二 综合法与分析法教学设计思路

综合法和分析法

1.教学目标 一．知识与技能目标

（1）了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法．

（2）了解综合法和分析法的思维过程和特点．

二．过程与方法目标

（1）通过对实例的分析、归纳与总结，增强学生的理性思维能力．

（2）通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题、解决问题的能力．

三．情感、态度及价值观

通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力．

2.教学重点/难点 教学重点：综合法和分析法的思维过程及特点。

教学难点：综合法和分析法的应用。

3.学情分析

学生在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节通过熟悉的数学实例，帮助学生对证明数学问题的方法形成较完整的认识。

4. 教学过程

一、复习引入

回顾基本不等式： (a>0,b>0)的证明过程：

法一: 因为; a+b所以

所以

(ab)20法二：

2ab要证; 只需只需只a+b2ab证; 证; a+b2ab0需a+b2ab证; (ab)0成立

以 (ab)20a+b2ab2所以 a+b2ab

a+b2ab成立

因为; a+b2ab0成立

所二、探索新知

1、综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论

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证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。综合法又叫由因导果法或顺推证法. 特点:“执因索果”

推理过程：用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:

2、分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法．分析法又叫执果索因法或叫逆推证法

特点：执果索因. 推理过程：

二、例题分析

例1：已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc 证明：因为 b2+c2

≥2bc,a>0 所以 a(b2+c2)≥2abc. 又因为 c2+b2 ≥2bc,b>0 所以 b(c2+a2)≥ 2abc. 因此 a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc. 例2：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．

证明：由A,B,C成等差数列，有2B=A+C，

因为A,B,C是三角形的内角，所以A+B+C=180o，

所以B=60o

由a,b,c成等比数列，有b2=ac, 则b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac,

化简得：a2+c2-ac=ac，即(a-c)2=0 因此a=c，从而有A=C A=B=C=60o。

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所以三角形ABC是等边三角形。

1、在△ABC中，已知cosAcosA＞sinAsinB,则△ABC的形状一定是 钝角三角形 2、下面的四个不等式：①a2+b2+3≥ab+3（a+b）；②a(1-a)≤1ba；③≥2；4ab④（a2+b2）(c2+d2)≥（ac+bd）2.其中恒成立的有 ①②④ 评注：用综合法证明不等式时常用的结论：

ab2a2b2)（1）ab(（a,bR）

22(2) ab2ab(a0,b0)

例3:设a,b为实数，求证：a2b22(ab)

2 证明：当a+b≤0时，∵a2b2≥0 ∴ a2b22(ab)成立。

2 当a+b＞0时，用分析法证明如下：

要证a2b22(ab)，

22(ab)]2

2只需证(a2b2)2[即证a2b212(ab22ab)。

2即证a2b2≥2ab ∵a2b2≥2ab对一切实数恒成立

所以a2b22(ab)成立。

2综上所述，不等式成立

三、归纳小结

1、综合法处理问题的三个步骤：分析条件，选择方向→转化条件，组织过程→适当调整，回顾反思。

2、当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法。

3、综合法优点：条理清晰，易于表述

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证明格式：因为……/由……可知

所以……

所以……

综上所述，原命题成立

4、分析法优点：解题方向比较明确，利于寻找解题思路

证明格式：要证……

只需证……

只需证……

即证……

因为……恒成立

所以原命题成立

四、课后作业

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