnrrCnabnnCnb(nN*)

我们如何进行证明呢？

证明：(ab)是n个(ab)相乘，每个(ab)在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可知展开式共有2项（包括同类项），其中每一项都是anrbr(r0,1,n)的形式，对于每一项anrbr，它是由r个(ab)选了b，n－r个(ab)选了a得到的，它出现的次数相当于从n个(ab)中取r个b的r组合数Cn，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．

nn设计意图：让学生体会利用组合思想从特殊到一般，对猜想给出严谨的证明过程。并理解如何用“说理”的方式阐述证明过程。

（二）思考观察，学习新课

1、观察二项展开式中的项数、指数以及系数有何特点，谁最具代表性？

(1)项：二项展开式共有n1项；

(2)次数：各项的次数都等于n；

字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n k(3)二项式系数：Cn(k{0,1,2,,n})

knkk(4)二项展开式的通项：Tk1=Cnab

（学生继续总结这三点，以强化已有的认识，同时老师强调：二项式系数，与二项展开式系数的区别）

n2、赋值法：特殊的情况：1.用-b代替b.写出的展开式

（ab）52.令a=1,b=2x. 写出的展开式

（12x）0123、求CnCnCnnCn(nN)

（令a=1,b=1.答案为(11)n2n）

设计意图：对二项式定理的简单应用，同时也是告诉学生二项式定理在解决问题时的方法：赋值或是赋表达式。

3、破解疑惑：今天是星期三, 再过802018天后是星期几，你知道吗？

82018(71)2018C201872018C2018720177(C20187即820181C20187C20182017201802018C2018712017C2018)12017

除以7余数是1。

故再过82018天后的那一天是星期四。

学生提出解决思路，老师点评分析，怎么才能被7整除好计算呢?联想二项式定理的表达形式，问题得到解决，留为课下计算。（设计意图：破解疑惑让学生感受计算的简单与快捷，增强对数学学习的热情，）

（三）典例分析，巩固新知

考点一

二项式定理的正用和逆用

4例1．1、二项式定理的正用：求下列式子的展开式：（1）(1)．

(2)求2x＋1414464111212313解析：（1）法1：

(1)1C4()C4()C4()()1234．

xxxxxxxxx14141444641413123xCxCxCx11法2：(1)()(x1)()．

444xxxxx2x3x4（2）解析：法1：直接利用二项式定理展开并化简．

1x14；

x2x＋14＝C0(2x)410＋C1(2x)3·1＋C2·14 212113＋C3＋C4(2x)0·444(2x)·4(2x)·4·xxxxxx81＝16x2＋32x＋24＋＋2. xx12x＋14＝1(2x＋1)4

法2：先化简再展开：

2x＋4＝2xxx1402＝2[C01＋C1(2x)3·11＋C4·(2x)2·12＋C313＋C4(2x)0·14] 4(2x)·4·4(2x)·4·x1＝2(16x4＋32x3＋24x2＋8x＋1) x81＝16x2＋32x＋24＋＋2. xx例1 . 2、二项式定理的逆用：

01化简：（1）Cn2nCn2n1k(1)kCn2nkn(1)nCn(nN)

（2）(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．

01解析：（1）Cn2nCn2n1k(1)kCn2nkn(1)nCn(21)n1n1

04233245(2)原式＝C5(x－1)5＋C15(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5－1 ＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1. 12x－25；

【变式1】

(1)展开x(2)化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1. 15141231232134124－C51252x－25＝C02－C5·2＋C5·解析：(1)法1：

·(2x)－C·(2x)·(2x)·(2x)·(2x)··2＋C5·555xxxxxx8040101＝32x5－80x2＋－4＋7－10. xxxx1112x－25＝22x3－15＝－10(1－2x3)5

法2：xxx131232333435＝－10[1－C1(2x3)4－C55(2x)＋C5(2x)－C5(2x)＋C5·5(2x)] x1104080＝－10＋7－4＋－80x2＋32x5. xxxx51423324150(2)原式＝C05(2x＋1)－C5(2x＋1)＋C5(2x＋1)－C5(2x＋1)＋C5(2x＋1)－C5(2x＋1)

＝(2x＋1－1)5＝(2x)5＝32x5. 小结：二项式定理的双向功能的应用 n(1)正用：将二项式(a＋b)展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开．对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开．

n(2)逆用：将展开式合并成二项式(a＋b)的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律．

考点二

求二项展开式的特定项

1x－9的展开式的第3项是(

) 例2、

(1)xA．－84x3

B．84x3

C．－36x5

D．36x5

x＋124(2)3的展开式中，

x的幂指数是整数的有(

) xA．3项

B．4项

C．5项

D．6项

119－kk9－2kx－9的展开式的通项为Tk＋1＝Ck－k＝Ck解析：(1)依题意得·x··(－1)·x. 99xx取k＝2得展开式的第三项T3＝C2(－1)2·x5＝36x5，故选D．

