3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义板书设计

复数代数形式的加减运算及其几何意义教学设计

教学流程

一．知识回顾

1、复数的概念

形如abi(a,bR)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部，全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。

2、复数相等：

规定：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d。

3、复数的几何意义：

复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

一一对应复平面内的点Z(a,b)

复数zabi复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应关系，即

一一对应平面向量oz

复数zabi设计意图：通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫. 二．新课讲解

1、复数的加法法则

我们规定，复数的加法法则如下：设z1abi, z2cdi（a,b,c,d∈R）是任意两个复数，那么(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。

练习：1计算

（1）（1+3i）+(-2+i) （2）（2+4i）+(3-4i)+(-1+5i) 说明: （1）两个复数的和仍然是一个确定的复数；

（2）两个复数相加就是将实部相加为和的实部, 虚部相加为和的虚部；

（3）复数的加法运算法则是一种规定，当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致；

（4）复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。

设计意图：加深对复数加法法则的理解，通过练习的训练引出对复数加法法则的四条解读，是同学们进一步认识理解复数的加法法则。

练习：1计算（3）(-2+i)+（1+3i）（4）(3-4i)+[（2+4i）+(-1+5i)] 设计意图：通过对比前后两个练习的异同点，类比实数加法满足的运算律猜想复数加法满足加法交换律和结合律，并引导学生根据实数加法满足的运算律,大胆尝试推导复数加法的运算律,学生先独立思考,然后小组交流。提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力．

设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i (a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R)是任意复数，

则z1+z2=（a1+a2)+(b1+b2)i，z2+z1=（a2+a1)+(b2+b1)i

因为

实数加法满足交换律，

所以 a1+a2= a2+a1

b1+b2 = b2+b1 根据复数相等的定义

1

显然

（a1+a2)+(b1+b2)i=（a2+a1)+(b2+b1)i

即

z1+z2=z2+z1

同理

(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)

思考：复数与复平面内的向量有一一对应关系。我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？

2、复数加法运算的几何意义

设向量oz1，oz2分别与复数

z1abi，z2cdi(a,b,c,d∈R)对应，则oz1，（a,b）,

oz2（c,d）

ozoz1oz2

=（a ，b）+（

c ，d ）

=（

a+c

，

b+d

）

而

z1z2(ac)(bd)i

所以，向量z2z1就是与复数(ac)(bd)i对应的向量。

故，复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行。

练***面内，复数z1、z2、z的对应点分别为Z1、Z2、Z，已知→→→OZ＝OZ1＋OZ2，z1＝1＋ai，z2＝b－2i，z＝3＋4i(a，b∈R)，则a＋b＝________。

设计意图：通过向量的知识,让学生体会从数形结合的角度来认识复数的加减法法则,训练学生的形象思维能力,也培养了学生的数形结合思想.

4、复数的减法

我们规定复数的减法是加法的逆运算，即把满足

（c+di）+（x+yi）=a+bi 的复数x+yi叫做复数a+bi减去复数c+di的差，记作（a+bi）-（c+di）, 因为

（c+di）+（x+yi）=a+bi 由复数相等的充要条件得：

c+x=a，

d+y=b 因此 x=a-c，

y=b-d 所以

x+yi=(a-c)+(b-d)i 即

（a+bi）-（c+di）=(a-c)+(b-d)i

这就是复数的减法法则。

说明: （1）两个复数的差仍然是一个确定的复数；

（2）两个复数相加就是将实部相减为差的实部, 虚部相减为差的虚部；

（3）复数的减法运算法则是一种规定，当b=0，d=0时与实数减法法则保持一致；

（4）复数的减法可以推广到多个复数相减的情形。

【设计意图】复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的,渗透了转化的数学思想方法,是学生体会数学思想的素材.让学生自己动手推导减法法则,有利于培养学生的创新能力和互助合作的学习习惯.考查学生的z1(a1,b1)y 类比思想,提高学生主动发现问题,探究问题的能力．

z2(a2,b2)5、复数减法运算的几何意义

设向量oz1，

oz2

分别与复数

z1a1b1i，z2a2b2i对应，则oz1，oz1

,

（a1,b1）（a2,b2）

z2z1oz1oz2

o x 2

（a1,b1）（-a2,b2）

(a1a2,b1b2)

