2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率获奖说课稿

《直线的斜率》教学设计

课

题：直线的斜率

授课教师：北京市育园中学

张炜

教

材：人教B版必修2 一、教材分析

1、教材所处的地位及作用

直线的斜率是人教B版必修2第二章第二单元直线的方程的第一节内容，本节是在学生掌握了平面直角坐标系中的基本公式、一次函数的图象的基础上进行的，平面解析几何是高中数学的主干及重点内容，本节的学习是学习直线的方程的第一课，为后续直线方程及直线的平行与垂直的研究提供了知识保障，同时对进一步学好圆锥曲线的标准方程并研究其性质有着基础性的作用，也是学生建立解析思想的重要一课。

2、教材内容

本节课初步介绍直线的斜率的概念，并通过两点坐标给出求直线的斜率的计算公式，进而介绍直线的斜率和倾斜角的关系，求直线的斜率。

3、教学目标

根据新课标下的课程基本理念：倡导积极主动、勇于探索的学习方式；注重提高学生的数学思维能力；发展学生的数学应用意识；以及对解析几何的教学的建议：帮助学生不断体会“数形结合”的思想方法，本节课制定了如下的目标：

（1）知识与能力目标：理解直线斜率的概念，掌握直线斜率的坐标公式，会求过已知两点的直线的斜率。

（2）过程与方法目标：用数形结合思想分析斜率的概念，认识斜率的几何意义，并解释生活中的某些现象。

（3）情感态度与价值观目标：认识事物间的相互联系，学会从不同的角度去分析问题，养成正确认识问题、认识世界的态度。

4、教学重点与难点

根据《普通高中数学课程标准（实验）》要求：“理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式”。制定本节课的重难点。

教学重点：过两点的直线的斜率公式，数形结合思想。

教学难点：直线的斜率的几何意义及斜率公式的应用。

二、教法分析

根据本节课的教学内容及实现既定教学目标，突出重点，突破难点，选用如下的教学方法：

①开门见山，突出重点，通过对一次函数知识的再现，揭示直线斜率的概念，引入直线的方程。

②信息整合，数形结合，根据新课标下的课程基本理念：注重信息技术与数学课程的整合，及本节教学内容的需要，通过多媒体课件展示，揭示给定直线的斜率是不随点的位置变化而变化的；通过对实际生活中数学素材的提炼，使学生在熟悉的知识背景下，从观察、实验中获得发现，实现学生在学习过程中获得对知识的探究，发现的创造经历，使数学学习成为再发现、再创造的过程。

③编制学案，设计不同的题组，对不同层次的学生提出不同的要求，更好的实现教学目标。

三、学法分析

1、学情分析

我校的大部分学生入学时数学基础较差，运算能力不强，经过必修1的学习后，都有了一定的提升，但独立思考能力还有待提高，数学思维习惯训练还待加强。

1

2、学习方法的设计

根据本节课的教学目标和学情，主张多给学生空间与时间，学生通过观察、实践逐步感悟，在亲历知识结论的探索中获得对数学价值的认识，获得相应的发展。

3、学习方法的指导

根据本节教学内容，利用学案，在思考解答问题链中探究、发现、归纳、评析，充分发挥主体作用。

四、教学结构概述

知识回顾

情境建构

新知领悟知识应用

感受主题

直观体验，导入重点

突出重点，突破难点

知识整合，形成策略

及时反馈，分层激励

归纳提高，拓展巩固

问题检测

小结提炼

五、教学过程分析

（一）知识回顾：

利用学案，回忆一次函数与直线的关系，揭示直线斜率的概念，为下一步学习直线斜率的计算公式做好铺垫，感受主题，并体会数形结合思想，同时实现认识事物间的相互联系的情感教学目标。

（二）情境建构：

采用几何画板演示，揭示给定直线的斜率是不随点的位置变化而变化的；使学生直观体验从形到数的发展过程，展现了解析几何数形结合的本质，降低了学习的难度。确立只要知道直线上的两个不同点的坐标就能通过计算得到直线斜率的信念。同时实现养成正确认识问题、认识世界的态度的情感教学目标。

引导学生推出斜率的计算公式，然后，请各组同学任意给出两点坐标，并指定其他小组求出过这两点的直线斜率。（若答对，答对方说出根据，若答错，交给出题方解答），加深对概念的理解，增强了课堂的互动性，体现了课改理念。强化对斜率公式的理解。突出重点，实现理解概念的知识与能力目标。