9·k5k－k24－k3k24－k(2)设展开式中第k＋1项的幂指数为整数，则Tk＋1＝Ck(x)(x)＝C－＝Ck2424x24x12－. 236依题意，k是6的倍数，且0≤k≤24，所以k共有5个值，

x＋124即3的展开式中，x的幂指数是整数的有5项，故选C．

x31n的展开式中，第6项为常数项．

x－【变式2】1、

已知在32x(1)求n；

(2)求展开式中所有的有理项．

2、求（1）(2a3b)6，（2）(3b2a)6的展开式中的第3项．

31n的展开式的通项为T＋＝Crx1n－r·rn－2r－1x－1r＝－1r·x－1、解析：(1)根据题意，可得C·x. r1n3232n332xn－2rn－10又由第6项为常数项，则当r＝5时，＝0，即＝0，解得n＝10. 33

110－2r10－2rr－r·(2)由(1)可得，Tr＋1＝C·x，若T为有理项，则有∈Z，且0≤r≤10. ＋r121033分析可得，当r＝2,5,8时，10－2r456345－2为整数，

则展开式中的有理项为x2，－，

x. 348256222、解：（1）T21C6(2a)4(3b)22160a4b2， （2）T21C6(3b)4(2a)24860b4a2．

点评：(2a3b)6，(3b2a)6的展开后结果相同，但展开式中的第r项不相同

小结：求二项展开式特定项的常见题型及方法

(1)求第k项．Tk＝Cnak－1n－k＋1k－1b. (2)求常数项．对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)．

(3)求有理项．对于有理数，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．

(4)求整式项．求二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． 注意：在实际求解时，若通项中含有根式，宜把根式化为分数指数幂，以减少计算中的错误．

考点三

展开式中二项式系数与项的系数

例3、(2016·石家庄高二检测)设x－26a的展开式中x3的系数为a，二项式系数为b，则的值为__________. bx思维导引：注意展开式中项的系数与二项式系数的区别

262k3kk6－kkx－－解析：的展开式的通项是C6x＝Ck6(－2)x6－，

2xx3k根据题意得6－＝3，解得k＝2，因此，x3的系数为a＝60，二项式系数为b＝C26＝15，

2a60因此，＝＝4. b152x－9的展开式中x5的系数与二项式系数之和为__________. 【变式3】

x29－r9－2r25－r＝(－2)rCr解析：Tr＋1＝Crx，令9－2r＝5，则r＝2. ∴T＝4C9x939x. x522∴x5的二项式系数为C29，x的系数为4C9，它们的和为5C9＝180. 考点四 求“多项式”展开式中的特定项

例4．求(x3x4)的展开式中x的系数

24

分析：1）要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，

然后再用二项式定理展开合并的项，

2）先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开

3）可以用计数原理和组合知识求解

解：（法一）(x23x4)4

[(x23x)4]4

01234C4(x23x)4C4(x23x)34C4(x23x)242C4(x23x)43C444，

3显然，上式中只有第四项中含x的项，∴展开式中含x的项的系数是C4343768

（法二）

(x23x4)4

[(x1)(x4)]4(x1)4(x4)4

0413223404132234(C4xC4xC4xC4xC4)(C4xC4x4C4x42C4x43C444)

3433∴展开式中含x的项的系数是C44C44768．

（法三）(x23x4)4

(x3x4)(x3x4)(x3x4)(x3x4)

1 要得到一次式，其中一括号内选一次项，其余的选常数项：C4(3x)1(4)3768x

系数为—768

拓展：求(x23x4)4的展开式中x的系数

22224 解： (x23x4)4(x23x4)(x23x4)(x23x4)(x23x4)

要得到4次式：

4其中四括号内选一次项：C4(3x)481x4

22224其中两括号内选二次项,另两个选常数项：C4(x)(4)96x

122214其中一括号内选二次项，两括号内选一次项，另一个常数项：CxC(3x)(4)432x43

4444 所以，4次项81x96x432x255x

【变式4】（1）求(1x)(1x)的展开式中x3的系数。

（2）（2014年.全国I卷）(xy)(xy)的展开式中xy的系数为

小结：展开式中二项式系数与项的系数的区别

展开式中第k＋1项的二项式系数Cn与第k＋1项的系数，在一般情况下是不相同的，前者是组合数，仅与二项式的指数及项数有关，与二项式的构成无关，后者与二项式的构成、二项式的指数及项数均有关．在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出差错．

考点五 赋值法

例5．已知(12x)7a0a1xa2x2（1）a1a2k25827a7x7

求：

a7

（2）a1a3a5a7

（3）a0a2a4a6

（4）a0a1a2a7

f(1)f(1)分析：求展开式的各项系数之和常用赋值法，奇数项的系数之和为，偶数项的系数之和为2f(1)f(1)

2解析：令x1,则a0a1a2a71① 令x1,

a0a1a2a3a6a737②

（1）由题意得，a0C71(或令x0,得a1)

