3.三个正数的算术-几何平均不等式教学实录及点评

第3课时

三元均值不等式

1.通过实例了解三元均值不等式,对于a>0,b>0,c>0,则不等式a3+b3+c3≥3abc、立的条件.

2.掌握应用三元均值不等式求最值,“一正、二定、三相等”,其中“一正”指的是字母为正数;“二定”指的是和或积为定值(有时要通过拼凑);“三相等”指的是等号可以成立.

3.掌握三元均值不等式的各种常见的变式.如:a>0,b>0,c>0时,abc≤

及

≥

,注意等号成

abc≤( 3)等的应用.

若实数a,b满足a2+b2=1,则ab有最大值;若正实数a,b,c满足a3+b3+c3=1,那么abc的最大值是多少呢?

问题1:三元均值不等式

如果a,b,c∈R+,那么a3+b3+c3

(当且仅当a=b=c时取等号).

问题2:如果a,b,c∈R+,那么问题3:称 为

(当且仅当a=b=c时取等号).

a,b,c的

,称

为a,b,c的

.

≥

语言表述

为

.

问题4:用三元不等式

≥

和

a3+b3+c3≥3abc求最值时的使用条件是“

、

、

”.

1.如果a,b,c为不全相等的正实数,满足a+b+c=1,则abc(

).

A.最大值为

B.最大值为

C.最大值为

D.无最大值

2.如果正实数a,b,c满足a+b+c=1,则a3+b3+c3的(

).

A.最小值为

B.最大值为

C.最小值为

D.最大值为

3.函数f(x)=3x+

(x>0)的最小值为

.

4.求证:a6+8b6+c6≥2a2b2c2.

利用三元不等式求最值

设a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求(1-a)(1-b)(1-c)的最大值.

利用三元不等式证明

已知a,b,c∈R+,a+b+c=1,求证:++≥9.

构造三元均值不等式

若α,β,γ为锐角,且cos2α+cos2β+cos2γ=1.

求证:

++≥.

设a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求

已知a>b>c>d,求证:

设a,b,c为正实数,且abc=1.

求证:

++≥.

++≥.

-

-

-

-

++的最小值.

1.已知a,b,c∈R+,x=A.x≤y≤z

,y=

,z=

,则(

).

B.y≤z≤x

C.y≤x≤z

D.z≤y≤x

2.给定四个不等式:

(1)x+≥2 (x>0);(2)sin θ+(3)

≥2 (0<θ<π);

≥2 (x∈R);(4)x3++

≥3

(x>0).

其中等号能够成立的不等式的个数为(

).

A.1 B.2 C.3 D.4 3.函数f(x)=x2(1-5x)(0

.

4.已知关于x的不等式∣x+1∣+∣x-1∣≤++对任意正实数a,b,c恒成立,求实数x的取值范围.

(2014年·江苏卷)已知x>0,y>0,证明:(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy.

考题变式(我来改编):

第3课时

三元均值不等式

知识体系梳理

问题1:≥3abc

问题2:≥

问题3:算术平均

几何平均

三个正数的算术平均不小于它们的几何平均

问题4:一正

二定

三相等

基础学习交流

1.D

2.A

3.9

4.略

重点难点探究

探究一:【解析】由于a,b,c∈R+,且a+b+c=1,所以0

又(1-a)(1-b)(1-c)≤[ - - - 3

3

]=()=,

当且仅当1-a=1-b=1-c,即a=b=c=时,原式取得最大值.

【小结】利用均值不等式的前提是要满足“一正、二定、三相等”的条件.当和为定值时,积有最大值;积为定值时,和有最小值.

探究二:【解析】(法一)∵a,b,c∈R+,a+b+c=1,

∴3

≤a+b+c=1.∴

≤,∴

(法二)∵a+b+c=1,∴++=

≥3,∴++≥3

≥9.当且仅当a=b=c时,等号成立.

++

=(1++)+(+1+)+(++1)=3+(+)+(+)+(+),

又∵+≥2

=2,同理:+≥2,+≥2,

∴++≥3+2+2+2=9.当且仅当a=b=c=时,等号成立.

【小结】此题考查了利用三元不等式综合法证明问题.对于三个正数之和或之积结构可以先考虑利用三元不等式进行变形,然后再利用不等式的性质传递.方法二用到了“凑倒数”,这种技巧在很多不等式证明中都可应用,但有时要对代数式进行适当变形,以达到“凑倒数”的目的.

探究三:【解析】设A=

++,B=++,C=++.

结合已知得B+C=

++=3,

A+B=

+++++

=

++≥3

=3,同理A+C≥3,

∴A+B+A+C≥6,则2A+(B+C)≥6⇒A≥,

++≥.

即当且仅当sin α=sin β=sin γ,即α=β=γ时,等号成立.

故原不等式成立.

【小结】本题重点是围绕条件的变换,如何将问题转化成基本不等式问题,这个是解题的关键.

思维拓展应用

应用一:

++=(2a+2b+2c)(++)

++)

=[(a+b)+(b+c)+(c+a)](

≥·3

·3

=,当且仅当a=b=c时,等号成立,即所求的最小值为.

应用二:∵a>b>c>d,∴a-b>0,b-c>0,c-d>0,a-d>0.

∴(∴

++)(a-d)=(++)×[(a-b)+(b-c)+(c-d)]≥3×

×3×

- - - =9,

-

-

-

-

-

-

-

-

-

++≥.

-

-

-

-

当且仅当a-b=b-c=c-d时,等号成立.

应用三:设A=

++,B=++,则

A+B=[+

]+[

+]+[

+]≥++.

又∵abc=1,∴B=(+)+(+)+(+)=(++),因此A≥++-B=(++)≥

到“=”.

故原不等式成立.

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1.C

2.B

3.

4.-≤x≤

=.当且仅当a=b=c=1时,上述各不等式均可取

全新视角拓展

略