探究与发现 子集的个数有多少教学设计第二课时

【教学设计】：集合间的基本关系-----子集和真子集

学习目标：

1.理解集合之间包含与相等的含义. 2.能识别给定集合的子集. 3.能使用Venn图表达集合之间的关系. 4.了解空集的含义. 重难点：

重点

难点

新课讲解

一、子集

提出问题1 1.观察实例：

子集与真子集的概念

元素与子集、属于与包含之间的区别；空集的含义

(1)A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5}；

(2)设A为新华中学高一(2)班全体女生组成的集合，B为这个班全体学生组成的集合；

(3)设C={x|x是两条边相等的三角形}，D={x|x是等腰三角形}；

(4)P={x|x是长方形}，Q={x|x是平行四边形}；

(5)S={x|x>3},T={x|x>2}；

(6)E={x|(x+1)(x+2)=0},F={-1,-2}. 上面每个例子中的两个集合，前一个集合的元素与后一个集合的元素之间有什么关系？两个集合之间有什么关系？

结论:这6个例子中“前一个集合”中的元素都是“后一个集合”中的元素. 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A），读作“A含于B”（或“B包含A”）. 提出问题2 2.阅读教材第6页第四段，如何用图形表示两个集合间的包含关系呢？

结论:为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.这样上述集合A与集合B的包含关系，就可以用图1.1-2-1表示.

反馈练习

1我们在上一节学习了特殊数集的记号，请用适当的符号填空，并用Venn图表示N,Z,Q,R之间的关系：

N Z，N Q，R Z，R Q. 解：：⊆，⊆，⊇，⊇

Venn图如图1.1-2-2. 二、集合相等

提出问题1 1.在子集的定义中，能否理解为子集A是集合B中的“部分元素”所组成的集合？

结论:不能.A中可能含有B中的所有元素，也可能不含任何元素(必要时教师提示补充). 提出问题2 2.

上一课时我们是如何定义两个集合相等的？

结论:只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 提出问题3 3.

观察新课开始提出的问题中的例(3)和例(6)，这两个集合中的元素一样吗？它们之间存在什么样的包含关系？

结论:例(3)中，由于“两条边相等的三角形”即等腰三角形，因此，集合C，D都是由所有等腰三角形组成的集合.即集合C中任何一个元素都是集合D中的元素，则C是D的子集；同时，集合D中的任何一个元素都是集合C中的元素,则D也是C的子集.即C和D两集合中的元素都是相同的，也就是说两集合C与D相等.同理可以说明例(6)中两个集合的元素也完全相同，两集合相等. 如果集合A是集合B的子集（A⊆B），且集合B是集合A的子集（B⊆A），此时，集合A与

集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A=B. 例1．已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求c的值．

a＋b＝ac2解：①若2，消去b得a＋ac－2ac＝0，

a＋2b＝ac

即a(c2－2c＋1)＝0. 当a＝0时，集合B中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性，

故≠0，c2－2c＋1＝0，即c＝1；

当c＝1时，集合B中的三个元素也相同，

∴c＝1舍去，即此时无解．

2a＋b＝ac②若，消去b得2ac2－ac－a＝0，

a＋2b＝ac

即a(2c2－c－1)＝0. ∵a≠0，∴2c2－c－1＝0，即(c－1)(2c＋1)＝0. 1又∵c≠1，∴c＝－. 2三、真子集

提出问题1 1. 观察新课开始提出的问题中的例(1)(2)(4)(5)，除了集合A中的元素都是集合B中的元素外，你还有什么新的发现？

结论：集合A中的元素都是集合B中的元素，但集合B中存在元素不在集合A中. 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的真子集，记作A

B（或BA）. 提出问题2 2.在实数中有如下结论：

(1)对于任何一个实数a，有a≤a；

(2)对于实数a,b,c，如果a≤b,且b≤c，那么a≤C. 你能类比这两个结论，写出两个集合之间的类似关系吗？

结论:（1）任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A. （2）对于集合A,B,C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C. 例2．若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且BA，求m的值．

解析：∵A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，且BA. ∴(1)当B＝∅时，方程mx＋1＝0无解，故m＝0；

1(2)当B≠∅时，则B＝{－}．

m

11若－＝－3，则m＝；

m311若－＝2，则m＝－. m211综上知，m的值为0，－，. 23四、空集

提出问题1 观察下面四个集合：

（1）方程x2+1=0的实数根组成的集合；

（2）不等式3 x2+2<0的解组成的集合；

（3）比5大1的负数组成的集合；

（4）边长分别为1,1,4的三角形组成的集合。

它们有什么共同点？你还能举出类似的例子吗？

结论:这四个集合中没有适合条件的元素，即集合中没有任何元素. 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集，即∅⊆A. 五、子集个数问题

1.填写下表，并回答问题. 提出问题1 原集合

子集

子集的个数

真子集的个数

∅

{a} {a,b} {a,b,c} 由上表猜想：含n个元素的集合的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？

结论

原集合

子集

子集的个数

真子集的个数

∅

∅

1 0

{a} {a,b} {a,b,c}

∅，{a}

∅，{a}，{b}，{a,b}

∅，{a}，{b}，{c}，{a,b}，{a,c}，{b,c}，{a,b,c} 2 4 8 1 3 7 含n个元素的集合的所有子集的个数是2n ，真子集的个数为2n—1（去掉本身），非空真子集的个数为2n—2（去掉本身和空集）. 例3写出集合{0,1,2,3}的所有子集. 解：},{1},{2},{3},{0,1},{0,2},{0,3},{1,2},{1,3},{2,3},{0,1,2},{0,1,3},{0,2,3},{1,2,3},{0,1,2,3}. 课堂检测

1.在以下几个写法中：①∅={0};②∅⊆{0};③∅∈{0};④0={0};⑤0∈{0};⑥{1}∈{1,2,3};⑦{1,2}⊆{1,2,3};⑧{a,b}⊆{a,b}.错误的个数是（ ）

A.2

答案：C 2.下列命题正确的是（ ）

A.空集没有子集

B.任何一个集合必定有两个子集

C.自然数集是整数集的真子集

D.{1}是质数集的真子集

答案：C 3.求符合条件{1} P⊆{1,3,5}的集合P. 解：由{1}与P的关系{1} P，知1∈P且P中至少有一个元素不在{1}中，即P中除了1外还有其他元素；由P与{1,3,5}的关系P⊆{1,3,5}，知P中的其他元素必在{1,3,5}中，至此可得集合P是{1,3}或{1,5}或{1,3,5}. 4．已知集合M＝{(x，y)|3x＋4y－12＜0，且x，y∈N*}，则集合M的真子集的个数是(

) A．4 C．7 答案

C 解析

因为M＝{(x，y)|3x＋4y－12＜0，且x，y∈N*}＝{(1,2)，(2,1)，(1,1)}，所以M的真子集有23－1＝7(个)．

5．设P，Q是两个非空集合，定义P×Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，若P＝{3,4,5}．Q＝{4,5,6,7}，则P×Q中元素的个数是(

) A．3 B．4 B．6 D．8

B.3

C.4

D.5

C．7 答案

D D．12 解析

根据定义，集合P×Q是一个由有序数对(a，b)组成的集合，所以分别为(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(5,7)，共12个．