2.基本不等式教案3

《基本不等式》教学设计

课题：基本不等式: ab教学目标：

1.知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并理解等号的条件. 2.过程与方法：通过实例探究抽象出基本不等式. 3.情感态度与价值观：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣. 教学重点：

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab教学难点：

基本不等式ab

教学过程

一.课题引入

如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据

中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风

车，代表中国人民热情好客. 二.问题探究

ab（第一课时）

2ab的证明过程. 2ab等号成立条件.2

用基本不等式求最大值和最小值

其实赵爽的弦图是由4个全等的直角三角形拼成的（如图所示），

设直角三角形的两条直角边和斜边的长分别为a,b,c(ab). D

C

G

H

F

E

问题1：四边形ABCD和EFGH为什么都是正方形？

222a

A

b

c

B

问题2：初中时，曾利用该图证明过勾股定理（abc），现在的你还记得当时的证明方法吗？证明的关键是什么？

1

问题3：受问题2证明勾股定理的启发，你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？你能给出它的证明吗？

三.例题解析

例1.已知a,bR，证明：ab2ab

例2.已知a,b0，证明：ab

例3.下面不等式正确的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4 （1）ex22ab

24ba142(ab0)a2(a0). . （2）. （3）xabae414(x(0,)). 2. （5）sinxsinxlgx（4）lgx四.课堂练习

1.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么cos2的值等于

．

2ababab.(2)2.已知a,b0，证明：(1)ab2a2b2

2

2

2ab3.设a0,b0,称为a,b的调和平均数．如图，C为

ab线段AB上的点，且ACa,CBb,O为AB中点，以D

AB为直径作圆．过点C作AB的垂线交于圆于D，连结E

OD,AD,BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则图A

中线段OD的长度是a,b的算术平均数，线段 的长度

是a,b的几何平均数，线段 的长度是a,b的调和平均数．

五.教学小结

a

O

C

b

B

a2b2(a,bR)，当且仅当ab1.两个不等式：（1）重要不等式：ab2abab222时取等号.（2）基本不等式：ab号. abab2ab()(a,b0)，当且仅当ab时取等22我们可从三个角度来理解基本不等式: ①几何平均数不大于算术平均数；②等比中项不大于等差中项；③半弦长不大于半径长. 2ababa2b22.几个不等式之间的关系：ab(a,b0). ab223.证明不等式常见的方法：（1）比较法；（2）分析法；（3）综合法. 六.课后作业

1.（1）设x,yR，且xy0，则(x211)(24y2)的最小值为

2yx. （2）若对任意x0,xa恒成立，则实数a的取值范围是

2x3x13

.

2.（1）已知a,bR，证明：(a2b2)(c2d2)(acbd)2（（二元）柯西不等式）.

（2）已知a,b,cR，证明：abcabbcca. 222

（3）已知a,b,cR，且abc1，证明：(

七.教学反思

1111)(1)(1)8. abc

4