3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义公开课教案

新授课:3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义

教学目标

重点:复数代数形式的加法、减法的运算法则．

难点:复数加法、减法的几何意义. 知识点:1.掌握复数代数形式的加、减运算法则; 2.理解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 能力点:培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法,提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力．

教育点:通过探究学习,培养学生互助合作的学习习惯,培养学生对数学探索和渴求的思想. 在掌握知识的同时,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神. 自主探究点：如何运用复数加法、减法的几何意义来解决问题. 考试点：会计算复数的和与差;能用复数加、减法的几何意义解决简单问题. 易错易混点：复数的加法与减法的综合应用. 拓展点：复数与其他知识的综合. 一、

引入新课

复习引入

1.对于复数代数形式zabia,bR，实部a与虚部b 2.复数几何意义：

复数zabia,bR

复平面内的点Za,b

3.复数模的几何意义：复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。

我们把实数系扩充到了复数系,那么复数之间是否存在运算呢?答案是肯定的,这节课我们就来研究复数的加减运算. 【设计意图】通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫. 复数zabia,bR

复平面内的向量OZ=a,b

一一对应

一一对应

二、新课讲授

探究一:复数的加法

1.复数的加法法则

我们规定,复数的加法法则如下: 设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)是任意两个复数,那么：

z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i

提出问题：

(1)两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗?

1

(2)当b=0,d0时,与实数加法法则一致吗?

(3)它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法? 学生明确: (1)仍然是个复数,且是一个确定的复数; (2)一致; (3)实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加,类似于实数运算中的合并同类项．

【设计意图】加深对复数加法法则的理解,且与实数类比,了解规定的合理性:将实数的运算通性、通法扩充到复数,有利于培养学生的学习兴趣和创新精神．

复数加法的运算律

实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗? 对任意的z1,z2,z3C,有

z1z2z2z1（交换律）, (z1z2)z3z1(z2z3)（结合律）. 【设计意图】引导学生根据实数加法满足的运算律,大胆尝试推导复数加法的运算律,学生先独立思考,然后小组交流.提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力．

例1：例1:计算

（1）（-2+3i）+（5-i）

（2）（-1+2i）+（1-2i）+（2-i）

【设计意图】通过例题运算让学生掌握附属的加法法则

2.复数加法的几何意义

复数与复平面内的向量有一一对应关系,那么请同学们猜想一下,复数的加法也有这种对应关系吗? 设OZ1,OZ2分别与复数abi,cdi对应,则有OZ1(a,b),OZ2(c,d),由平面向量的坐标运算有

OZ1OZ2(ac,bd). 这说明两个向量OZ1与OZ2的和就是与复数(ac)+(bd)i对应的向量.因此,复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则来进行.这就是复数加法的几何意义.如图所示：

y

Z2(c,d)

Z

Z1(a,b)

O

x

由图可以看出,以OZ1、OZ2为邻边画平行四边形OZ1ZZ2,其对角线OZ所表示的向量OZ就是复数(ac)+(bd)i对应的向量. 【设计意图】通过向量的知识,让学生体会从数形结合的角度来认识复数的加减法法则,训练学生的形象思维能力,也培养了学生的数形结合思想.另外,当两复数的对应向量共线时,可直接运算;当不共线时,可类比向量加法的平行四边形,也培养了学生的类比思想. 探究二:复数的减法

2

类比复数的加法法则,你能试着推导复数减法法则吗? 1.复数的减法法则

我们规定,复数的减法是加法的逆运算,即把满足

(cdi)(xyi)abi

的复数xyi叫做复数abi减去cdi的差,记作(abi)(cdi).根据复数相等的定义,有

cxa,dyb, 因此

xac,ybd, 所以

xyi(ac)(bd)i, 即

(abi)(cdi)(ac)(bd)i. 这就是复数的减法法则,所以两个复数的差是一个确定的复数. 【设计意图】复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的,渗透了转化的数学思想方法,是学生体会数学思想的素材.让学生自己动手推导减法法则,有利于培养学生的创新能力和互助合作的学习习惯.考查学生的类比思想,提高学生主动发现问题,探究问题的能力．

例2 计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i). 练习、计算

（1）（1+3i）+（-4+2i）

（2）（1-3i）-（2+5i）+（-4+9i）

（3）已知（3-ai）-（b+i）=2a+bi求实数a、b的值

【设计意图】直接运用复数的加、减法运算法则进行,就是将它们的实部、虚部分别相加、减,实数范围的运算律在复数范围内仍然成立.

2.复数减法的几何意义

设OZ1,OZ2分别与复数abi,cdi对应,则这两个复数的差z1—z2与向量OZ1—OZ2（即Z2Z1）对应,这就是复数减法的几何意义.如图所示. y

O

Z1Z2

x

【设计意图】两个复数的差z1—z2（即OZ1—OZ2）与连接两个终点Z1,Z2,且指向被减数的向量对应,这与平面向量的几何解释是一致的;它不仅又一次让我们看到了向量这一工具的功能,也使数和形得到了有机的结合．注意：只有将差向量平移至以原点为起点时,其终点才能对应该复数.

提出问题：|z1-z2|表示什么?

3

表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离

例3：已知复数z对应点Ｚ,说明下列各式所表示的几何意义. (1)

|z－(1+2i)| (2)

|z+(1+2i)| 变式训练：知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何

意义

(1)|z－1|点A到点(1,0)的距离

(2)|z+2i|点A到点(0, －2)的距离

【设计意图】通过例题加深对复数的模复数相减模的几何意义的理解

课堂小结 (一)知识: 1.复数代数形式的加法、减法的运算法则; 2.复数加法、减法的几何意义. 3.两复数相减模的几何意义

【设计意图】通过课堂小结,增强学生对复数代数形式的加法、减法的运算法则及几何意义的理解,及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目的性,加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．深化对知识的理解,完善认识结构,领悟思想方法,强化情感体验,提高认识能力.引导学生自我反馈、自我总结,并对所学知识进行提炼升华,使知识系统化.让学生学会学习,学会内化知识的方法与经验,促进学习目标的完成.

布置作业 教材P58

练习1

，2

4