一 数学归纳法第二课时 公开课

“数学归纳法”的教学设计

教学目标

了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。并会证明简单的与正整数有关的命题。让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。提高学生数学学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，以及发现问题、提出问题的意见和数学交流能力。

学情分析

学生在学习本节之前已经学习过归纳推理，以及一些简单的数学证明方法，特别是通过数列等相关知识的学习，已基本掌握了不完全归纳法，已经有了一定的观察、归纳、猜想能力.我校为高中普通校，学生动手能力、思维能力较弱，个别同学在活动中不会提炼出有效信息，在探究问题的能力、合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强。因此，本节教学中以教师问题引导、小组合作交流的学习方式来弥补这一不足. 本节在学生已学习了归纳猜想的基础上具有了发现和探究问题的意识，这为本节课学习数学归纳法奠定了一定的基础。

教学重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。

教学难点：

（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明。

（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

教学过程：

一、情境引入

情境1、法国数学家费马观察到：

归纳猜想：任何形如（n∈）的数都是质数，这就是著名的费马猜想。

半个世纪以后，数学家欧拉发现，第5个费马数不是质数,从而推翻了费马的猜想。——“不完全归纳有时是错误的”

（培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力．）

情境2 、数列通过对前4项归纳，猜想——可以让学生通过数列的知识加以验证——“不完全归纳有时是正确的”。

通过对上述两个情况的探究可以发现用“不完全归纳法”得到的结论不一定可靠。

为了寻求一种能够证明与正整数有关的数学问题的方法，从而引入本节课的新课内容一数学归纳法。

情境3、(根据学生回答问题)看来不完全归纳的得出的结论不一定正确.那么,请回顾我们上节课做过的一道题

a中,a11,an1在数列 n（1）求

a1,a2,a3,a42an,nN2an2n1（2）试猜想该数列的通项公式．

简解: 你觉得这个结论正确吗?为什么? 能不能寻求一种方法对这个结论作出严格的证明? a11,a2,a1,a2234325an

二、学习探究

1.探究任务一：能否找到一种能实现“完全归纳”的方法？

我们先来看一组小实验,体会能否从中得到启示.观察“多米诺骨牌”游戏动画演示,探究所有“多米诺骨牌”全部倒下的条件

课件展示动画,在该实验中,推到第一块骨牌,然后第二块、第三块……紧跟着全部骨牌都倒下. 问题1:请同学们分小组讨论为什么会出现这种情况？

问题2:怎样才能出现这种情况？

课件展示动画,在该实验中,骨牌的间距出现分化，其中有两块骨牌的间距足够大，其他骨牌间距不变，这时推到了第一块骨牌，间距被拉大的后面的骨牌没有倒下，自然其后的所有骨牌就都没有倒下. 问题3: 同学们对比两次实验，思考并讨论实验中游戏失败的原因？

问题4：如何正确认识、科学定位“多米诺骨牌”实验？

学生回答,相互补充. 探究“多米诺骨牌”全部倒下的条件

引导学生思考并分析“多米诺骨牌”全部倒下的两个条件；

①第一块骨牌倒下；

②任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。

强调条件②的作用：是一种递推关系（第k块倒下，使第k+1块倒下）。

互动小游戏

“循次而进”小游戏：请同学自己设计游戏规则，让一列同学实现依次坐下，如何设计啊规则？假设有无数个人，如何设计，几个步骤完成？

请一列同学演示游戏，其他同学观察和体会满足什么条件才能使游戏得以顺利进行，并用语言表达出满足的条件。

2.探究任务二：

你能类比“多米诺骨牌”游戏，证明情境3的猜想是正确的吗？

(1)学生合作讨论

(2)教师引导分析

“多米诺骨牌”原理 ①第一块骨牌倒下； ②若第k块倒下，则使得第k+1块倒下

验证猜想 ↓ ↓

①n1验证猜想成立 ②如果nk时，猜想成立。即，

则由此证明当nk1时，猜想也成立. (3)学生总结,语言表述

3.探究任务三

引导学生概括, 形成科学方法. 证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：

(1) 证明当n取第一个值n0时结论正确；（归纳奠基）

(2) 假设当n＝k (kN,kn0) 时结论正确, 证明当n＝k＋1时结论也正确．（归纳递推）

完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都正确．

教师点题:以上这种证明方法叫做数学归纳法．数学归纳法是证明与正整数有关的命题的有效方法.实现了利用有限步骤完成无限验证,实现了完全归纳. 三、典例讲练

例1.用数学归纳法证明123......n2222n(n1)(2n1) (nN)

6师生活动：教师和学生一起分析等式两边的特点,适合应用数学归纳法，并回顾数学归纳法证明的步骤。

突破难点预设方案：

在用数学归纳法第二步时，学生可能会遇到以下困难（1）在第二步中如何应用归纳假设;(2)应用归纳假设后如何整理变形.从nk时的情形到nk1的情形是怎样过渡的.

首先引导学生两点:一是正确理解数学归纳法的原理和实质；二是构建用数学归纳法来解题的正确模式，提炼总结出, “应用归纳假设要代入,化简整理不可少”

规范学生证明过程，

利用幻灯展示学生证明过程，表扬优点，指正不足.

2(nN)例2用数学归纳法证明135...(2n1)n

预设方案一：学生应用等差数列求和公式计算，教师允许学生表明观点，但要提醒学生审题，即用数学归纳法证明。并指出有些与正整数有关的命题可能有不止一种方法. 预设方案二：学生在证明过程中证明归纳递推过程还不是很熟练.引导学生思考在归纳假设基础上证明nk1时也成立.从而建立两者的关系.在探究中培养思维的发散. 小组交流合作,共同完成题目.学生代表黑板板演,教师点评。

四、课后反馈

1.在应用数学归纳法证明凸多边形的对角线为1n(n3)条时第一步验证n等于(

)

2A

0

B

1

C

2

D

3

1an22n1

2.用数学归纳法证明：1aa...a(a1,nN)在验证n1成立时，1a

左边计算所得到的结果是（）

B1aC1aa2D1aa2a3

A1

111113.数学归纳法证明22...时，假设nk时结论成立，2

2n223(n2)

则当nk1时，应推证的目标不等式是4. 下面是某同学用数学归纳法证明命题111n

1223n(n1)n1

的过程.你认为他的证法正确吗?为什么?

(1).当n=1时,左边=111右边=

1222(2).假设n=k时命题成立

即111k

1223k(k1)k1

111k1那么n=k+1时, 左边=

2

2



3

k



1

）



k



2

）

k



2

=右边

1

（（

即n =k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,对一切正整数数,命题均正确.

五、课堂小结

1、数学归纳法适用范围:某些与正整数有关的数学命题. 2、两个注意：

（1）、“二步一结论”缺一不可。

（2）、第2步证明“假设n=k成立则n=k+1也成立”时一定要用到归纳假设。

3、在学习的过程中,你有什么体会? 课后作业：

1.求证：数学归纳法证明命题

202122...2n12n1(nN*)

111nn(nN*,n1)212.用数学归纳法证明123时，第一步应验证不等式（

）

111111111212131322323234A.

B. C. D.

33331223.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n= n（n＋1）

42222*n(n1)(4n3)

1223(2n1)(2n)2n(2n1)nN4.求证：