1.3 二项式定理（通用）名师教学设计2

高中数学选修2-3《1.3.1 二

项

式

定

理》教学设计（优化版）

授课时间：2018.5.23 下午

授课者：程晓琳

<一>．授课类型：新授课 <二>．课时安排：1课时

<三>．教学目标：

1.知识与技能：

（1）使学生参与并探讨二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的 幂次、展开式项数的规律. （2）能够应用二项式定理对所给出的二项式进行正确的展开. 2.过程与方法：

（1）通过二项式定理的推导过程，培养学生观察，猜想，归纳的能力以及分类讨论的能力. （2）培养学生化归的意识和知识迁移的能力. 3.情感、态度和价值观：

（1）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，培养学生解决数学问题的兴趣和信心. （2）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程， 使学生体会到数学内在的和谐对称美. <四>．教学重点与难点：

重点：（1）使学生参与并深刻体会二项式定理形成过程，掌握二项式、系数、字母的幂次，展开式项数的规律。

（2）能够应用二项式定理对二项式进行展开。

难点：掌握运用多项式乘法以及组合知识推导二项式定理的过程。

<五>．教 具：多媒体、黑板 <六>．内容分析：

二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础。这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值。中学教材中的二

1

项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等。

通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成。

二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础。通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点。

二项式定理的证明是一个教学难点。这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法。

在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习。

<七>教法、学法

1、教法：为了完成本节课的教学目标，掌握并能正确运用二项式定理，让学生主动探索展开式的由来是关键。本节课的教法贯穿启发式教学原则，采用“多媒体引导点拨”的教学方法以多媒体演示为载体，以“引导思考”为核心，设计课件展示，并引导学生沿着积极的思维方向，逐步达到即定的教学目标，发展学生的

逻辑思维能力；同时，考虑到学生的个体差异，在教学的各个环节进行分层施教，实现“有差异”的发展。

2、学法：根据学生思维的特点，遵循“教必须以学为主立足点”的教学理念，让每一个学生自主参与整堂课的知识构建。在教学的各个环节中引导学生进行类比迁移，对照学习。学生在教师营造的“可探索”的环境里，积极参与，生动活泼地获取知识，掌握规律、主动发现、主动发展。 3、教学手段：利用电脑多媒体和黑板教学展现二项式定理的推导过程，激发学生的的兴趣，增大教学容量，提高课堂效率。

<八>．教学过程

2

（一）．新课引入

引入问题:（引起学生学习兴趣）

(1)

今天是星期三，那么7天后的这一天是星期几呢？

（星期三） (2)

那么15天后的这一天呢？（星期四）

(3)那么8100天后的这一天呢？

算法：用各个数除以7，看余数是多少，再用三加余数来推算

100100（ab)n(nN)的展开式是什么？8(71)提示：

（二）．新课讲解（启发式教学与探讨式教学）

一、情景引入

情景1:

展开式中共有 4 项，合并同类项后是 3 项，且每一项都是

a2-kbk

的形式

情景2:数学实验

两个容器中有红、蓝玻璃球a,b各一个，每次从2个容器中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？

(ab)2(ab)(ab)a2abbab2a22abb2

二、合作探究

两个容器中有红、蓝玻璃球a,b各一个，每次从2个容器中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？

1.

取0个蓝球b （取2个红球a）： C2 2.

取1个蓝球b和1个红球a ： C2 3. 取2个蓝球 b： C2

3 210

不进行多项式运算，用组合知识来考察，展开式中有哪些项？各项系数各是？

ab问题1:22(ab)(ab)

202122(ab)CaCabC222b

则（a+b）= 三、分组探究 类比前面，不进行多项式运算，用组合知识来考察. ab1.

（a+b）= 33031233C3aC3abC32ab2C3b

2.

（a+b）= 413222344abC4abC4ab3C4babC40a4C44尝试二项式定理的发现:猜想提示：1、项数；

2、系数；

3、a 的次数变化规律, b的次数变化规律；

4、ab的次数和。 四、独立探究

归纳猜想：(ab)n_______？

①猜想：展开式的项

(ab)n（）an（）an1b（）ankbkknkkn（）bn

nnnabnCaCabCabCb0nn1n1n(nN*)

定理的证明：

每个（a+b）在相乘时有两种选择，选a或b. 而且每个(a+b)中的a或b选定后才能得到展开式的一项。

由分步计数原理可知展开式共有2n项（包括同类项）其中每一项都是akbn-k的形式，k=0，1，…，n；对于每一项akbn-k，它是由k个(a+b)选了a，n-k个(a+b)选了b得到的，它出现的次数相当于从n个(a+b)中取k个a的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理。

五、释疑解惑

4

这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a+b)n的

二项展开式 ，其中 （k=0,1,2,……,n）叫做

二项式系数 ，

knkCnabk叫做二项展开式的通项，用 Tk+1表示，该项是指展开式的第 k+1

项，展开式共有 n+1 个项. 012nC、C、C、、Cnnn

1.系数规律： n2.指数规律：（1）各项的次数均为

n （2）a的次数按降幂排列，由 n 降到 0 b的次数按升幂排列，由 0 升到 n

Cn3.项数规律：展开式共有 n+1

个项

六、尝试二项式定理的初步应用

（三）例题讲解

例1.

