2.基本不等式板书设计及意图

2.基本不等式

1．了解两个正数的算术平均数与几何平均数．

2．理解定理1和定理2(基本不等式)．(重点) 3．掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题．(难点、易混点)

[基础·初探] 教材整理1

两个定理及算数平均与几何平均

阅读教材P5～P6“例3”以上部分，完成下列问题．

1．两个定理

定理

定理1

定理2

内容

a2＋b2≥2ab(a，b∈R)

a＋b2≥ab(a，b＞0)

等号成立的条件

当且仅当a＝b时，等号成立

当且仅当a＝b时，等号成立

2.算术平均与几何平均

a＋b如果a，b都是正数，我们称2为a，b的算术平均，ab为a，b的几何平均．

下列不等式中，正确的个数是(

) a＋b①若a，b∈R，则2≥ab；

1②若x∈R，则x＋2＋2≥2；

x＋22③若x∈R，则x2＋1＋1≥2；

x＋12④若a，b为正实数，则a＋b2≥ab. A．0

B．1

C．2

D.3 【解析】

显然①不正确；③正确；对于②，虽然x2＋2＝1无解，但x2x＋22

＋2＋1＞2成立，故②正确；

x＋22④不正确，如a＝1，b＝4.

【答案】

C 教材整理2

利用基本不等式求最值

阅读教材P6～P8，完成下列问题．

已知x，y为正数，x＋y＝S，xy＝P，则

(1)如果P是定值，那么当且仅当x＝y时，S取得最小值2P；

S2(2)如果S是定值，那么当且仅当x＝y时，P取得最大值4.

12若x≠0，则f(x)＝2－3x－x2的最大值是________，取得最值时x的值是2________.

4【解析】

f(x)＝2－3x2＋x2≤2－3×4＝－10，

4当且仅当x＝x2，即x＝±2时取等号．

2【答案】

－10

±2

[小组合作型] 利用基本不等式证明不等式

a2b2c2

已知a，b，c都是正数，求证：b＋c＋a≥a＋b＋c. 【精彩点拨】

观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系．

【自主解答】

∵a>0，b>0，c>0，

a2∴b＋b≥2 a2b＝2a，

b·b2c2同理：c＋c≥2b，a＋a≥2c.

三式相加得：

a2b2c2b＋c＋a＋(b＋c＋a)≥2(a＋b＋c)，

a2b2c2∴b＋c＋a≥a＋b＋c.

[再练一题] xyz1111．已知x，y，z均为正数，求证：yz＋zx＋xy≥x＋y＋z. 【证明】

∵x，y，z都是正数，

xy1xy2∴yz＋zx＝zy＋x≥z.

yz2zx2同理可得zx＋xy≥x，xy＋yz≥y.

将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，

xyz111得yz＋zx＋xy≥x＋y＋z. 利用基本不等式求最值

y2

设x，y，z均是正数，x－2y＋3z＝0，则xz的最小值为________．

y2【精彩点拨】

由条件表示y，代入到xz中，变形为能运用基本不等式求最值的形式，求出最小值，但要注意等号取到的条件．

x＋3z【自主解答】

由x－2y＋3z＝0，得y＝2，

22y2x＋9z＋6xz1x9z∴xz＝＝4z＋x＋6

4xz1≥42x9z＝3.

·＋6zxy2当且仅当x＝y＝3z时，xz取得最小值3.

【答案】

3 [再练一题] 192．已知x>0，y>0，且x＋y＝1，试求x＋y的最小值.

19【解】

∵x>0，y>0，且x＋y＝1，

19∴x＋y＝(x＋y)x＋y



y9x＝x＋y＋10≥2y9xx·y＋10＝16.

y9x当且仅当x＝y，即y＝3x时等号成立．

19又x＋y＝1，∴当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. 基本不等式的实际应用

某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016年里约热内卢奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．

(1)若计划2016年生产的化妆品正好能销售完，试将2016年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数；

(2)该企业2016年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？

【精彩点拨】

(1)两个基本关系式是解答关键，即利润＝销售收入－生产成本－促销费；生产成本＝固定费用＋生产费用；

(2)表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式．利用基本不等式求最值．

【自主解答】

(1)由题意可设3－x＝将t＝0，x＝1代入，得k＝2.

∴x＝3－2.

t＋1k(k＞0)，

t＋123－当年生产x万件时，年生产成本为32x＋3＝32×＋3.

t＋1当销售x万件时，年销售收入为

213－150%×32×＋3＋t.

t＋12

由题意，生产x万件化妆品正好销完，

－t2＋98t＋35得年利润y＝(t≥0)．

2t＋1－t2＋98t＋35t＋132

(2)y＝＝50－2＋t＋12t＋1≤50－2t＋1322×t＋1＝50－216＝42，

t＋132当且仅当2＝，即t＝7时，等号成立，ymax＝42，

t＋1∴当促销费定在7万元时，年利润最大．

[探究共研型] 基本不等式的理解与判定

a＋b探究1

在基本不等式2≥ab中，为什么要求a>0，b>0? a＋b【提示】

对于不等式2≥ab，如果a，b中有两个或一个为0，虽然不等式仍成立，但是研究的意义不大，当a，b都为负数时，不等式不成立；当a，b中有一个为负数，另一个为正数，不等式无意义．

a＋b探究2

利用2≥ab求最值的条件是怎样的？

【提示】

利用基本不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”，即(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．

探究3

你能给出基本不等式的几何解释吗？

【提示】

如图，以a＋b为直径的圆中，DC＝ab，且DC⊥AB.

a＋b因为CD为圆的半弦，OD为圆的半径，长为2，根据半弦长不大于半径，a＋b得不等式ab≤2.显然，上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，

等号成立．因此，基本不等式的几何意义是圆的半弦长不大于半径；或直角三角形斜边的中线不小于斜边上的高．

11

命题：①任意x>0，lg

x＋lg x≥2；②任意x∈R，ax＋ax≥2；③任π11意x∈0，2，tan x＋tan x≥2；④任意x∈R，sin x＋sin x≥2. 其中真命题有(

) A．③

C．②③

B．③④

D.①②③④

【精彩点拨】

按基本不等式成立的条件进行判定．

【自主解答】

在①④中，lg x∈R，sin x∈[－1,1]，不能确定lg x>0与sin x>0.因此①④是假命题；

1在②中，ax>0，ax＋ax≥2真命题；

π1π在③中，当x∈0，2时，tan x>0，有tan x＋tan x≥2，且x＝4时取等号，∴③是真命题．

【答案】

C a＋b2ab2．当b≥a>0时，有变形不等式a≤≤ab≤2≤

a＋b[再练一题] 4．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(

)

【导学号：32750008】

A．a2＋b2>2ab

112C.a＋b>

abB．a＋b≥2ab

baD.a＋b≥2 a2＋b22≤b. 1ax·ax＝2，当且仅当x＝0时，取等号，则②是【解析】

A选项中，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，则排除A；

112当a<0，b<0时，a＋b<0<2ab，a＋b<0<，则排除B，C选项；D选项abbaba中，由ab>0，则a>0，b>0，∴a＋b≥2所以选D.

baa·b＝2，当且仅当a＝b时取“＝”，

【答案】

D