2.基本不等式教学内容概述

基本不等式（第1课时）

一、教学目标

1．知识与技能:（1）借助几何图形的面积关系探索基本不等式，了解其来源及证明过程；（2）理解基本不等式的使用条件及代数解释和几何解释；（3）会利用基本不等式求简单的最值问题，熟练掌握基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）缺一不可. 2. 过程与方法:探索并了解基本不等式的形成和证明过程；体会基本不等式的证明方法和简单应用. 3．情态与价值：通过生活实例的引入，激发学生的学习兴趣；引导学生结合图形探究基本不等式的几何解释，强化数形结合思想；借助例题1、2让学生领会基本不等式在解决最值中的作用，提升解决问题的能力. 二、教学重点和难点

重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式ab难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式.

三、课型：新授课（第1课时）

四、教学过程：

1.实例引入：

（1）某天，陈老师去叠南市场买水果，挑了一只西瓜，结账时老板拿来一台天平，陈老师发现天平两臂长不相等，这时老板说：“我将西瓜放在左右托盘各称一次，取两次称量值的平均数也一样嘛！”假设西瓜的真实重量为G，而两次所称重量分别为a、b，请问：如果按老板的方法结账，陈老师是赚了还是亏了？ab引出思考：ab与的大小关系？

2（2）如右图，第24届国际数学家大会会标是我国古代数学家赵爽画的“弦图”，图案借助渐变色产生立体效果，红色的“风车”结构代表着中国人民热情好客.提问：你能从“弦图”中发现哪些相等和不等关系呢？

2.探究不等式：

探究：在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为a,b，则正方形的边长为a2b2．故4个直角三角形的面积之和S12ab，正方形ABCD的面积S2a2b2．通过几何画板动态演示，可知S2S1，即a2b22ab．当EFGH四点重合（ab）时，有S2S1 ,即ab的证明过程；

2a2b22ab

22重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有ab2ab，当且仅当ab时等号成立. 22证明：（作差法）a2b22ab(ab)20，当且仅当ab时等号成立.故ab2ab

不等式变形：

问：如果a0,b0，用a和b分别代替a、b，可得到什么结论？

替代

化简

1

2ab

a2b22ab

重要不等式

ab变形

ab2aba0,b0

23.得出结论，多角度证明：

abab，当且仅当ab时等号成立.

（1）基本不等式：若a0,b0,则2222ab

ab22 称ab为a,b的几何平均数；称ab为a,b的算术平均数

2问：基本不等式与重要不等式的适用范围与等号成立条件有何异同？

两个不等式当且仅当ab时等号成立；其中重要不等式对任意a、bR成立，基本不等式对a0,b0成立. 代数解释：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

数列解释：两个正数的等差中项不小于它们的正等比中项.

（2）证明不等式：（引导学生从代数和几何角度证明基本不等式）

法1：abab2abab22ab220，abab,当且仅当ab时取等号

2法2：要证abab,只要证ab2ab,只要证ab2ab0，即证2ab0,显然成2立，当且仅当ab时取等号. 法3：（几何法）如图：AB为圆O的直径，C为圆上除AB外任意一点，ADa,BDb连结CA、CB，过C作CDAB于D,设 A根据射影定理可得：CDADBDab,由于RtCOD中斜边CO直角abab，当且仅当点D与圆心O重合，即ab时等号成立．

24.应用提升：

例1：已知xy＝4，且x>0，y>0，求x＋y的最小值；

CaODbB边CD，故E例2：若x＋y＝1，且x，y都是正数，求（1）xy的最大值；（2）11的最大值. xy5.小结：（1）重要不等式：若a,bR，则a2b22ab（当且仅当ab时，等号成立）

（2）基本不等式：若a,bR，则abab（当且仅当ab时，等号成立）

2 （3）对于x0,y0，若xyp（定值）,则当且仅当ab时，xy有最小值2p；

s2 若xys（定值）,则当且仅当ab时，xy有最大值．

4 （4）使用基本不等式求最值的三个条件：

“一正，二定，三相等”

6.布置作业：（1）书本P100 习题3.4 A组1、2、4；（2）《成才之路》课时作业[24] P147

【教学反思】

从入职至今，这已是我的第四次校内公开课，每次公开课都能给我提供一个很好的锻炼、发挥平台，让我对自身的教学有一次深刻琢磨、学习思考的机会，同时收获名师专家们的点评

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指导，促使我在教学上更快地成长起来。下面我将从本次公开课的选题目的、教学设计以及心得体会三方面对此课进行反思学习：

本次校内公开课我选择了高一数学人教A版必修5第三章《3.4基本不等式》的第一课时，《课标》要求是探索并了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。通过前面三节的学习，学生已基本掌握了常见不等式及不等式证明方法，本节基本不等式既是前面学习的运用，也是后面证明不等式、求函数最值的一个重要工具，经常运用于实际问题，其推导、探究过程也充分体现了数形结合这一重要思想的应用，加强数学联系生活的教学引导并充分体现在课堂教学过程中，从而激发学生的求知学习兴趣。

对本节课的教学目标，我分三个层次的理解：（1）知识与技能目标，即借助几何图形的面积关系探索基本不等式，掌握证明及使用条件，会用基本不等式求最值；（2）过程与方法，即体会基本不等式应用的条件，最值问题解题策略的建构过程，体会数形结合思想的实际应用；（3）情感态度与价值观，通过生活实例的引入和对基本不等式证明过程的探索，激发学生的学习兴趣，强化探索精神，形成数学联系生活的数学观。本节课教学重点在于应用数形结合的思想理解基本不等式及其证明过程，掌握基本不等式应用的条件，教学难点是在几何背景下抽象出基本不等式，建构基本不等式求最值问题的解题策略。本节课程知识难度不大，但地位重要，适合选择探究式教学方法，两个实例引入，让学生感受到基本不等式与实际生活的联系，吸引学生的注意力。由“弦图”的面积关系出发探究重要不等式，变形得出基本不等式，并从代数、几何两个角度证明基本不等式，引导学生归纳得出重要结论，并回应课前第一个引入提出的问题，首尾呼应，让学生学以致用，感受到数学无穷的魅力所在。随后进一步应用此结论解决函数最值问题，该环节设计的例题按梯度由浅入深，既有常规练习，也设计了变式训练。这过程中教师先展示出解题规范，再交由学生独立思考、讲解思路，充分提高学生的参与度，师生共同总结出“一正二定三相等”的基本条件以及“积定和最小、和定积最大”的结论，完成探究——证明——总结——应用的教学环节。

从选题、搜集资料、教学设计到课堂实际操作、课后评课反思的过程，我获益良多，下面是我的几点思考：（1）本节课的主要亮点体现在问题情境的创设以及学生讲练结合。趣味引入实现跨学科知识串联，能激发学生的兴趣，快速投入到课堂中，并让学生始终从数和形两方面加深对不等式的认识，给予充足时间让学生练习、展示，充分调动学习积极性；（2）课堂教学设计的一个重点是基本不等式的探究推导，这过程可适当留白给学生，给予一定空间和时间让学生更好地认识基本不等式的来源和特征，使他们在应用时能够有更深刻的理解；（3）例1的设置最好选择课本上“围筑篱笆”的应用实例，既引导学生回归课本，也能精炼地突出基本不等式的两种常见应用模式；（4）公开课教学设计应突出重点亮点、精讲精练、讲练结合，懂得适当地“取舍”，合理安排课堂容量，使课堂既充实也能应运自如，发挥空间大，实现把课堂“还”给学生；（5）多发挥学生的主体性地位，设计好教学环节和教学问题，并且要学会提有深度的教学问题。

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