利用二项式定理展开（1+2x）5 简析：本题型是一道利用二项式定理对某个二项式进行展开的问题

001122334455C(2x)C(2x)C(2x)C(2x)C(2x)C(2x)解：（12x)555555

k5

110x40x280x380x432x5变式：若展开（1-2x）5呢？

（引入问题：①第四项是什么？②第四项的系数是什么？③第四项的二项式系数是什么？有几种方法可以求出？）

简析：本题型是一道利用二项式定理求某一项的系数问题，可以写出通项. 5解：（12x)00122334455C5(2x)C1(-2x)C(2x)C(2x)C(2x)C(2x)555551-10x40x2-80x380x432x5

∴展开的第四项是-80x3 ，第四项的系数是-80，第四项的二项式系数是C510

3

5

例2的第四项是80x3，第四项的系数的80，第四项的二项式系数是C510

3

12x

的展开式的第四项是

法二：



5T31C135532x33C523x3108x80x333第四项是80x3，第四项的系数的80，第四项的二项式系数是C510

24例2.求(x)的展开式并思考：x ①展开式中的第3项的系数为多少？ ②第3项的二项式系数为多少？ ③请直接求第3项简析：本题型是考查二项式系数和系数的问题。

2041322223242解:xCxCxCxCxC

44444xxxxx

321642x8x2424

xx①展开式中的第3项的系数为24 ②展开式中的第3项的二项式的系数为

C46 ③

2223项是24T21C4x24展开式的第x224234变式：1.求(13x)6的展开式中第4项

3解:T31C6163(3x)3540x3

6

求 x2x展开式的第4项的二项式系数，2.并求第四项的系数.

37

解：展开式的第4项的二项式系数C735，第4项的系数为C72280

333

3.求（x+a)12的展开式中的倒数第4项

91299C12xa220x3a9.

xa)12的展开式有13项,倒数第4项是它的第10项.T91解：(

64.求（2a3b）的展开式的第三项

解：T3T21C2a26623b22160a4b265.求（3b2a）的展开式的第三项

解：T3T21C3b26622a

24860b4a2思考：从变式4、5能得出什么结论？（a、b顺序不同会产生怎么样的结果？）

备注：出以上变式练习题是为了加强学生对二项式通项公式的应用。

七、解决课前问题

思考：今天是星期三，那么8100天后的这一天是星期几？

8 解：100100（71）

991100099r100rC7CC1007100C17C7100100

100100

1099（7C100799C100）

∴被7除后余数是1，故这一天是星期四

7

（四）课堂小结（引导学生总结）

1.知识收获：二项式定理；二项式定理的表达式及展开式的通项、二项式系数与系数的概念。

2.方法收获：正确区分“项的系数”和“二项式系数”

3.思维收获：类比思想：从特殊——一般——特殊，归纳猜想的数学思想

（五）作业布置

巩固型作业：

一、必做题：

第37页习题1.3A组第2、4（1）（4）题

二、选做题：

第37页习题1.3A组

第3、4（2）（3）题

思维拓展型作业：

1.求(x-1)8

的展开式中x3的系数，其二项式系数是多少？项的系数呢？展开式x有常数项吗？如果有，是第几项？

（六）课后练习：

1.（1）求(2x14)

的二项展开式. x（2）求(11)7 的二项展开式. 2x2. 3.

4.

求230-3除以7的余数

5.

第四项

6.

8

（七）板书设计：

一、新课引入

1）二项式定理

四、课堂小结

问题

2）计数原理证明二项式定理

五、布置作业

二、讲授新课

3）二项式定理的特征

六、课后练习

1、

探究

三、例题讲解

2、二项式定理

例题1

例题2

例题3

（八）教学反思：

准备这节课，我主要考虑下面几个问题：

（1）这节课的教学目的“使学生掌握二项式定理”重要，还是“使学生掌握二项式定理的形成过程”重要？我反复斟酌，听取了备课组老师们的意见，认为后者重要。于是，我这节课花了大部分时间是来引导学生探究。

（2）学生怎样才能掌握二项式定理？是通过大量的练习来达到目的，还是通过学生对二项式定理的形成过程来记忆？正如前面所说“学问之道，问而得，不如求而得之深固也”。我还是要求学生自主的去探索二项式定理。这样也符合以教师为主导、学生为主体、师生互动的新课程教学理念。

（3）准备什么样的例题？例题的目的是为了巩固本节课所学，通过例题加深学生对二项式定理的理解和对通项公式的掌握，区分系数和二项式系数

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