（三）新知领悟：

根据斜率的计算公式的特征，解答相关问题链，培养对问题的分析与解决能力。

课标中建议解析几何的教学要体现“形数形”的过程，为了突破“理解斜率的几何意义”的这一难点，利用PPT展示划过夜空的流星、夜晚射灯的光线、飞机航迹等图片，配以相关问题，生成对直线方向性的感性认识，再利用撞击台球实验加深认识。进一步给出斜拉桥的图片，观察钢索的倾斜度，体会倾斜角度不同的直线状态。

引出问题：直线的倾斜方向与直线斜率有什么联系？利用直观教具，学生自主体验斜坡坡度的变化，产生联想，从直观的生活模型抽象到数学模型，进而归纳总结出斜率的几何意义。实现教学的三维目标。

（四）知识应用：

根据数学应用的理念，通过已知两点求斜率和已知斜率和点画直线两道例题的解答，进一

2

步巩固斜率计算公式的正确应用，形成针对不同问题的解答策略，养成规范解题的习惯。实现知识与能力目标。

（五）问题检测：

设计三个层次的测试题，检验不同层次学生目标实现的情况，给以恰当的评价。并留出思考空间，引导学生进一步思考，训练思维能力，为下面的学习做好铺垫。

（六）小结提炼：

由学生作总结，教师加以补充，揭示本节重点与难点。

①直线的斜率：定义、斜率公式、几何意义、求法。

②平面解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质，解题时要注重数形结合。

③直线的斜率反映了直线在平面直角坐标系内的倾斜程度。

小结体现三部分，即知识梳理、技巧与警示、重要的数学思想方法，一方面了解学生对本堂课的接受情况，另一方面也为学生的后续学习和数学感悟奠定基础。

（七）作业 作业布置分设两块，即必做和选做，体现数学教学中的人文思想，同时也适应了不同层次学生的需要。符合因材施教原则。

六、板书设计

根据简洁明了，突出重点、突破难点的教学需要，科学合理的设计如下板书。

课

题

公式及结论

图

要求及注意点

七、时间安排

1、知识回顾（约2分钟）

2、情境建构

新知领悟（约15分钟）

3、数学应用（约12分钟）

4、问题检测（约10分钟）

5、小结提炼（约5分钟）

6、作业布置（约1分钟）

八、教学评价分析

1、新理念下对本节课的理解

课标把直线方程的学习安排在三角函数之前，直线的斜率等于倾斜角的正切这一事实不能直接引入，这与传统习惯相左，大家一时不易接受，但这样安排，有利于强化解析几何的本质——用代数方法学习几何。更利于学生深刻理解坐标法的意义及代数与几何的内在联系。个人尝试利用学生已有的函数知识开门见山直接切入主题，符合新课程理念。

2、新课改下对学生主体作用的诠释

整个教学过程突出三个注重：①注重学生参与知识的形成过程，体验应用数学知识解决简单问题的乐趣；②注重师生间，同学间的互动协作，共同提高；③注重知能统一，让学生在获取知识的同时，掌握方法，灵活应用。

本节课能注重学生发展的自主性（设置分层式检测和选择性作业）和数学学习的实践性（设置数学实践），使新课程理念得以较好的落实。

板

演

投

影

3

附教学过程设计

教学流程

（一）知识回顾：

在必修1的学习中，我们已经学习过一次函数ykxb,(k0)及它的图象，并且知道它的图像是一条直线，记作直线ykxb，其中k叫做直线的斜率，b叫做直线在y轴上的截距。（详见人教B版必修1 第55页）

板书：（课题）直线的斜率

（二）情境建构

几何画板演示：通过几何画板的动画效果，直观地感受已知定直线上任意两点的坐标，能唯一确定直线的斜率。

直线的斜率公式：平面直角坐标系中，已知两点P(x1,y1),Q(x2,y2)，如果x1x2，那么直线PQ的斜率为

ky2y1x2x1纵坐标的增量y(xx2即x0)