0a1a2a72

1371094

（2）（①-②）÷2得a1a3a5a721371093

（3）（①+②）÷2得a0a2a4a62（4）由题意知a0,a2,a4,a6均大于零，a1,a3,a5,a7均小于零，

a0a1a2a7(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1093(1094)2187

mn

考点六 二项式定理的综合应用

例6．已知f(x)12x14x

(m,nN*)的展开式中含x项的系数为36，求展开式中含x2项的系数最小值

分析：展开式中含x2项的系数是关于m,n的关系式，由展开式中含x项的系数为36，可得2m4n36，从而转化为关于m或n的二次函数求解

1111解：12x14x展开式中含x的项为Cm2xCn4x(2Cm4Cn)x

11∴(2Cm4Cn)36，即m2n18，

mn12xm222214x展开式中含x2的项的系数为tCm2Cn42m22m8n28n，

n∵m2n18，

∴m182n，

3715337n)，∴当n时，t448*2取最小值，但nN，

∴

n5时，t即x项的系数最小，最小值为272，此时n5,m8．

22∴t2(182n)22(182n)8n28n16n148n61216(n

六、课后巩固练习

1．(2015·陕西卷)二项式(x＋1)n(n∈N＋)的展开式x2的系数为15，则n＝(

B

) A．7

C．5

B．6

D．4 r2解析：(x＋1)n＝(1＋x)n的通项为Tr＋1＝Crnx，令r＝2，则Cn＝15，即n(n－1)＝30，又n＞0，故n＝6. 2．(2016·北京卷)在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为__60__(用数字作答)．

rr222解析：根据二项式展开的通项公式Tr＋1＝Cr6(－2)x可知，x的系数为C6(－2)＝60. 23．(2016·山东卷)若ax＋15的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝__－2__. x5525－r1rr5－r解析：

因为Tr＋1＝Cr(ax)＝Cax10－r，所以由10－r＝5⇒r＝2，

5522x52因此C2＝－80⇒a＝－2. 5a－2x＋2n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3，求展开式中的常数项．

4．已知xn－20n－10n－44－8n－22－4解析：T5＝C42x＝16C4，T3＝C22x＝4C2. n(x)nxn(x)nx22

410－5k16Cn5610－kk－2k由题意知，2＝，解得n＝10.

Tk＋1＝Ck2x＝2kCkx，

10(x)10·4Cn325k2令5－＝0，解得k＝2.

所以展开式中的常数项为C2102＝180. 25．在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为(

B

) A．160

C．360

B．240

D．800 44解析：把(x2＋3x＋2)5看作5个因式(x2＋3x＋2)相乘，其中一个因式取3x，其他4个因式取2，得C153xC42＝240x，∴x的系数为240. 6．(2014·大纲全国卷)xy－8的展开式中x2y2的系数为__70__(用数字作答)．

xyx8－ryr33－＝(－1)rCrx8－ryr－4.要求x2y2的系数，需满足8822xy解析：易知二项展开式的通项Tr＋1＝Cr83r3r222222－＝2且－4＝2，解得r＝4，所以T5＝(－1)4C48xy＝70xy，所以xy的系数为70. 22x1＋n的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…

＋anxn.若点Ai(i，7．(2014·安徽卷)设a≠0，n是大于1的自然数，aai)(i＝0,1,2)的位置如图所示，则a＝__3__.

解析：

由图可知a＝1，a＝3，a＝4，由组合原理知1C·a＝a＝4，0122n2211Cn·＝a1＝3，a



故nn－1a＝8，2n＝3，a

解得{n＝9，a＝3.

23x2－3n的展开式中含有非零常数项，求正整数n的最小值．

8．如果x22n－kkn－kk2n－5k－3k＝(－1)k·解析：∵Tk＋1＝Ck·C·2·x，

n(3x)n3x5k由题意知2n－5k＝0，即n＝，∵n∈N*，k∈N，∴n的最小值为5. 2x－1n9．(2016·苏州调考)已知4的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．

2x(1)证明：展开式中没有常数项；

(2)求展开式中所有有理项．

1212解析：依题意，前三项系数的绝对值是1，C1·，Cnn·2，

21211所以有2Cn·＝1＋C2n2，

2

即n2－9n＋8＝0，解得n＝8(n＝1 舍去)．

所以展开式的第k＋1项为

Ck8(x)8－kk－1k1kk8－kkkC816－3kx·x－＝(－1)·k·x. 4＝－2C8·24242x16－3k(1)证明：若第k＋1项为常数项，当且仅当＝0，即3k＝16，

4∵k∈Z，∴上式不可能成立，∴展开式中没有常数项．

16－3k(2)若第k＋1项为有理项，当且仅当为整数，

4∵0≤k≤8，k∈Z，∴k＝0,4,8，即展开式中的有理项共有三项，

351－它们分别是：T1＝x4，T5＝x，T9＝x2. 8256七、思维拓展型作业：

（1）尝试用数学归纳法证明二项式定理；

（2）今天是星期三，那再过512018天后是星期几？ （3）某人投资10万元，有两种获利的可能选择，一种是年利率12%，按单利计算，10年后收回本金和利息。另一种年利率10%，按每年复利一次计算，10年后收回本金和利息。试问哪种投资更有利？

（提示：按单利计算，10年后本利和=10×（1+12%×10）=22万元 按复利计算，10年后本利和= 10(110%)10?如何计算 (110%)10的近似值？） （4）查阅有关杨辉一生的主要成就；

（5）探究二项式系数有何性质。

八、教学反思