而

z1-z2(a1-a2)(b1-b2)i

所以，向量z2z1就是与复数(a1-a2)(b1-b2)i对应的向量。

故，复数减法的几何意义：复数的减法可以按照向量的减法来进行。

【设计意图】两个复数的差z1—z2（即OZ1—OZ2）与连接两个终点Z1,Z2,且指向被减数的向量对应,这与平面向量的几何解释是一致的;它不仅又一次让我们看到了向量这一工具的功能,也使数和形得到了有机的结合。

6、例题讲解

1.计算

（5-6i)+(-2-i)-(3+4i) 解：（5-6i）+(-2-i)-(3+4i) ={[5+(-2)]+[-6+(-1)]i}-(3+4i) =[3-7i]-(3+4i) =(3-3)+(-7-4)i =-11i 【设计意图】复数的加减法,相当于多项式加减中的合并同类项的过程;如果根据给出复数求和的特征从局部入手,抓住了式子中相邻两项之差是一个常量这一特点,适当地进行组合,从而可简化运算.进一步巩固复数加减运算,并带有一定的规律性。

2．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝________. 解：设zabi(a,bR)|z|3a2b231z3i是纯虚数。即a(b3)i是纯虚数a0且b30代入（1）式得：b3z3i【设计意图】由复数的几何意义知,复数z1,z2所对应的的点分别为Z1,Z2.OZ1OZ2就是表示向量Z2Z1,而OZ1OZ2可利用平行四边形法则作出. 练习

→→→1.在复平面内，向量AB、AC对应的复数分别为－1＋2i、－2－3i，则BC对应的复数为(

) A．－1－5i

B．－1＋5i C．3－4i

D．3＋4i →→2．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量OA、OB对应的复数分别→是3＋i、－1＋3i，则CD对应的复数是(

) A．2＋4i

B．－2＋4i C．－4＋2i

D．4－2i 【设计意图】通过变式训练,便于学生全面的认识利用复数差的模的几何意义解决问题,提高学生理解、运用知识的能力. 三、学习小结

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【设计意图】通过课堂小结,增强学生对复数代数形式的加法、减法的运算法则及几何意义的理解,及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目的性,加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．深化对知识的理解,完善认识结构,领悟思想方法,强化情感体验,提高认识能力.引导学生自我反馈、自我总结,并对所学知识进行提炼升华,使知识系统化.让学生学会学习,学会内化知识的方法与经验,促进学习目标的完成. 必做题：

1.计算：(1)(24i)(34i);

(2)(34i)(2i)(.1

2.复数3+5i与-2-7i对应的向量分别是OA与OB,其中O是原点,求向量AB,BA对应的复数,并指出其对应的复数位于第几象限. 3.复平面上三点A,B,C分别对应复数2,4i,-2-2i,则由A,B,C所构成的三角形△ABC是 三角形.

4.求复数2i,3i所对应的两点之间的距离．

5.已知复数z满足z+z28i,求复数z. 6.已知平行四边形OABC的三个顶点O,A,C对应的复数分别为0,32i,24i,试求:

(1)AO表示的复数; (2)CA表示的复数;

(3)B点对应的复数. 选做题：

1.在复平面内,求满足方程z+izi4的复数z所对应的点的轨迹．

2.复数z1,z2满足z1z21,z1+z22,求z1z2.

【设计意图】设计必做题是引导学生先复习,再作业,培养学生良好的学习习惯,是让学生会用复数代数形式的加法、减法的运算法则进行计算;设计选做题意在培养学生深刻理解复数差的模的几何意义,增加问题的多样性、趣味性,训练学生思维的发散性、深刻性.让学生理解知识之间的联系,培养学生用整体的观点看问题,起到巩固旧知的作用.

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八、板书设计

3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义

一、知识回顾

二、讲解新课和练习

三、例1

例2

练习

四、课堂小结

五、作业

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