横坐标的增量x1设计思想

通过“温故”引出“新知”。

体会数与形的结合。

采用多媒体动画设计，使学生直观体验从形到数的发展过程，展现了解析几何数形结合的本质，降低了学习的难度。

引导学生加深对概念的理解，增强了课堂的互动性，体现了课改理念。强化对斜率公式的理解。

培养对问题的分析与解决能力。

从学生的熟悉的生活背景引入，以图片方式展示，吸引学生的注意力。

复习初中知识，有效地加强知识的衔接，使学生在最近发展区得以发展。

引出方向。

引出角度。

【数学实践】请各组同学们任意给出两点坐标，并指定其他小组求出过这两点的直线的斜率。（若答对，答对方说出根据，若答错，交给出题方解答）

（三）新知领悟

问题1：如果x1x2，那么直线PQ的斜率怎样？

问题2：对一条与x轴不垂直的定直线而言，直线的斜率是定值吗？

问题3：求一条直线的斜率需要什么条件？

下面我们来探索直线斜率的几何意义。

投影：划过夜空的流星、夜晚射灯的光线、飞机航迹等图片

生活中，直线是最简单的图形，也是美丽的。

问题4：

确定一条直线，

过一点有

条直线。

问题5：给定一点后，加上什么条件后，可以得到一条确定的直线？

实验：撞击台球

投影：斜拉桥

4

使学生体会“从形到数，的发展过程，直线的倾斜角：x轴正方向与直线向上的方向所成的角叫做这条直再从数到形”展现了解析几何数形结合线的倾斜角。

的本质。突破难点。

注：我们规定，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角。

由斜率k的定义可知：斜率的几何意义

1）斜率k=0时，直线的倾斜角等于0，直线平行于x轴或与x轴

重合；

2）斜率k>0时，直线的倾斜角为锐角，此时k值增大，直线的倾

斜角也随之增大；

3）斜率k<0时，直线的倾斜角为钝角，此时k值增大，直线的倾

斜角也随之增大；

4）斜率不存在时，直线的倾斜角等于90，此直线时垂直于x轴。

（四）知识应用

例1 直线l1,l2,l3,l4都经过P(2,3)，又l1,l2,l3,l4

通过解答，深入对斜率k的计算公式的理解。

分别经过点Q1(2,1),Q2(4,1),Q3(5,3),Q4(2,5)

讨论l1,l2,l3,l4斜率的是否存在，如存在，求出直线的斜率。

例2

经过点A（3，2）画直线，使直线的斜率分别为①0；②不存通过作图，加深对斜率k在；③2；④－2。

的几何意义的认识。

（五）问题检测

1、已知直线l经过点P（2，3）与Q（－3，2），则直线l的斜率

为

。

对学生的学习情况加以评2、已知点P（2，3），点Q在y轴上，若直线PQ的斜率为1，则价，及时发现问题，加以点Q的坐标为

。

整改。

3、斜率为2的直线，经过点（3，5），(a,7),(1,b)三点，则a,b的

值为

（

）

A、a4,b0

B、a4,b3

C、a4,b3

D、a4,b3

问题6：直线的倾斜方向与直线斜率有什么联系？

【数学实践】联想生活中的上下坡的陡与缓，在同一坐标系内作出不同倾斜方向的直线，归纳出：

5

4、已知三点A(3,3),B(1,1),C(2,7)，求kAB，kBC

5、（选作）如果三点A(1,1),B(3,5),C(1,a)在一条直线上，求a 的值。

思考：（留在课后探究）

引导学生进一步思考，训问题7: 若

kAB=kBC，点A、B、C的位置关系如何？

练思维能力，为下面的学问题8：已知斜率，能否确定一条直线？如不能，需要补充什么条习做好铺垫。

件？

问题9：具有相同的斜率的直线间具有怎样的位置关系？

（六）小结提炼

小结体现三部分，即知识由学生作总结，教师加以补充，揭示本节重点与难点。

梳理、技巧与警示、重要①直线的斜率：定义、斜率公式、几何意义、求法。

的数学思想方法，一方面②平面解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质，解题时了解学生对本堂课的接受要注重数形结合。

情况，另一方面也为学生③直线的斜率反映了直线在平面直角坐标系内的倾斜程度。

的后续学习和数学感悟奠

定基础。

（七）作业 课本76页练习A 1、2；练习B 1 巩固目标

选做题:

作业布置分设两块，即必做和选做，体现数学教学直线l过点M(1,1)且与以P(2,2),Q(3,3)为两端点的线段PQ有中的人文思想，同时也适公共点，求直线l的斜率的取值范围。

应了不同层次学生的需要。符合因材施教原则。

6