三 反证法与放缩法第二课时教学实录

2.3反证法与放缩法

一、教学目标

1．掌握用反证法证明不等式的方法．

2．了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．

二、课时安排

1课时

三、教学重点

掌握用反证法证明不等式的方法．

四、教学难点

了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．

五、教学过程

（一）导入新课

1＋x1＋y若x，y都是正实数，且x＋y>2.求证：<2和<2中至少有一个成立．

yx1＋x1＋y【证明】

假设<2和<2都不成立，

yx1＋x1＋y则有≥2和≥2同时成立，因为x>0且y>0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x，

yx两式相加，

得2＋x＋y≥2x＋2y，

所以x＋y≤2，

1＋x1＋y这与已知条件x＋y>2矛盾，因此<2和<2中至少有一个成立．

yx（二）讲授新课

教材整理1

反证法

先假设

，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和

(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)

的结论，以说明

不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法．

教材整理2

放缩法

证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值

或

，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．

（三）重难点精讲

题型一、利用反证法证“至多”“至少”型命题

例1已知f(x)＝x2＋px＋q，求证：

(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；

1(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于. 2【精彩点拨】

(1)把f(1)，f(2)，f(3)代入函数f(x)求值推算可得结论．

(2)假设结论不成立，推出矛盾，得结论．

【自主解答】

(1)由于f(x)＝x2＋px＋q，

∴f(1)＋f(3)－2f(2) ＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2. 1(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，则有|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|＜2.(*) 2又|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)| ≥f(1)＋f(3)－2f(2) ＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)＝2，

∴|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥2与(*)矛盾，∴假设不成立．

1故|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于. 2规律总结：

1．在证明中含有“至多”“至少”等字眼时，常使用反证法证明．在证明中出现自相矛盾，说明假设不成立．

2．在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．

[再练一题] 1．已知实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1.求证：a，b，c，d中至多有三个是非负数．

【证明】

a，b，c，d中至多有三个是非负数，即至少有一个是负数，故有假设a，b，c，d都是非负数．

即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，

则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd. 这与已知中ac＋bd＞1矛盾，

∴原假设错误，

故a，b，c，d中至少有一个是负数．

即a，b，c，d中至多有三个是非负数. 题型二、利用放缩法证明不等式

1113例2已知an＝2n2，n∈N*，求证：对一切正整数n，有＋＋…＋＜. a1a2an2【精彩点拨】

针对不等式的特点，对其通项进行放缩、列项．

【自主解答】

∵当n≥2时，an＝2n2＞2n(n－1)，

11111∴＝2＜＝·

an2n22n(n1)n(n1)111＝n－1－n，

21111111∴＋＋…＋＜1＋＋＋…＋

a1a2an21×22×3n(n1)111111＝1＋1－2＋2－3＋…＋n－1－n

2131311－＝－＜，

＝1＋2n22n21113即＋＋…＋＜. a1a2an2规律总结：

1．放缩法在不等式的证明中无处不在，主要是根据不等式的传递性进行变换．

2．放缩法技巧性较强，放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小，否则，会出现错误结论，达不到预期目的，谨慎地添或减是放缩法的基本策略．

[再练一题] 11112．求证：1＋2＋2＋…＋2＜2－(n≥2，n∈N＋)．

23nn【证明】

∵k2＞k(k－1)，

1111∴2＜＝－(k∈N＋，且k≥2)．

kk(k1)k－1k分别令k＝2,3，…，n得

1111111＝1－，2＜＝－，…，

2＜21·2232·3231111＝－. 2＜nn(n1)n－1n111因此1＋2＋2＋…＋2

23n11111－

1－＋－＋…＋＜1＋n－1n22311＝1＋1－＝2－. nn1111故不等式1＋2＋2＋…＋2＜2－(n≥2，n∈N＋)．

23nn题型三、利用反证法证明不等式

例3已知△ABC的三边长a，b，c的倒数成等差数列，求证：∠B＜90°. 211【精彩点拨】

本题中的条件是三边间的关系＝＋，而要证明的是∠B与90°的大bac小关系．结论与条件之间的关系不明显，考虑用反证法证明．[来源学科网ZXXK]

211【自主解答】

∵a，b，c的倒数成等差数列，∴＝＋.假设∠B＜90°不成立，即∠bacB≥90°，则∠B是三角形的最大内角，在三角形中，有大角对大边，

∴b＞a＞0，b＞c＞0，

1111211∴＜，＜，∴＜＋，

babcbac211这与＝＋相矛盾．

bac∴假设不成立，故∠B＜90°成立．

规律总结：

1．本题中从否定结论进行推理，即把结论的反面“∠B≥90°”作为条件进行推证是关键．要注意否定方法，“＞”否定为“≤”，“＜”否定为“≥”等．

2．利用反证法证题的关键是利用假设和条件通过正确推理，推出和已知条件或定理事实或假设相矛盾的结论．[再练一题] 3．若a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2.

【证明】

法一

假设a＋b>2，

213a－b＋b2≥0，

a2－ab＋b2＝24故取等号的条件为a＝b＝0，显然不成立，

∴a2－ab＋b2>0. 则a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)>2(a2－ab＋b2)，

而a3＋b3＝2，故a2－ab＋b2<1，

∴1＋ab>a2＋b2≥2ab，从而ab<1，

∴a2＋b2<1＋ab<2，

∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab<2＋2ab<4，

∴a＋b<2. 这与假设矛盾，故a＋b≤2.

法二

假设a＋b>2，则a>2－b，

故2＝a3＋b3>(2－b)3＋b3，

即2>8－12b＋6b2，即(b－1)2<0，

[来源学科网]

这显然不成立，从而a＋b≤2.

法三

假设a＋b>2，则(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)>8. 由a3＋b3＝2，得3ab(a＋b)>6，故ab(a＋b)>2. 又a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝2，

∴ab(a＋b)>(a＋b)(a2－ab＋b2)，

∴a2－ab＋b2

（四）归纳小结

—反证法的一般步骤反证法与放缩法——证明不等式—放缩的技巧六、板书设计

—反证法与放缩法的定义

2.3反证法与放缩法

教材整理1

反证法

教材整理2

放缩法

例1：

例2：

例3：

学生板演练习

七、作业布置

同步练习：2.3反证法与放缩法

八、教学反思