一 数学归纳法教学设计

选修4_5 4.1 数学归纳法

课 题：

4.1 数学归纳法

教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 教学难点：数学归纳法中递推思想的理解.

教学过程：

一、复习准备：

1. 分析：多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒. 回顾：数学归纳法是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n0)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是递推的依据。实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。证明时，关键是k＋1步的推证，要有目标意识

2. 练习：已知f(n)1352n1,nN*，猜想f(n)的表达式，并给出证明？

过程：试值f(1)1，f(2)4，…，→

猜想f(n)n2

→

用数学归纳法证明. 3. 练习：是否存在常数a、b、c使得等式132435......n(n2)1n(an2bnc)对一切自然数n都成立，试证明你的结论

6

二、讲授新课：

1. 教学数学归纳法的应用：

证明等式

例1：求证111123411111,nN*

2n12nn1n22n分析：第1步如何写？n=k的假设如何写？

待证的目标式是什么？如何从假设出发？

关键：在假设n=k的式子上，如何同补？

小结：证n=k+1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.

整除问题

例2：用数学归纳法证明(3n1)7n1能被9整除（n为正整数）

分析要点：证明一个与n有关的式子f(n)能被一个数a（或一个式子）整除，主要找到f(k+1)与f(k)的关系，设法找到式子f1(k),f2(k)，使得f(k+1)=f(k)f1(k)

+af2(k)，即可证明。

几何问题

例3：平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)=n2－n+2个部分. 分析要点：n=k+1时，在k+1个圆中任取一个圆C，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆C与k个圆有2k个交点，这2k个交点将圆C分成2k段弧，每段弧将它所在的平面部分一分为二，故共增加了2k个平面部分.因此，f(k+1)=f(k)+2k=k2－k+2+2k=(k+1)2－(k+1)+2.

2. 练习：

(1) 求证: (11)(1)(1131)2n1（n∈N*）. 2n1(2) 用数学归纳法证明：

（Ⅰ）72n42n297能被264整除；

（Ⅱ）an1(a1)2n1能被a2a1整除（其中n，a为正整数）

(3) 是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）·3n+9对任意正整数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.

3. 小结：两个步骤与一个结论，“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n=k到n=k+1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.

三、巩固练习：

1. 练习：教材50

1、2、5题

2. 作业：教材50 3、4、6题.

【注】

从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是探索性问题的证法，数列中经常用到。 （试值

→

猜想

→

证明）