小结优秀公开课教案

《回归分析》小结教学设计

广州市番禺区石碁中学

周泳

学习目标：

（1）能根据散点图判断两个变量是否存在相关关系，培养直观想象能力，学会用数学的眼光看待问题。

（2）会求线性回归方程并进行预测，会通过计算R2刻画回归效果，培养学生数学运算和数据整理的能力。

（3）能根据所给数据选择合适的公式模型进行分析，培养数据分析和数学建模的能力，学会用数学的思维分析问题。

（4）掌握回归分析的基本思想方法和简单应用，会根据回归分析作出正确的判断，学会用数学的语言表达问题。

nnn教学过程：

(xx)(yy)xynxyˆi2yiyiiiii1i1

相关系数r相关指数R21in1nnnn22

22

(

x



x)2(yy)2yiy2xnxynyiiiii1i1i1i1i1

nn

(xix)(yiy)xiyinxy（参考公式）

i1i1bnnaybx

222(xix)xinx

i1i1一、【考题再现】

1、（广州二测）科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：

26 x（年龄/岁）y（脂肪含27 39 41 49

53 56 58 33.5 60 35.2 61 34.6 14.5 17.8 21.2 25.9 26.3 29.6 31.4 量/%）

根据上表的数据得到如下的散点图．

(1)根据上表中的样本数据及其散点图：

(i)求x; (ii)计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度．

(2)若y关于x的线性回归方程为

ˆ，求bˆ的值（精确到ˆ1.56bxy0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量。

附：参考数据：10

101022xy13527.8,x23638,y7759.6436.56,293554.18iiiiy27

i1i1i1

二、【知识梳理】：线性回归分析的基本方法步骤：

1.利用散点图判断两个变量的相关性，用相关系数r刻画相关程度；

ˆaˆbxˆ，回归直线一定经过样本中心 ；

2.求回归直线方程：y3.

利用回归直线方程进行预报；

4.

刻画回归效果：

（1）残差图法：残差点均匀落在

区域中，说明模型比较合适，

的宽度越窄，模型拟合精度越高。

（2）相关指数R2刻画法：R2越接近于

，表示回归的效果越好。

三、【基础练习】

1.广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）

广告费x

销售额y

2 29 3 41 4 50 5 59 6

71 ˆ10.2xaˆ，据此模型，预测广告费为10由表可得到回归方程为y万元时的销售额约为（

）

A．101.

B．108.8

C．111.2

D．118.2 ˆ2x1

，2.已知回归直线方程为：y样本点(0.5 , 0.7),则它的残差为___

_. 3．(2012·课标全国Ⅲ)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)1都在直线y＝2x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为(

) 1

A．－1

B．0

C.2

D．1 4．（2018课标Ⅱ）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境

基础设施投资额，建立了y与

时间变量t的两个线性回归模型．

根据2000年至2016年的数据

（时间变量t的值依次为1,2,,17）

ˆ30.413.5t；

建立模型①：y根据2010年至2016年的数据

ˆ9917.5t．

（时间变量t的值依次为1,2,,7）建立模型②：y

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

四、【典例学习】

例1.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，得到的数据如下：

零件个数x

加工时间y

2 2.5 3 3 4 4 5

4.5 (1)在坐标系中画出y关于x的散点图；

(2)求出回归直线方程；

(3)计算R2的值，并说明回归模型拟合程度的好坏．

五、【变式训练】

2．(2015·课标Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

x

y

w

(xx)ii1n2

289.8

(wiw)

(xix)(yiy)

2i1i188(ww)(yy)

iii1846.6 563 6.8 1.6

1469

108.8

18表中wixi，wwi．

8i1(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x，根据(2)的结果回答下列问题：

①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

课堂小结：

六、【课后作业】

x

16 17 18 19 1.次实验中测得x,y的四组数值如右图所示，若y

50 34 m

31 根据该表的回归方程$y5x126.5，则m的值为（

）

A.

39

B.

40

C.41

D.42 2、（2017•衡水金卷一模）某种新产品投放市场一段时间后，经过调研获得了时间x（天数）与销售单价y（元）的一组数据，且做了一定的数据处理（如表），并作出了散点图（如图）．

x

y

w

0.89 (xix)

2i110(wiw)

2i110(xix)(yiy)

i110(ww)(yy)

iii1101.63 37.8 5.15 0.92 -20.6 18.40 11表中wi，wxi10w．

ii110ˆdˆˆcˆ哪一个更适宜ˆbxaˆy

（1）根据散点图判断，yx作价格y关于时间x的回归方程类型？（不必说明理由）

（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；

（3）若该产品的日销售量g(x)（件）与时间x的函数关系为100g(x)120（x∈N*），求该产品投放市场第几天的销售额最高？x最高为多少元？

解：（1）根据上表中的样本数据及其散点图：

（ⅰ）x2627394149535658606147．

10（ⅱ）rxynxyiii1nxi1n2inxy2i1n2iny213527.810472723638104727759.610272

13527.812690837.88378

．

23638220907759.672901548469.664342935因为436.56，293554.18，所以r0.98．

由样本相关系数r0.98，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强．

ˆ，即aˆ1.56．

ˆ1.56bx（2）因为回归方程为yˆ所以bˆ271.56ya0.54．

47xˆ【或利用bxxyyxynxyiiiii1nni1nxix2xi2nxi1i1n2837.80.54】

1548ˆ0.54x1.56．

所以y关于x的线性回归方程为yˆ0.54501.5628.56．

将x50代入线性回归方程得y所以根据回归方程预测年龄为50岁时人的脂肪含量为28.56%．

（2018课标‖）【解析】

（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

ˆ30.413.519226.1（亿元）

y．

利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

ˆ9917.59256.5（亿元）

y．

（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：

当年份为2016年时，

ˆ30.413.517199.1，

对于模型①，t17，yˆ9917.57221.5，

对于模型②，t7，y∴模型②的准确度较高，模型①的偏差较大，

∴利用模型②得到的预测值更可靠．

例1：【解析】(1)由题设所给数据，可得散点图如图．

（3）列出残差表：

变式：【解析】（1）由散点图可以判断，ycdx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程式类型．

（2）令w8x，先建立y关于w的线性回归方程式．

ii由于d=(ww)(yy)i1(wiw)i182108.868，cydw563686.8100.6，

1.6∴y关于w的线性回归方程为y100.668w, 因此y关于x的回归方程为y100.668x．

（3）（ⅰ）由（2）知，当x49时，年销售量y的预报值y100.66849=576.6，

年利润z的预报值z576.60.24966.32．

（ⅱ）根据（2）的结果知，年利润z的预报值

z0.2(100.668x)xx13.6x20.12．

13.6=6.8，即x46.24时，z取得最大值．

2故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．

∴当x