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§2．3离散型随机变量的均值与方差

§2．3．1离散型随机变量的均值

教学目标：

知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望．

过程与方法：理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξ求相应的离散型随机变量的均值或期望。

B（n,p），则Eξ=np”.能熟练地应用它们情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。 教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念

教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教学过程：

一、复习引入：

1、离散型随机变量的分布列

ξ

P

2、离散型随机变量分布列的性质：

(1)pi≥0，i＝1，2，…；

(2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．

3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是

kknk（k＝0,1,2,…，n，q1p）．

Pn(k)Cnpq，x1

p1

x2

p2

…

…

xn pn

……于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

ξ

0 1 P 00nCnpq

…

k …

n nn0Cnpq

11n1Cnpq

…

kknkCnpq

…

kknk称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记Cnpq＝b(k；n，p)．

4.对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。

我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差.

二、互动探索：

1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？

1111222334X2

10

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把环数看成随机变量的概率分布列：

X 1 2 3 4 P 410310210110

4321X12342

10101010

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（一）

均值或数学期望:

一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

ξ

P x1

p1

x2

p2

…

…

xn pn

…

…

则称

Ex1p1x2p2…xnpn… 为ξ的均值或数学期望，简称期望．

1.对离散型随机变量的均值的理解

(1)离散型随机变量的均值是刻画离散型随机变量取值的平均水平的指标．

(2)由定义可知离散型随机变量的均值与它本身有相同的单位．

(3)均值是一个常数，在大量试验下，它总是稳定的，因此它不具有随机性，可以作为随机变量的均值或平均数．

2、某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？

把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：

X 18 24 36 P 362616

111X18243623(元/kg)2363. 均值或期望的一个性质:若ab(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为

ξ

η

P x1

x2

…

…

…

xn …

…

…

ax1b

p1

ax2b

p2

axnb

pn

于是E(ax1b)p1(ax2b)p2…(axnb)pn…

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＝a(x1p1x2p2…xnpn…)b(p1p2…pn…) ＝aEb，

4.对公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b的理解

(1)当a＝0时，E(b)＝b，即常数的均值就是这个常数本身．

(2)当a＝1时，E(X＋b)＝E(X)＋b，即随机变量X与常数之和的均值等于X的均值与这个常数的和．

(3)当b＝0时，E(aX)＝aE(X)，即常数与随机变量乘积的均值等于这个常数与随机变量均值的乘积．

问题：离散型随机变量 期望与可能取值的算术平均数相同吗？

平均数是一个统计学概念，期望是一个概率论概念

平均数是实验后根据实际结果统计得到的样本的平

均值，期望是实验前根据概率分布“预测”的样本

的平均值

基础训练

ξ

1 3 5 P 0.5 0.3 0.2

(1)则Eξ=

.

(2)若η=2ξ+1，则Eη=

.

2、随机变量ξ的分布列是

ξ

4 7

9

10

P

0.3

a

b

0.2

Eξ=7.5,则a=

b=

例题讲解

例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.8，则他罚球1次的得分X的均值是多少？

一般地，如果随机变量X服从两点分布，

X

1

0

P

p

1－p

则

EX1p0(1p)p

例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次；

（1）求他得到的分数X的分布列；

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（2）求X的期望。

解：(1) X～B（3，0.7）

X

0

1

2

3

P

0.331C30.70.322C30.720.30.73

12

EX00.331C30.70.322C30.720.330.73

EX2.130.7小结：

一般地，如果随机变量X服从二项分布，即X～B（n,p），则

EXnp基础训练：

一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望是 ？ 2、射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射击，他射中目标的概率是0.7,若枪内只有5颗子弹,求射击次数的期望。(保留三个有效数字)

E =1×0.7+2×0.3×0.7+3×0.3×0.7+4×0.3×0.7 4 +5×0.3

=1.43 3.求随机变量数学期望的一般过程

S1：求出ξ的所有可能取值；

S2：求出ξ取值各个值的概率

；

S3：列出分布列；

S4：利用分布列求出期望。

深化提高

（2012高考湖北理）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表：

23降水量X

X＜300

300≤X＜700

700≤X＜900

工期延误天数Y

0

2

6

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历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9.

求：工期延误天数 Y 的均值。

解：由已知条件和概率的加法公式有：

P(X300)0.3,P(300X700)P(X700)P(X300)0.70.30.4P(700X900)P(X900)P(X700)0.90.70.2P(X900)1P(X900)10.90.1

所以Y的分布列为：

0

2

6

10

0.3

0.4

0.2

0.1

E(Y)00.320.460.2100.13于是

故工期延误天数Y的值为3

2.甲、乙两名射手一次射击中的得分为两个相互独立的

随机变量x与y的分布列为：

x 1

2

3

P

0.3

0.1

0.6

y 1

2

3

P

0.3

0.4

0.3

甲、乙两人谁的射击水平高？

五、小结

：

(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；

(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：

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①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；

②求ξ取各个值的概率，写出分布列；

③根据分布列，由期望的定义求出Eξ 公式E（aξ+b）= aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np 六、布置作业：练习册

七、板书设计（略） 八、教学反思：

(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；

(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：

①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；

②求ξ取各个值的概率，写出分布列；

③根据分布列，由期望的定义求出Eξ 公式E（aξ+b）= aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np 。

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